Funciones exponencial, logarítmica e hiperbólicas: síntesis y desafíos

Resumen

Esta clase cierra la unidad sobre las funciones exponencial, logarítmica e hiperbólicas, que es la última del curso. Reúne sus resultados en una sola cadena deductiva, que parte de la completitud de los reales y llega a la parametrización de la hipérbola; muestra cómo esa cadena se apoya en las unidades anteriores del curso, desde la inducción y el binomio de Newton hasta la ecuación de la hipérbola, y cómo prepara el curso de Álgebra y Geometría II, que comienza con las funciones trigonométricas y las coordenadas polares. Termina con diez desafíos, de dificultad superior a la de los problemas propuestos en las clases, que exigen combinar varias de ellas y encontrar una idea propia.

Objetivos de aprendizaje

Reconstruir la cadena de definiciones y teoremas de la unidad, identificando en cada eslabón el resultado anterior del que depende.
Relacionar los resultados de la unidad con los de las unidades anteriores y anticipar su papel en las funciones trigonométricas del curso de Álgebra y Geometría II.
Resolver problemas que combinan la monotonía de la exponencial, las leyes de los logaritmos, la desigualdad $e^x \geq 1 + x$ y las fórmulas de adición hiperbólicas.
Elegir por cuenta propia la sustitución, la desigualdad o la función auxiliar que reduce un problema no rutinario a uno conocido.

Lo logrado en la unidad

La unidad partió de una carencia: al terminar la unidad sobre los conjuntos numéricos, la potencia $a^x$ tenía sentido para $x$ racional, pero no para $x = \sqrt{2}$ . Su resultado final es una familia de funciones definidas en toda la recta, con leyes algebraicas completas, inversas explícitas y una interpretación geométrica. Los eslabones de la cadena son los siguientes.

La potencia de exponente real

La clase sobre la función exponencial y la potencia de exponente real definió $a^x$ , para $a > 1$ , como el supremo de las potencias $a^r$ con $r$ racional y $r \leq x$ . La completitud garantizó la existencia del supremo; la densidad de los racionales dio el encaje $a^r < a^x < a^s$ para $r < x < s$ , y con él la monotonía estricta; la desigualdad de Bernoulli acotó la longitud de los intervalos de encaje y permitió probar, con la propiedad arquimediana, las leyes de los exponentes, la última de ellas caso por caso según los signos de la base y del exponente:

a^{x + y} = a^x a^y, \qquad (ab)^x = a^x b^x, \qquad \left( a^x \right)^y = a^{xy}

Con estas leyes, la función exponencial resultó positiva, inyectiva y estrictamente monótona; un nuevo argumento de supremos, con la desigualdad de Bernoulli, probó que toma todos los valores positivos, de modo que es biyectiva de $\mathbb{R}$ en $\ioo{0}{\infty}$ ; y se demostró que termina por superar a cualquier potencia.

El número e

La clase sobre el número e y la exponencial natural eligió una base privilegiada. Con el binomio de Newton y la desigualdad de Bernoulli demostró que $\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n$ crece y $\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n + 1}$ decrece, y definió $e$ como el número que ambas sucesiones encierran; probó que es también el supremo de las sumas de los inversos de los factoriales, con un error menor que $\frac{1}{n! \, n}$ , y que es irracional, y, con la desigualdad fundamental y la potencia de una potencia, demostró que el supremo de los capitales $\left( 1 + \frac{r}{n} \right)^n$ es $e^r$ , sin recurrir al concepto de límite. El resultado más fecundo de la clase es la desigualdad fundamental, válida para todo real $x$ , con igualdad solo en $x = 0$ , que reaparece en casi todas las demostraciones posteriores:

e^x \geq 1 + x

El logaritmo y las ecuaciones

La clase sobre la función logaritmo obtuvo $\log_a$ como la inversa de la exponencial y tradujo cada ley de los exponentes en una ley de los logaritmos; el cambio de base mostró que todos los logaritmos son múltiplos de uno solo, y el lema de Euclides probó que $\log_2 3$ es irracional. La clase sobre las ecuaciones e inecuaciones exponenciales y logarítmicas convirtió dos propiedades de estas funciones en métodos: la inyectividad permite igualar exponentes y argumentos, y la monotonía conserva o invierte las desigualdades según la base. Las dificultades propias de estos problemas, el dominio, las soluciones extrañas y los valores no positivos de la variable auxiliar, provienen todas de que la exponencial solo toma valores positivos. Solo un resultado de esa clase descansa en algo que la unidad no demuestra: la existencia de la solución de una ecuación sin método algebraico, como $x + 2^x = 5$ , se apoya en el teorema del valor intermedio, admitido en la clase sobre las funciones racionales, y en la continuidad de la exponencial, que se admite en la clase sobre la potencia de exponente real; la demostración de ambos hechos pertenece al cálculo. Su unicidad, en cambio, y la bisección que la localiza, se deducen del orden.

Los modelos y las funciones hiperbólicas

La clase sobre los modelos de crecimiento y decaimiento demostró que la ley $P(t + h) = e^{kh} P(t)$ caracteriza al modelo $P_0 e^{kt}$ , y que, por tanto, toda magnitud monótona que cambia en la misma proporción en intervalos iguales es exponencial; de ahí el tiempo de duplicación y la vida media, la datación con carbono 14, la ley de Newton, la linealización semilogarítmica y el modelo logístico. Por último, la clase sobre las funciones hiperbólicas combinó $e^x$ y $e^{-x}$ en el coseno y el seno hiperbólicos, cuya identidad fundamental es una consecuencia directa de la ley de los exponentes:

\cosh^2 x - \sinh^2 x = \left( \cosh x + \sinh x \right) \left( \cosh x - \sinh x \right) = e^x e^{-x} = 1

De ella se siguieron la parametrización de la rama derecha de la hipérbola $x^2 - y^2 = 1$ , cuyo parámetro se recupera con un logaritmo, las fórmulas de adición y las funciones inversas, que se expresan con logaritmos al resolver ecuaciones cuadráticas en $e^y$ . La cadena se cierra así sobre sí misma: la exponencial produce las funciones hiperbólicas, y el logaritmo las invierte.

La figura siguiente reúne los cuatro tramos en una sola cadena. Cada nudo de la columna es una definición o un teorema, numerado según el orden lógico y unido por un arco a los eslabones anteriores que su demostración usa; alrededor flotan los apoyos, es decir, los principios y los instrumentos a los que la cadena recurre una y otra vez, cada uno unido con un trazo firme a los eslabones que se apoyan en él y con uno punteado al eslabón donde se establece, salvo los que se admiten sin demostración o provienen de unidades anteriores, que se dibujan como anillos. Al pulsar un apoyo se destacan todos los eslabones que lo usan, y cada eslabón remite a la clase en que se demuestra.

Apoyos de la cadena

ACompletitud. Todo conjunto no vacío de números reales que está acotado superiormente tiene un supremo; se enunció en la unidad sobre los conjuntos numéricos. Se admite sin demostración en esta unidad.
BDensidad y propiedad arquimediana. Entre dos reales distintos hay siempre un racional, y todo real es superado por algún natural; demostradas en la unidad sobre los conjuntos numéricos. Se admite sin demostración en esta unidad.
CDesigualdad de Bernoulli. Si $x \geq -1$ y $n$ es natural, entonces $(1 + x)^n \geq 1 + nx$ ; demostrada por inducción en la unidad sobre los números naturales. Se admite sin demostración en esta unidad.
DBinomio de Newton. Para todo natural $n$ se cumple $(x + y)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{n - k} y^k$ ; demostrado en la unidad sobre los números naturales. Se admite sin demostración en esta unidad.
ELema de Euclides. Si un primo divide a un producto de naturales, divide a alguno de los factores; demostrado en la unidad sobre los números naturales. Se admite sin demostración en esta unidad.
FLeyes de los exponentes. Para $a > 0$ , $b > 0$ y $x$ , $y$ reales se cumplen $a^{x + y} = a^x a^y$ , $(ab)^x = a^x b^x$ y $\left( a^x \right)^y = a^{xy}$ . Se establece en: 3. Leyes de los exponentes reales.
GMonotonía de la exponencial. Si $a > 1$ , para reales $u$ y $v$ se tiene $u < v$ si y solo si $a^u < a^v$ ; con base entre $0$ y $1$ , la desigualdad se invierte. Se establece en: 2. Encaje y monotonía.
HLogaritmo como inversa. Para $x > 0$ , $\log_a x = y$ si y solo si $a^y = x$ ; de donde $a^{\log_a x} = x$ y $\log_a \left( a^y \right) = y$ . Se establece en: 15. Logaritmo.

Tramo 1 La potencia de exponente real
- Definir $a^x$ para todo exponente real como supremo de potencias racionales y justificar que prolonga la definición anterior.
- Encajar $a^x$ entre potencias racionales y deducir de ello la monotonía estricta.
- Demostrar las leyes de los exponentes reales, incluida la potencia de una potencia, con encajes cuya longitud acota la desigualdad de Bernoulli.
- Describir la función exponencial: dominio, signo, inyectividad, crecimiento sin cota y asíntota horizontal.
- Demostrar con la completitud y la desigualdad de Bernoulli que la exponencial toma todos los valores positivos.
1. Potencia de exponente real. Si $a > 1$ , la potencia $a^x$ es el supremo de las potencias $a^r$ con $r$ racional y $r \leq x$ ; el supremo existe y, si $x$ es racional, coincide con la potencia ya conocida.
  Se apoya en: A (Completitud), B (Densidad y propiedad arquimediana). Se demuestra en: La función exponencial y la potencia de exponente real.
2. Encaje y monotonía. Si $a > 1$ y $r$ , $s$ son racionales con $r < x < s$ , entonces $a^r < a^x < a^s$ . En consecuencia, si $x < y$ , entonces $a^x < a^y$ cuando $a > 1$ y $a^x > a^y$ cuando $0 < a < 1$ ; además, $a^x > 0$ para toda base positiva.
  Usa: 1. Potencia de exponente real. Se apoya en: B (Densidad y propiedad arquimediana). Se demuestra en: La función exponencial y la potencia de exponente real.
3. Leyes de los exponentes reales. Para $a > 0$ , $b > 0$ y $x$ , $y$ reales se cumplen $a^{x + y} = a^x a^y$ y $(ab)^x = a^x b^x$ ; con la primera, la unicidad de la raíz principal y un nuevo encaje, también $\left( a^x \right)^y = a^{xy}$ , en todos los casos de signo.
  Usa: 2. Encaje y monotonía. Se apoya en: B (Densidad y propiedad arquimediana), C (Desigualdad de Bernoulli). Se demuestra en: La función exponencial y la potencia de exponente real.
4. Función exponencial. Si $a > 0$ y $a \neq 1$ , la función $a^x$ está definida en $\mathbb{R}$ , es positiva e inyectiva; si $a > 1$ , crece, supera cualquier cota y se acerca a $0$ hacia la izquierda, y el gráfico de $\left( \frac{1}{a} \right)^x$ es su reflejo respecto del eje $y$ .
  Usa: 1. Potencia de exponente real. Se apoya en: C (Desigualdad de Bernoulli), G (Monotonía de la exponencial). Se demuestra en: La función exponencial y la potencia de exponente real.
5. Recorrido de la exponencial. Si $a > 0$ y $a \neq 1$ , para todo $y > 0$ existe un único real $x$ con $a^x = y$ : si $a > 1$ , es el supremo de los racionales $r$ con $a^r < y$ . La exponencial es una biyección de $\mathbb{R}$ en $\ioo{0}{\infty}$ .
  Usa: 4. Función exponencial. Se apoya en: A (Completitud), B (Densidad y propiedad arquimediana), C (Desigualdad de Bernoulli), F (Leyes de los exponentes), G (Monotonía de la exponencial). Se demuestra en: La función exponencial y la potencia de exponente real.
Tramo 2 El número e
- Demostrar con el binomio de Newton y la desigualdad de Bernoulli que $\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n$ crece y $\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n + 1}$ decrece, y acotarla con la desigualdad $k! \geq 2^{k - 1}$ , demostrada por inducción.
- Definir $e$ como el número que ambas sucesiones encierran.
- Probar que $e$ es el supremo de las sumas de los inversos de los factoriales, acotar el error y deducir que $e$ es irracional.
- Demostrar la desigualdad fundamental $e^x \geq 1 + x$ y, con ella, que el supremo de los capitales $\left( 1 + \frac{r}{n} \right)^n$ es $e^r$ .
1. Crecimiento de la sucesión. La sucesión $a_n = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n$ es estrictamente creciente.
  Se apoya en: D (Binomio de Newton). Se demuestra en: El número e y la exponencial natural.
2. Factoriales y potencias de dos. Para todo natural $k$ se cumple $k! \geq 2^{k - 1}$ , con igualdad solo si $k = 1$ o $k = 2$ ; se demuestra por inducción.
  Se demuestra en: El número e y la exponencial natural.
3. Cota de la sucesión. Para todo natural $n$ se cumple $a_n \leq s_n < 3$ , donde $s_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}$ : cada término de $s_n$ se acota por uno de una progresión geométrica de razón $\frac{1}{2}$ .
  Usa: 7. Factoriales y potencias de dos. Se apoya en: D (Binomio de Newton). Se demuestra en: El número e y la exponencial natural.
4. Sucesión acompañante. La sucesión $b_n = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n + 1}$ es estrictamente decreciente.
  Se apoya en: C (Desigualdad de Bernoulli). Se demuestra en: El número e y la exponencial natural.
5. El número e. El número $e$ , supremo de los términos $a_n$ , cumple $a_n < e < b_n$ para todo natural $n$ .
  Usa: 6. Crecimiento de la sucesión, 8. Cota de la sucesión, 9. Sucesión acompañante. Se apoya en: A (Completitud). Se demuestra en: El número e y la exponencial natural.
6. Serie del número e y su error. El supremo de las sumas $s_n$ es $e$ , y para todo natural $n$ se cumple $0 < e - s_n < \frac{1}{n! \, n}$ .
  Usa: 8. Cota de la sucesión, 10. El número e. Se apoya en: A (Completitud), B (Densidad y propiedad arquimediana), C (Desigualdad de Bernoulli). Se demuestra en: El número e y la exponencial natural.
7. Irracionalidad de e. El número $e$ es irracional.
  Usa: 11. Serie del número e y su error. Se demuestra en: El número e y la exponencial natural.
8. Desigualdad fundamental. Para todo real $x$ se cumple $e^x \geq 1 + x$ , y la igualdad se da solo en $x = 0$ .
  Usa: 10. El número e. Se apoya en: B (Densidad y propiedad arquimediana), C (Desigualdad de Bernoulli), F (Leyes de los exponentes), G (Monotonía de la exponencial). Se demuestra en: El número e y la exponencial natural.
9. Capitalización continua. Si $r > 0$ , los capitales $\left( 1 + \frac{r}{n} \right)^n$ crecen con $n$ , ninguno alcanza $e^r$ y su supremo es $e^r$ ; para $t > 0$ , el supremo de los números $\left( 1 + \frac{r}{n} \right)^{nt}$ es $e^{rt}$ .
  Usa: 1. Potencia de exponente real, 6. Crecimiento de la sucesión, 10. El número e, 13. Desigualdad fundamental. Se apoya en: D (Binomio de Newton), F (Leyes de los exponentes), G (Monotonía de la exponencial). Se demuestra en: El número e y la exponencial natural.
Tramo 3 El logaritmo y las ecuaciones
- Obtener $\log_a$ como la inversa de la exponencial y traducir cada ley de los exponentes en una ley de los logaritmos.
- Reducir todos los logaritmos a uno solo mediante el cambio de base, y estudiar su monotonía y su signo.
- Demostrar con el lema de Euclides que $\log_2 3$ es irracional.
- Convertir la inyectividad y la monotonía en métodos para resolver ecuaciones e inecuaciones.
1. Logaritmo. Como la exponencial de base $a$ es una biyección de $\mathbb{R}$ en $\ioo{0}{\infty}$ , para cada $x > 0$ el número $\log_a x$ es el único real $y$ tal que $a^y = x$ , y la función $\log_a$ es su inversa.
  Usa: 5. Recorrido de la exponencial. Se demuestra en: La función logaritmo y sus propiedades.
2. Leyes de los logaritmos. Para $x$ , $y$ positivos y $r$ real se cumplen $\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y$ , $\log_a \frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y$ y $\log_a \left( x^r \right) = r \log_a x$ .
  Se apoya en: F (Leyes de los exponentes), H (Logaritmo como inversa). Se demuestra en: La función logaritmo y sus propiedades.
3. Cambio de base. Se cumple $\log_a x = \frac{\log_b x}{\log_b a}$ ; todo logaritmo es el natural dividido por una constante, y $\log_a b \cdot \log_b a = 1$ .
  Usa: 16. Leyes de los logaritmos. Se apoya en: H (Logaritmo como inversa). Se demuestra en: La función logaritmo y sus propiedades.
4. Monotonía y signo del logaritmo. La función $\log_a$ es estrictamente creciente si $a > 1$ y estrictamente decreciente si $0 < a < 1$ , y $\log_a x > 0$ si y solo si $(a - 1)(x - 1) > 0$ .
  Se apoya en: G (Monotonía de la exponencial), H (Logaritmo como inversa). Se demuestra en: La función logaritmo y sus propiedades.
5. Logaritmos irracionales. Si $a$ y $b$ son naturales coprimos mayores que $1$ , el número $\log_a b$ es irracional; en particular, lo es $\log_2 3$ .
  Usa: 18. Monotonía y signo del logaritmo. Se apoya en: F (Leyes de los exponentes), H (Logaritmo como inversa), E (Lema de Euclides). Se demuestra en: La función logaritmo y sus propiedades.
6. Inyectividad y ecuaciones. Se tiene $a^u = a^v$ si y solo si $u = v$ , y $\log_a u = \log_a v$ si y solo si $u = v$ ; la ecuación $a^x = c$ tiene la única solución $\log_a c$ si $c > 0$ , y ninguna si $c \leq 0$ .
  Usa: 4. Función exponencial. Se apoya en: H (Logaritmo como inversa). Se demuestra en: Ecuaciones e inecuaciones exponenciales y logarítmicas.
7. Monotonía e inecuaciones. Si $a > 1$ , se tiene $a^u < a^v$ si y solo si $u < v$ , y $\log_a u < \log_a v$ si y solo si $u < v$ ; si $0 < a < 1$ , las equivalencias valen con el sentido invertido.
  Usa: 18. Monotonía y signo del logaritmo. Se apoya en: G (Monotonía de la exponencial). Se demuestra en: Ecuaciones e inecuaciones exponenciales y logarítmicas.
Tramo 4 Los modelos y las funciones hiperbólicas
- Caracterizar el modelo $P_0 e^{kt}$ por su razón constante en intervalos iguales y obtener el tiempo de duplicación y la vida media.
- Linealizar los datos exponenciales en el plano semilogarítmico y estudiar el modelo logístico.
- Definir el coseno y el seno hiperbólicos a partir de $e^x$ y $e^{-x}$ , y estudiar su monotonía.
- Demostrar la identidad fundamental, parametrizar la rama derecha de la hipérbola, y obtener las fórmulas de adición y las funciones inversas.
1. Razón constante. Si $P(t) = P_0 e^{kt}$ con $P_0 > 0$ , entonces $P(t + h) = e^{kh} P(t)$ para todos los reales $t$ y $h$ ; en los tiempos enteros es el modelo discreto con $k = \ln(1 + r)$ , y la función crece si $k > 0$ y decrece si $k < 0$ .
  Se apoya en: F (Leyes de los exponentes), G (Monotonía de la exponencial), H (Logaritmo como inversa). Se demuestra en: Modelos de crecimiento y decaimiento exponencial.
2. Recíproco de la razón constante. Si $P$ es positiva y monótona y el cociente $\frac{P(t + h)}{P(t)}$ depende solo de $h$ , entonces $P(t) = P_0 e^{kt}$ para algún real $k$ : la ecuación $f(t + h) = f(t) f(h)$ y la monotonía determinan la exponencial.
  Usa: 2. Encaje y monotonía. Se apoya en: B (Densidad y propiedad arquimediana), F (Leyes de los exponentes), H (Logaritmo como inversa). Se demuestra en: Modelos de crecimiento y decaimiento exponencial.
3. Duplicación y vida media. Si $k > 0$ , el modelo $P_0 e^{kt}$ se duplica en todo intervalo de duración $T = \frac{\ln 2}{k}$ , y solo en ellos; si $k = -\lambda < 0$ , se reduce a la mitad en todo intervalo de duración $\frac{\ln 2}{\lambda}$ .
  Usa: 22. Razón constante, 20. Inyectividad y ecuaciones. Se apoya en: H (Logaritmo como inversa). Se demuestra en: Modelos de crecimiento y decaimiento exponencial.
4. Linealización semilogarítmica. Un punto $(t, y)$ con $y > 0$ está en el gráfico de $y = C e^{kt}$ si y solo si $(t, \ln y)$ está en la recta $Y = \ln C + kt$ ; por dos puntos de abscisas distintas pasa un único gráfico de esa forma.
  Usa: 16. Leyes de los logaritmos. Se apoya en: H (Logaritmo como inversa). Se demuestra en: Modelos de crecimiento y decaimiento exponencial.
5. Modelo logístico. La función $P(t) = \frac{K}{1 + A e^{-rt}}$ , con $K$ , $A$ y $r$ positivos, crece estrictamente entre $0$ y $K$ , alcanza $\frac{K}{2}$ en $t_0 = \frac{\ln A}{r}$ y su gráfico es simétrico respecto de ese punto.
  Usa: 4. Función exponencial. Se apoya en: G (Monotonía de la exponencial), H (Logaritmo como inversa). Se demuestra en: Modelos de crecimiento y decaimiento exponencial.
6. Funciones hiperbólicas. Con $\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ y $\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$ , el coseno hiperbólico es par, el seno es impar, y $e^x = \cosh x + \sinh x$ , $e^{-x} = \cosh x - \sinh x$ .
  Usa: 4. Función exponencial. Se demuestra en: Las funciones hiperbólicas.
7. Monotonía hiperbólica. El seno y la tangente hiperbólicos son estrictamente crecientes, con $-1 < \tanh x < 1$ ; el coseno hiperbólico decrece en los $x \leq 0$ , crece en los $x \geq 0$ y su mínimo es $\cosh 0 = 1$ .
  Usa: 27. Funciones hiperbólicas. Se apoya en: F (Leyes de los exponentes), G (Monotonía de la exponencial). Se demuestra en: Las funciones hiperbólicas.
8. Identidad fundamental. Para todo real $x$ se cumple $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$ .
  Usa: 27. Funciones hiperbólicas. Se apoya en: F (Leyes de los exponentes). Se demuestra en: Las funciones hiperbólicas.
9. Parametrización de la hipérbola. La función $t \mapsto \left( \cosh t, \sinh t \right)$ es una biyección de $\mathbb{R}$ en la rama derecha de $x^2 - y^2 = 1$ , y su inversa asigna al punto $(x, y)$ el número $\ln(x + y)$ .
  Usa: 20. Inyectividad y ecuaciones, 27. Funciones hiperbólicas, 28. Monotonía hiperbólica, 29. Identidad fundamental. Se apoya en: H (Logaritmo como inversa). Se demuestra en: Las funciones hiperbólicas.
10. Fórmulas de adición. Se cumplen $\cosh(a + b) = \cosh a \cosh b + \sinh a \sinh b$ y $\sinh(a + b) = \sinh a \cosh b + \cosh a \sinh b$ .
  Usa: 27. Funciones hiperbólicas. Se apoya en: F (Leyes de los exponentes). Se demuestra en: Las funciones hiperbólicas.
11. Funciones hiperbólicas inversas. Se cumplen $\operatorname{arcsinh} x = \ln \left( x + \sqrt{x^2 + 1} \right)$ , $\operatorname{arccosh} x = \ln \left( x + \sqrt{x^2 - 1} \right)$ para $x \geq 1$ , y $\operatorname{arctanh} x = \frac{1}{2} \ln \frac{1 + x}{1 - x}$ para $-1 < x < 1$ .
  Usa: 28. Monotonía hiperbólica. Se apoya en: H (Logaritmo como inversa). Se demuestra en: Las funciones hiperbólicas.

Hacia las funciones trigonométricas. La cadena se cierra sobre sí misma: la exponencial produce las funciones hiperbólicas, y el logaritmo las invierte. El curso siguiente hará con la circunferencia $x^2 + y^2 = 1$ lo que esta unidad hizo con la hipérbola $x^2 - y^2 = 1$ .