Перейти к содержимому
Topos Uranos
Русский

Экспонента, логарифм и гиперболические функции: итоги и задачи

Краткое содержание

Этот урок завершает раздел о показательной, логарифмической и гиперболических функциях, последний раздел курса. Он собирает его результаты в одну дедуктивную цепь, которая начинается с полноты действительных чисел и приходит к параметризации гиперболы; показывает, как эта цепь опирается на предыдущие разделы курса, от индукции и бинома Ньютона до уравнения гиперболы, и как она готовит курс «Алгебра и геометрия II», который начинается с тригонометрических функций и полярных координат. В конце предлагаются десять задач, более трудных, чем задачи для самостоятельного решения в уроках, которые требуют сочетать несколько уроков и найти собственную идею.

Цели обучения

  1. Восстановить цепь определений и теорем раздела, указывая для каждого звена более ранний результат, от которого оно зависит.
  2. Связать результаты раздела с результатами предыдущих разделов и предвидеть их роль в тригонометрических функциях курса «Алгебра и геометрия II».
  3. Решать задачи, сочетающие монотонность показательной функции, свойства логарифмов, неравенство ex≥1+xe^x \geq 1 + x и гиперболические формулы сложения.
  4. Самостоятельно выбирать замену, неравенство или вспомогательную функцию, сводящую нестандартную задачу к известной.

Чего достиг раздел

Раздел начался с пробела: по окончании раздела о числовых множествах степень axa^x имела смысл при рациональном xx, но не при x=2x = \sqrt{2}. Его итоговый результат есть семейство функций, определённых на всей прямой, с полными алгебраическими свойствами, явными обратными функциями и геометрическим истолкованием. Звенья цепи таковы.

Степень с действительным показателем

Урок о показательной функции и степени с действительным показателем определил axa^x при a>1a > 1 как точную верхнюю грань степеней ara^r, где rr рационально и r≤xr \leq x. Полнота обеспечила существование точной верхней грани; плотность рациональных чисел дала двустороннюю оценку ar<ax<asa^r < a^x < a^s при r<x<sr < x < s, а вместе с ней строгую монотонность; неравенство Бернулли оценило длину промежутков двусторонней оценки и позволило доказать, со свойством Архимеда, свойства показателей, последнее из них разбором случаев в зависимости от основания и знака показателя:

ax+y=axay,(ab)x=axbx,(ax)y=axya^{x + y} = a^x a^y, \qquad (ab)^x = a^x b^x, \qquad \left( a^x \right)^y = a^{xy}

С этими свойствами показательная функция оказалась положительной, инъективной и строго монотонной; новое рассуждение с точными верхними гранями вместе с неравенством Бернулли доказало, что она принимает все положительные значения, так что она является биекцией R\mathbb{R} на (0,∞)\ioo{0}{\infty}; и было доказано, что в конце концов она обгоняет квадраты.

Число e

Урок о числе e и натуральной экспоненте выбрал привилегированное основание. С помощью бинома Ньютона и неравенства Бернулли он доказал, что (1+1n)n\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n возрастает, а (1+1n)n+1\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n + 1} убывает, и определил ee как число, заключённое между обеими последовательностями; доказал, что оно является также точной верхней гранью сумм величин, обратных факториалам, с погрешностью меньше 1n! n\frac{1}{n! \, n}, и что оно иррационально, а с помощью основного неравенства и степени степени доказал, что точная верхняя грань капиталов (1+rn)n\left( 1 + \frac{r}{n} \right)^n равна ere^r, не прибегая к понятию предела. Самый плодотворный результат урока есть основное неравенство, верное для всякого действительного xx, с равенством только при x=0x = 0, которое вновь появляется почти во всех последующих доказательствах:

ex≥1+xe^x \geq 1 + x

Логарифм и уравнения

Урок о логарифмической функции получил log⁡a\log_a как функцию, обратную к показательной, и перевёл каждое свойство степеней в свойство логарифмов; переход к новому основанию показал, что все логарифмы кратны одному, а лемма Евклида доказала, что log⁡23\log_2 3 иррационален. Урок о показательных и логарифмических уравнениях и неравенствах превратил два свойства этих функций в методы: инъективность позволяет приравнивать показатели и аргументы, а монотонность сохраняет или меняет знак неравенства в зависимости от основания. Трудности, характерные для этих задач, а именно область определения, посторонние корни и неположительные значения вспомогательной переменной, все происходят из того, что показательная функция принимает только положительные значения. Лишь один результат того урока опирается на то, что раздел не доказывает: существование решения уравнения, не решаемого алгебраическим методом, такого как x+2x=5x + 2^x = 5, опирается на теорему о промежуточном значении, принятую в уроке о рациональных функциях, и на непрерывность показательной функции, которая принимается в уроке о степени с действительным показателем; доказательство обоих фактов относится к математическому анализу. Напротив, единственность решения и деление отрезка пополам, которое его находит, выводятся из порядка.

Модели и гиперболические функции

Урок о моделях роста и убывания доказал, что закон P(t+h)=ekhP(t)P(t + h) = e^{kh} P(t) характеризует модель P0ektP_0 e^{kt} и что, следовательно, всякая монотонная величина, которая изменяется в одной и той же пропорции за равные промежутки времени, является показательной; отсюда время удвоения и период полураспада, радиоуглеродное датирование по углероду-14, закон Ньютона, полулогарифмическая линеаризация и логистическая модель. Наконец, урок о гиперболических функциях соединил exe^x и e−xe^{-x} в гиперболический косинус и гиперболический синус, основное тождество которых есть прямое следствие свойства степеней:

cosh⁡2x−sinh⁡2x=(cosh⁡x+sinh⁡x)(cosh⁡x−sinh⁡x)=exe−x=1\cosh^2 x - \sinh^2 x = \left( \cosh x + \sinh x \right) \left( \cosh x - \sinh x \right) = e^x e^{-x} = 1

Из него вытекли параметризация правой ветви гиперболы x2−y2=1x^2 - y^2 = 1, параметр которой восстанавливается с помощью логарифма, формулы сложения и обратные функции, которые выражаются через логарифмы при решении квадратных уравнений относительно eye^y. Так цепь замыкается на себя: экспонента порождает гиперболические функции, а логарифм их обращает.

Рисунок ниже соединяет четыре участка в одну цепь. Каждый узел столбца есть определение или теорема, пронумерованные в логическом порядке и соединённые дугой с предыдущими звеньями, которые использует их доказательство; вокруг расположены опоры, то есть принципы и средства, к которым цепь обращается снова и снова, и каждая соединена сплошной линией со звеньями, которые на неё опираются, и пунктирной со звеном, где она устанавливается, кроме тех, что принимаются без доказательства или взяты из предыдущих разделов: они изображены кольцами. Нажатие на опору выделяет все звенья, которые её используют, а каждое звено ведёт к уроку, где оно доказывается.

Опоры цепи

  • AПолнота. Всякое непустое множество действительных чисел, ограниченное сверху, имеет точную верхнюю грань; сформулирована в разделе о числовых множествах. В этом модуле принимается без доказательства.
  • BПлотность и свойство Архимеда. Между двумя различными действительными числами всегда есть рациональное, и всякое действительное число превосходится некоторым натуральным; доказаны в разделе о числовых множествах. В этом модуле принимается без доказательства.
  • CНеравенство Бернулли. Если x≥−1x \geq -1 и nn натуральное, то (1+x)n≥1+nx(1 + x)^n \geq 1 + nx; доказано по индукции в разделе о натуральных числах. В этом модуле принимается без доказательства.
  • DБином Ньютона. Для всякого натурального nn выполняется (x+y)n=∑k=0n(nk)xn−kyk(x + y)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{n - k} y^k; доказан в разделе о натуральных числах. В этом модуле принимается без доказательства.
  • EЛемма Евклида. Если простое число делит произведение натуральных чисел, то оно делит один из множителей; доказана в разделе о натуральных числах. В этом модуле принимается без доказательства.
  • FСвойства показателей. При a>0a > 0, b>0b > 0 и действительных xx, yy выполняются ax+y=axaya^{x + y} = a^x a^y, (ab)x=axbx(ab)^x = a^x b^x и (ax)y=axy\left( a^x \right)^y = a^{xy}. Устанавливается в: 3. Свойства действительных показателей.
  • GМонотонность показательной функции. Если a>1a > 1, то для действительных uu и vv имеем u<vu < v тогда и только тогда, когда au<ava^u < a^v; при основании между 00 и 11 неравенство меняет знак. Устанавливается в: 2. Двусторонняя оценка и монотонность.
  • HЛогарифм как обратная функция. При x>0x > 0 имеем log⁡ax=y\log_a x = y тогда и только тогда, когда ay=xa^y = x; откуда alog⁡ax=xa^{\log_a x} = x и log⁡a(ay)=y\log_a \left( a^y \right) = y. Устанавливается в: 15. Логарифм.

  1. Участок 1 Степень с действительным показателем

    • Определить axa^x для всякого действительного показателя как точную верхнюю грань рациональных степеней и обосновать, что это определение продолжает прежнее.
    • Заключить axa^x между рациональными степенями и вывести отсюда строгую монотонность.
    • Доказать свойства действительных показателей, включая степень степени, с помощью двусторонних оценок, длину которых оценивает неравенство Бернулли.
    • Описать показательную функцию: область определения, знак, инъективность, неограниченный рост и горизонтальная асимптота.
    • Доказать с помощью полноты и неравенства Бернулли, что показательная функция принимает все положительные значения.

    1. Степень с действительным показателем. Если a>1a > 1, то степень axa^x есть точная верхняя грань степеней ara^r, где rr рационально и r≤xr \leq x; эта грань существует и, если xx рационально, совпадает с уже известной степенью.

      Опирается на: A (Полнота), B (Плотность и свойство Архимеда). Доказывается в уроке: Показательная функция и степень с действительным показателем.

    2. Двусторонняя оценка и монотонность. Если a>1a > 1, а rr, ss рациональны и r<x<sr < x < s, то ar<ax<asa^r < a^x < a^s. Следовательно, если x<yx < y, то ax<aya^x < a^y при a>1a > 1 и ax>aya^x > a^y при 0<a<10 < a < 1; кроме того, ax>0a^x > 0 при всяком положительном основании.

      Использует: 1. Степень с действительным показателем. Опирается на: B (Плотность и свойство Архимеда). Доказывается в уроке: Показательная функция и степень с действительным показателем.

    3. Свойства действительных показателей. При a>0a > 0, b>0b > 0 и действительных xx, yy выполняются ax+y=axaya^{x + y} = a^x a^y и (ab)x=axbx(ab)^x = a^x b^x; с помощью первого из них, единственности арифметического корня и новой двусторонней оценки также (ax)y=axy\left( a^x \right)^y = a^{xy}, при всех сочетаниях знаков.

      Использует: 2. Двусторонняя оценка и монотонность. Опирается на: B (Плотность и свойство Архимеда), C (Неравенство Бернулли). Доказывается в уроке: Показательная функция и степень с действительным показателем.

    4. Показательная функция. Если a>0a > 0 и a≠1a \neq 1, то функция axa^x определена на R\mathbb{R}, положительна и инъективна; если a>1a > 1, она возрастает, превосходит любую границу и приближается к 00 при движении влево, а график (1a)x\left( \frac{1}{a} \right)^x есть её отражение относительно оси yy.

      Использует: 1. Степень с действительным показателем. Опирается на: C (Неравенство Бернулли), G (Монотонность показательной функции). Доказывается в уроке: Показательная функция и степень с действительным показателем.

    5. Множество значений показательной функции. Если a>0a > 0 и a≠1a \neq 1, то для всякого y>0y > 0 существует единственное действительное xx с ax=ya^x = y: если a>1a > 1, это точная верхняя грань рациональных rr с ar<ya^r < y. Показательная функция есть биекция R\mathbb{R} на (0,∞)\ioo{0}{\infty}.

      Использует: 4. Показательная функция. Опирается на: A (Полнота), B (Плотность и свойство Архимеда), C (Неравенство Бернулли), F (Свойства показателей), G (Монотонность показательной функции). Доказывается в уроке: Показательная функция и степень с действительным показателем.

  2. Участок 2 Число e

    • Доказать с помощью бинома Ньютона и неравенства Бернулли, что (1+1n)n\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n возрастает, а (1+1n)n+1\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n + 1} убывает, и оценить её с помощью неравенства k!≥2k−1k! \geq 2^{k - 1}, доказанного по индукции.
    • Определить ee как число, заключённое между обеими последовательностями.
    • Доказать, что ee есть точная верхняя грань сумм величин, обратных факториалам, оценить погрешность и вывести, что ee иррационально.
    • Доказать основное неравенство ex≥1+xe^x \geq 1 + x и с его помощью то, что точная верхняя грань капиталов (1+rn)n\left( 1 + \frac{r}{n} \right)^n равна ere^r.

    1. Возрастание последовательности. Последовательность an=(1+1n)na_n = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n строго возрастает.

      Опирается на: D (Бином Ньютона). Доказывается в уроке: Число e и натуральная экспонента.

    2. Факториалы и степени двойки. Для всякого натурального kk выполняется k!≥2k−1k! \geq 2^{k - 1}, с равенством только при k=1k = 1 или k=2k = 2; доказывается по индукции.

      Доказывается в уроке: Число e и натуральная экспонента.

    3. Оценка последовательности. Для всякого натурального nn выполняется an≤sn<3a_n \leq s_n < 3, где sn=∑k=0n1k!s_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}: каждый член sns_n оценивается членом геометрической прогрессии со знаменателем 12\frac{1}{2}.

      Использует: 7. Факториалы и степени двойки. Опирается на: D (Бином Ньютона). Доказывается в уроке: Число e и натуральная экспонента.

    4. Сопутствующая последовательность. Последовательность bn=(1+1n)n+1b_n = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n + 1} строго убывает.

      Опирается на: C (Неравенство Бернулли). Доказывается в уроке: Число e и натуральная экспонента.

    5. Число e. Число ee, точная верхняя грань членов ana_n, удовлетворяет неравенствам an<e<bna_n < e < b_n для всякого натурального nn.

      Использует: 6. Возрастание последовательности, 8. Оценка последовательности, 9. Сопутствующая последовательность. Опирается на: A (Полнота). Доказывается в уроке: Число e и натуральная экспонента.

    6. Ряд для числа e и его погрешность. Точная верхняя грань сумм sns_n равна ee, и для всякого натурального nn выполняется 0<e−sn<1n! n0 < e - s_n < \frac{1}{n! \, n}.

      Использует: 8. Оценка последовательности, 10. Число e. Опирается на: A (Полнота), B (Плотность и свойство Архимеда), C (Неравенство Бернулли). Доказывается в уроке: Число e и натуральная экспонента.

    7. Иррациональность e. Число ee иррационально.

      Использует: 11. Ряд для числа e и его погрешность. Доказывается в уроке: Число e и натуральная экспонента.

    8. Основное неравенство. Для всякого действительного xx выполняется ex≥1+xe^x \geq 1 + x, причём равенство достигается только при x=0x = 0.

      Использует: 10. Число e. Опирается на: B (Плотность и свойство Архимеда), C (Неравенство Бернулли), F (Свойства показателей), G (Монотонность показательной функции). Доказывается в уроке: Число e и натуральная экспонента.

    9. Непрерывное начисление процентов. Если r>0r > 0, то капиталы (1+rn)n\left( 1 + \frac{r}{n} \right)^n возрастают с ростом nn, ни один не достигает ere^r, и их точная верхняя грань равна ere^r; при t>0t > 0 точная верхняя грань чисел (1+rn)nt\left( 1 + \frac{r}{n} \right)^{nt} равна erte^{rt}.

      Использует: 1. Степень с действительным показателем, 6. Возрастание последовательности, 10. Число e, 13. Основное неравенство. Опирается на: D (Бином Ньютона), F (Свойства показателей), G (Монотонность показательной функции). Доказывается в уроке: Число e и натуральная экспонента.

  3. Участок 3 Логарифм и уравнения

    • Получить log⁡a\log_a как функцию, обратную к показательной, и перевести каждое свойство степеней в свойство логарифмов.
    • Свести все логарифмы к одному с помощью перехода к новому основанию и изучить их монотонность и знак.
    • Доказать с помощью леммы Евклида, что log⁡23\log_2 3 иррационален.
    • Превратить инъективность и монотонность в методы решения уравнений и неравенств.

    1. Логарифм. Так как показательная функция с основанием aa есть биекция R\mathbb{R} на (0,∞)\ioo{0}{\infty}, для каждого x>0x > 0 число log⁡ax\log_a x есть единственное действительное yy, такое что ay=xa^y = x, а функция log⁡a\log_a является обратной к ней.

      Использует: 5. Множество значений показательной функции. Доказывается в уроке: Логарифмическая функция и её свойства.

    2. Свойства логарифмов. При положительных xx, yy и действительном rr выполняются log⁡a(xy)=log⁡ax+log⁡ay\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y, log⁡axy=log⁡ax−log⁡ay\log_a \frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y и log⁡a(xr)=rlog⁡ax\log_a \left( x^r \right) = r \log_a x.

      Опирается на: F (Свойства показателей), H (Логарифм как обратная функция). Доказывается в уроке: Логарифмическая функция и её свойства.

    3. Переход к новому основанию. Выполняется log⁡ax=log⁡bxlog⁡ba\log_a x = \frac{\log_b x}{\log_b a}; всякий логарифм есть натуральный, делённый на постоянную, и log⁡ab⋅log⁡ba=1\log_a b \cdot \log_b a = 1.

      Использует: 16. Свойства логарифмов. Опирается на: H (Логарифм как обратная функция). Доказывается в уроке: Логарифмическая функция и её свойства.

    4. Монотонность и знак логарифма. Функция log⁡a\log_a строго возрастает при a>1a > 1 и строго убывает при 0<a<10 < a < 1, и log⁡ax>0\log_a x > 0 тогда и только тогда, когда (a−1)(x−1)>0(a - 1)(x - 1) > 0.

      Опирается на: G (Монотонность показательной функции), H (Логарифм как обратная функция). Доказывается в уроке: Логарифмическая функция и её свойства.

    5. Иррациональные логарифмы. Если aa и bb взаимно простые натуральные числа, большие 11, то число log⁡ab\log_a b иррационально; в частности, иррационален log⁡23\log_2 3.

      Использует: 18. Монотонность и знак логарифма. Опирается на: F (Свойства показателей), H (Логарифм как обратная функция), E (Лемма Евклида). Доказывается в уроке: Логарифмическая функция и её свойства.

    6. Инъективность и уравнения. Имеем au=ava^u = a^v тогда и только тогда, когда u=vu = v, и log⁡au=log⁡av\log_a u = \log_a v тогда и только тогда, когда u=vu = v; уравнение ax=ca^x = c имеет единственное решение log⁡ac\log_a c при c>0c > 0 и не имеет решений при c≤0c \leq 0.

      Использует: 4. Показательная функция. Опирается на: H (Логарифм как обратная функция). Доказывается в уроке: Показательные и логарифмические уравнения и неравенства.

    7. Монотонность и неравенства. Если a>1a > 1, то au<ava^u < a^v тогда и только тогда, когда u<vu < v, и log⁡au<log⁡av\log_a u < \log_a v тогда и только тогда, когда u<vu < v; если 0<a<10 < a < 1, равносильности верны с противоположным знаком неравенства.

      Использует: 18. Монотонность и знак логарифма. Опирается на: G (Монотонность показательной функции). Доказывается в уроке: Показательные и логарифмические уравнения и неравенства.

  4. Участок 4 Модели и гиперболические функции

    • Охарактеризовать модель P0ektP_0 e^{kt} постоянным отношением за равные промежутки времени и найти время удвоения и период полураспада.
    • Линеаризовать показательные данные на полулогарифмической плоскости и изучить логистическую модель.
    • Определить гиперболические косинус и синус через exe^x и e−xe^{-x} и изучить их монотонность.
    • Доказать основное тождество, параметризовать правую ветвь гиперболы и получить формулы сложения и обратные функции.

    1. Постоянное отношение. Если P(t)=P0ektP(t) = P_0 e^{kt} при P0>0P_0 > 0, то P(t+h)=ekhP(t)P(t + h) = e^{kh} P(t) для всех действительных tt и hh; в целые моменты времени это дискретная модель с k=ln⁡(1+r)k = \ln(1 + r), и функция возрастает при k>0k > 0 и убывает при k<0k < 0.

      Опирается на: F (Свойства показателей), G (Монотонность показательной функции), H (Логарифм как обратная функция). Доказывается в уроке: Модели экспоненциального роста и убывания.

    2. Обращение постоянного отношения. Если функция PP положительна и монотонна, а отношение P(t+h)P(t)\frac{P(t + h)}{P(t)} зависит только от hh, то P(t)=P0ektP(t) = P_0 e^{kt} для некоторого действительного kk: уравнение f(t+h)=f(t)f(h)f(t + h) = f(t) f(h) и монотонность определяют экспоненту.

      Использует: 2. Двусторонняя оценка и монотонность. Опирается на: B (Плотность и свойство Архимеда), F (Свойства показателей), H (Логарифм как обратная функция). Доказывается в уроке: Модели экспоненциального роста и убывания.

    3. Удвоение и период полураспада. Если k>0k > 0, то модель P0ektP_0 e^{kt} удваивается на всяком промежутке длительности T=ln⁡2kT = \frac{\ln 2}{k}, и только на них; если k=−λ<0k = -\lambda < 0, она уменьшается вдвое на всяком промежутке длительности ln⁡2λ\frac{\ln 2}{\lambda}.

      Использует: 22. Постоянное отношение, 20. Инъективность и уравнения. Опирается на: H (Логарифм как обратная функция). Доказывается в уроке: Модели экспоненциального роста и убывания.

    4. Полулогарифмическая линеаризация. Точка (t,y)(t, y) с y>0y > 0 лежит на графике y=Cekty = C e^{kt} тогда и только тогда, когда (t,ln⁡y)(t, \ln y) лежит на прямой Y=ln⁡C+ktY = \ln C + kt; через две точки с различными абсциссами проходит единственный график такого вида.

      Использует: 16. Свойства логарифмов. Опирается на: H (Логарифм как обратная функция). Доказывается в уроке: Модели экспоненциального роста и убывания.

    5. Логистическая модель. Функция P(t)=K1+Ae−rtP(t) = \frac{K}{1 + A e^{-rt}} с положительными KK, AA и rr строго возрастает от 00 до KK, достигает значения K2\frac{K}{2} при t0=ln⁡Art_0 = \frac{\ln A}{r}, и её график симметричен относительно этой точки.

      Использует: 4. Показательная функция. Опирается на: G (Монотонность показательной функции), H (Логарифм как обратная функция). Доказывается в уроке: Модели экспоненциального роста и убывания.

    6. Гиперболические функции. При cosh⁡x=ex+e−x2\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2} и sinh⁡x=ex−e−x2\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2} гиперболический косинус чётен, синус нечётен, и ex=cosh⁡x+sinh⁡xe^x = \cosh x + \sinh x, e−x=cosh⁡x−sinh⁡xe^{-x} = \cosh x - \sinh x.

      Использует: 4. Показательная функция. Доказывается в уроке: Гиперболические функции.

    7. Монотонность гиперболических функций. Гиперболические синус и тангенс строго возрастают, причём −1<tanh⁡x<1-1 < \tanh x < 1; гиперболический косинус убывает при x≤0x \leq 0, возрастает при x≥0x \geq 0, и его наименьшее значение есть cosh⁡0=1\cosh 0 = 1.

      Использует: 27. Гиперболические функции. Опирается на: F (Свойства показателей), G (Монотонность показательной функции). Доказывается в уроке: Гиперболические функции.

    8. Основное тождество. Для всякого действительного xx выполняется cosh⁡2x−sinh⁡2x=1\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1.

      Использует: 27. Гиперболические функции. Опирается на: F (Свойства показателей). Доказывается в уроке: Гиперболические функции.

    9. Параметризация гиперболы. Функция t↦(cosh⁡t,sinh⁡t)t \mapsto \left( \cosh t, \sinh t \right) есть биекция R\mathbb{R} на правую ветвь x2−y2=1x^2 - y^2 = 1, и обратная к ней сопоставляет точке (x,y)(x, y) число ln⁡(x+y)\ln(x + y).

      Использует: 20. Инъективность и уравнения, 27. Гиперболические функции, 28. Монотонность гиперболических функций, 29. Основное тождество. Опирается на: H (Логарифм как обратная функция). Доказывается в уроке: Гиперболические функции.

    10. Формулы сложения. Выполняются cosh⁡(a+b)=cosh⁡acosh⁡b+sinh⁡asinh⁡b\cosh(a + b) = \cosh a \cosh b + \sinh a \sinh b и sinh⁡(a+b)=sinh⁡acosh⁡b+cosh⁡asinh⁡b\sinh(a + b) = \sinh a \cosh b + \cosh a \sinh b.

      Использует: 27. Гиперболические функции. Опирается на: F (Свойства показателей). Доказывается в уроке: Гиперболические функции.

    11. Обратные гиперболические функции. Выполняются arsinh⁡x=ln⁡(x+x2+1)\operatorname{arsinh} x = \ln \left( x + \sqrt{x^2 + 1} \right), arcosh⁡x=ln⁡(x+x2−1)\operatorname{arcosh} x = \ln \left( x + \sqrt{x^2 - 1} \right) при x≥1x \geq 1, и artanh⁡x=12ln⁡1+x1−x\operatorname{artanh} x = \frac{1}{2} \ln \frac{1 + x}{1 - x} при −1<x<1-1 < x < 1.

      Использует: 28. Монотонность гиперболических функций. Опирается на: H (Логарифм как обратная функция). Доказывается в уроке: Гиперболические функции.

К тригонометрическим функциям. Цепь замыкается на себя: экспонента порождает гиперболические функции, а логарифм их обращает. Следующий курс сделает с окружностью x2+y2=1x^2 + y^2 = 1 то, что этот раздел сделал с гиперболой x2−y2=1x^2 - y^2 = 1.