Перейти к содержимому
Topos Uranos
Русский

Модели экспоненциального роста и убывания

Краткое содержание

В этом уроке показательная и логарифмическая функции применяются к описанию величин, которые изменяются в одной и той же пропорции за равные периоды. Изучаются дискретный рост с постоянным отношением и непрерывная модель P(t)=P0ektP(t) = P_0 e^{kt}; доказывается, что в ней время удвоения и период полураспада не зависят от момента, в который их измеряют, и результат применяется к радиоактивному распаду, к датированию по углероду-14 и к закону охлаждения Ньютона. Затем урок учит определять параметры модели по двум данным, доказывает, что экспоненциальные данные ложатся на прямую на полулогарифмическом графике, и завершается логистической моделью, рост в которой ограничен, а график симметричен относительно своей середины.

Цели обучения

  1. Распознавать модели дискретного и непрерывного роста и убывания и связывать относительное изменение за период с константой модели.
  2. Вычислять и использовать время удвоения и период полураспада и применять их к радиоактивному распаду, к датированию по углероду-14 и к охлаждению тела.
  3. Определять параметры показательной модели по двум данным и распознавать экспоненциальные данные на полулогарифмическом графике.
  4. Исследовать логистическую модель: её ограниченность, её монотонность и симметрию её графика относительно точки, в которой она достигает половины своей верхней границы.

Рост с постоянным отношением

Величина может возрастать двумя элементарными способами. Если за каждый период к ней прибавляется одно и то же количество, её значения образуют арифметическую прогрессию, а её график есть прямая; так растёт капитал при простых процентах, который каждый год получает один и тот же доход. Если же за каждый период она умножается на один и тот же множитель, её значения образуют геометрическую прогрессию; так растёт капитал при сложных процентах, доход которого за каждый год начисляется на накопленный капитал, и так растёт популяция бактерий, в которой каждая клетка делится за фиксированное время. Обе прогрессии изучались в уроке о суммах, прогрессиях и индукции; этот урок занимается второй из них и её непрерывным вариантом.

Пусть P0>0P_0 > 0 есть начальное значение величины и PnP_n её значение по истечении nn периодов. Говорят, что величина изменяется с постоянным отношением rr за период, где r>−1r > -1, если каждое значение получается из предшествующего умножением на 1+r1 + r, то есть если частное двух последовательных значений всегда одно и то же:

Pn+1Pn=1+r\frac{P_{n + 1}}{P_n} = 1 + r

Число rr обычно выражают в процентах: для популяции, которая увеличивается на 33 процента в год, имеем r=3100r = \frac{3}{100}, а для вещества, которое каждый час теряет пятую часть своей массы, имеем r=−15r = -\frac{1}{5}. Если r>0r > 0, говорят о росте; если −1<r<0-1 < r < 0, об убывании.

ЛеммаРост с постоянным отношением

Если Pn+1=(1+r)PnP_{n + 1} = (1 + r) P_n для всех nn, причём P0>0P_0 > 0 и r>−1r > -1, то Pn=P0(1+r)nP_n = P_0 (1 + r)^n для всякого натурального nn. Все значения положительны; последовательность строго возрастает, если r>0r > 0, и строго убывает, если −1<r<0-1 < r < 0.

Формула есть общий член геометрической прогрессии со знаменателем 1+r1 + r и доказывается по индукции. На рисунке показаны первые значения при P0=1P_0 = 1, сначала при r=12r = \frac{1}{2}, а затем при r=−12r = -\frac{1}{2}.

Доказательство

  1. P1=(1+r)P0=P0(1+r)1P_1 = (1 + r) P_0 = P_0 (1 + r)^{\resaltar{1}}

    При n=1n = 1 формула есть условие леммы, применённое к P0P_0.

  2. Pn+1=(1+r)Pn=(1+r)P0(1+r)n=P0(1+r)n+1P_{n + 1} = (1 + r) \resaltar{P_n} = (1 + r) \resaltar{P_0 (1 + r)^n} = \dato{f}{P_0 (1 + r)^{n + 1}}

    Если формула верна для nn, условие леммы даёт её для n+1n + 1; по принципу математической индукции она верна для всякого натурального.

  3. P0>0,1+r>0→Pn>0P_0 > 0, \quad 1 + r > 0 \rightarrow \dato{p}{P_n > 0}

    Поскольку P0P_0 и 1+r1 + r положительны, все их степени и произведения положительны: все значения положительны.

  4. Pn+1−Pn=rPnP_{n + 1} - P_n = \resaltar{r P_n}

    Разность двух последовательных значений равна rPnr P_n и имеет знак rr: последовательность возрастает, если r>0r > 0, и убывает, если −1<r<0-1 < r < 0.

Например, капитал 10001000 под 55 процентов годовых со сложными процентами через три года превращается в

C3=1000(1+5100)3=92618C_3 = 1000 \left( 1 + \frac{5}{100} \right)^3 = \frac{9261}{8}

то есть в 1157,625, тогда как при простых процентах он превратился бы в 11501150. Разность, малая вначале, неограниченно растёт с числом лет; решённая задача 2 доказывает, что начиная со второго года сложные проценты всегда превышают простые, а систематическое изучение капиталов и процентных ставок есть предмет курса «Финансовая математика».