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Topos Uranos
Deutsch

Die Hyperbelfunktionen

Zusammenfassung

Diese Lektion untersucht den Kosinus, den Sinus und den Tangens hyperbolicus, drei Funktionen, die man erhält, indem man die natürliche Exponentialfunktion exe^x mit ihrem Kehrwert e−xe^{-x} kombiniert. Sie bestimmt ihre Parität, ihr Vorzeichen, ihre Monotonie und ihre Wertemenge und beweist die Identität cosh⁡2x−sinh⁡2x=1\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1, nach der der Punkt (cosh⁡t,sinh⁡t)\left( \cosh t, \sinh t \right) den rechten Ast der Hyperbel x2−y2=1x^2 - y^2 = 1 durchläuft und jeden ihrer Punkte genau einmal trifft; daher kommt ihr Name. Danach leitet sie die Additionstheoreme und die Doppelargumentformeln her und gewinnt die Umkehrfunktionen, die sich durch Logarithmen ausdrücken lassen. Schließlich beschreibt sie die Kettenlinie, die Form einer durchhängenden Kette, und den Flächeninhalt des Hyperbelsektors, der die Analogie zu den Kreisfunktionen ankündigt.

Lernziele

  1. Den Kosinus, den Sinus und den Tangens hyperbolicus aus der natürlichen Exponentialfunktion definieren und ihre Parität, ihr Vorzeichen, ihre Monotonie und ihre Schranken beweisen.
  2. Den hyperbolischen Pythagoras beweisen und damit die Äste von Hyperbeln parametrisieren, wobei man erkennt, dass jedem Punkt eines Astes ein einziger Parameter entspricht.
  3. Die Additionstheoreme und die Doppelargumentformeln herleiten und auf den Beweis von Identitäten und Ungleichungen anwenden.
  4. Die hyperbolischen Umkehrfunktionen mit ihren Definitionsmengen gewinnen, indem man quadratische Gleichungen in eye^y löst, und sie zum Lösen hyperbolischer Gleichungen verwenden.

Definition und erste Eigenschaften

In der Lektion über die Zahl e und die natürliche Exponentialfunktion wurde die Funktion exe^x definiert, die auf der ganzen reellen Zahlengeraden positiv und streng monoton wachsend ist. Ihr Kehrwert e−x=1exe^{-x} = \frac{1}{e^x} ist ebenfalls positiv, aber streng monoton fallend, und sein Graph ist das Spiegelbild des Graphen von exe^x an der yy-Achse, gemäß der Lektion über die Funktionsverknüpfung. Die halbe Summe und die halbe Differenz dieser beiden Funktionen sowie ihr Quotient treten in der Geometrie, in der Physik und in der Analysis so häufig auf, dass sie eigene Namen tragen.

Für jede reelle Zahl xx definiert man den Kosinus hyperbolicus, den Sinus hyperbolicus und den Tangens hyperbolicus von xx als die halbe Summe von exe^x und e−xe^{-x}, ihre halbe Differenz beziehungsweise den Quotienten aus der zweiten und der ersten.
cosh⁡x=ex+e−x2,sinh⁡x=ex−e−x2,tanh⁡x=sinh⁡xcosh⁡x=ex−e−xex+e−x\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}, \qquad \sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}, \qquad \tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}

Die drei Funktionen sind auf ganz R\mathbb{R} definiert: Der Nenner des Tangens ist eine Summe zweier positiver Zahlen und verschwindet nie. An der Stelle x=0x = 0 gilt e0=1e^0 = 1, sodass cosh⁡0=1\cosh 0 = 1, sinh⁡0=0\sinh 0 = 0 und tanh⁡0=0\tanh 0 = 0. Das Adjektiv „hyperbolisch“ wird im dritten Teil der Lektion begründet, wo sich zeigen wird, dass diese Funktionen eine Hyperbel beschreiben.

LemmaParität und Zerlegung der Exponentialfunktion

Der Kosinus hyperbolicus ist eine gerade Funktion, und der Sinus und der Tangens hyperbolicus sind ungerade Funktionen. Außerdem gelten für jede reelle Zahl xx die Gleichungen ex=cosh⁡x+sinh⁡xe^x = \cosh x + \sinh x und e−x=cosh⁡x−sinh⁡xe^{-x} = \cosh x - \sinh x.

Ersetzt man xx durch −x-x, so tauschen die Funktionen exe^x und e−xe^{-x} ihre Rollen. Die Abbildung zeigt die Graphen des Kosinus und des Sinus hyperbolicus mit je zwei Punkten mit entgegengesetzten Abszissen.

Beweis

  1. cosh⁡(−x)=e−x+ex2=cosh⁡x\cosh(-x) = \frac{\resaltar{e^{-x} + e^{x}}}{2} = \cosh x

    Ersetzt man xx durch −x-x, so ändert sich die halbe Summe nicht, weil ihre beiden Summanden die Plätze tauschen: Der Kosinus hyperbolicus ist gerade, und sein Graph ist symmetrisch zur yy-Achse.

  2. sinh⁡(−x)=e−x−ex2=−sinh⁡x\sinh(-x) = \frac{\resaltar{e^{-x} - e^{x}}}{2} = -\sinh x

    Die halbe Differenz dagegen ändert ihr Vorzeichen: Der Sinus hyperbolicus ist ungerade, und sein Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung.

  3. tanh⁡(−x)=−sinh⁡xcosh⁡x=−tanh⁡x\tanh(-x) = \frac{\resaltar{-\sinh x}}{\resaltar{\cosh x}} = -\tanh x

    Der Tangens, Quotient einer ungeraden durch eine gerade Funktion, ist ungerade.

  4. cosh⁡x+sinh⁡x=ex,cosh⁡x−sinh⁡x=e−x\cosh x + \sinh x = \resaltar{e^x}, \qquad \cosh x - \sinh x = \resaltar{e^{-x}}

    Addiert und subtrahiert man die Definitionen des Kosinus und des Sinus hyperbolicus, so gewinnt man die beiden Exponentialfunktionen wieder: cosh⁡x\cosh x und sinh⁡x\sinh x sind der gerade beziehungsweise der ungerade Anteil der Exponentialfunktion.

BeispielDie Graphen des Kosinus und des Sinus hyperbolicus

Die Graphen von cosh⁡\cosh und von sinh⁡\sinh entstehen, indem man die Ordinaten von ex2\frac{e^x}{2} und von e−x2\frac{e^{-x}}{2} Abszisse für Abszisse addiert und subtrahiert.

Beweis

  1. y=ex2,e02=12y = \frac{e^x}{2}, \quad \frac{e^0}{2} = \frac{1}{2}

    Den Graphen von ex2\frac{e^x}{2} erhält man aus dem von exe^x, indem man ihn vertikal auf die Hälfte staucht: Er schneidet die yy-Achse bei 12\frac{1}{2}, wächst nach rechts unbeschränkt und nähert sich nach links der xx-Achse.

  2. y=e−x2y = \frac{e^{-x}}{2}

    Der Graph von e−x2\frac{e^{-x}}{2} ist das Spiegelbild des ersten an der yy-Achse.

  3. cosh⁡0=12+12=1\cosh 0 = \resaltar{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = \resaltar{1}

    An jeder Abszisse ist cosh⁡x\cosh x die Summe der beiden Ordinaten. An der Stelle 00 sind beide gleich 12\frac{1}{2}: Der Graph geht durch (0,1)(0, 1) und ist symmetrisch zur yy-Achse, weil der Kosinus hyperbolicus gerade ist.

  4. cosh⁡x−ex2=e−x2>0\cosh x - \frac{e^x}{2} = \frac{e^{-x}}{2} > 0

    Der Kosinus hyperbolicus übertrifft ex2\frac{e^x}{2} genau um e−x2\frac{e^{-x}}{2}, eine positive Größe, die beliebig klein wird, wenn xx wächst: Nach rechts nähert sich der Graph von cosh⁡\cosh von oben dem von ex2\frac{e^x}{2}, nach links wegen der Symmetrie dem von e−x2\frac{e^{-x}}{2}.

  5. sinh⁡0=12−12=0\sinh 0 = \resaltar{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}} = \resaltar{0}

    Der Sinus hyperbolicus ist die Differenz der Ordinaten. Sein Graph geht durch den Ursprung und ist punktsymmetrisch zum Ursprung, weil der Sinus hyperbolicus ungerade ist.

  6. cosh⁡x−sinh⁡x=e−x>0\cosh x - \sinh x = e^{-x} > 0

    Nach rechts nähert sich der Graph von sinh⁡\sinh von unten dem von ex2\frac{e^x}{2}, während der von cosh⁡\cosh sich ihm von oben nähert: Die beiden kommen einander näher, ohne sich je zu berühren, weil ihre Differenz positiv ist.

Das Vorzeichen des Sinus hyperbolicus lässt sich an seiner Definition ablesen: sinh⁡x>0\sinh x > 0 ist gleichwertig mit ex>e−xe^x > e^{-x}, und da die Exponentialfunktion streng monoton wächst, tritt dies genau dann ein, wenn x>−xx > -x gilt, das heißt, wenn x>0x > 0 gilt. Daher ist der Sinus hyperbolicus negativ, falls x<0x < 0, null an der Stelle 00 und positiv, falls x>0x > 0; der Tangens hyperbolicus, Quotient des Sinus durch eine positive Zahl, hat dasselbe Vorzeichen. Der Kosinus hyperbolicus dagegen ist stets positiv, und es gilt sogar mehr.

LemmaUntere Schranke des Kosinus hyperbolicus

Für jede reelle Zahl xx gilt cosh⁡x−1=2sinh⁡2x2\cosh x - 1 = 2 \sinh^2 \frac{x}{2}. Folglich gilt cosh⁡x≥1\cosh x \geq 1, und Gleichheit tritt nur für x=0x = 0 ein.

Die Idee ist, im Zähler von cosh⁡x−1\cosh x - 1 das Quadrat einer Differenz zu erkennen. Die Abbildung zeigt den Graphen des Kosinus hyperbolicus über der Geraden y=1y = 1, mit der Differenz zwischen beiden als vertikaler Strecke.

Beweis

  1. ex=(ex2)2,e−x=(e−x2)2,ex2e−x2=1e^x = \left( e^{\frac{x}{2}} \right)^2, \quad e^{-x} = \left( e^{-\frac{x}{2}} \right)^2, \quad \dato{p}{e^{\frac{x}{2}} e^{-\frac{x}{2}} = 1}

    Nach den Potenzgesetzen ist exe^x das Quadrat von ex2e^{\frac{x}{2}}, e−xe^{-x} das von e−x2e^{-\frac{x}{2}}, und das Produkt dieser beiden Potenzen ist e0=1e^0 = 1.

  2. cosh⁡x−1=ex−2+e−x2=(ex2−e−x2)22=2sinh⁡2x2\cosh x - 1 = \frac{\resaltar{e^x - 2 + e^{-x}}}{2} = \frac{\resaltar{\left( e^{\frac{x}{2}} - e^{-\frac{x}{2}} \right)^2}}{2} = \dato{c}{2 \sinh^2 \frac{x}{2}}

    Daher ist der Zähler von cosh⁡x−1\cosh x - 1 das Quadrat einer Differenz, und diese Differenz ist das Doppelte von sinh⁡x2\sinh \frac{x}{2}.

  3. cosh⁡x−1=2sinh⁡2x2≥0\cosh x - 1 = \resaltar{2 \sinh^2 \frac{x}{2}} \geq 0

    Ein Quadrat ist nicht negativ: Der Kosinus hyperbolicus ist mindestens 11.

  4. cosh⁡x=1↔ex2=e−x2↔x=0\cosh x = 1 \leftrightarrow e^{\frac{x}{2}} = e^{-\frac{x}{2}} \leftrightarrow \resaltar{x = 0}

    Gleichheit verlangt, dass die Basis des Quadrats null ist, also ex2=e−x2e^{\frac{x}{2}} = e^{-\frac{x}{2}}; da die Exponentialfunktion injektiv ist, verlangt dies x2=−x2\frac{x}{2} = -\frac{x}{2}, das heißt x=0x = 0.

Die Ungleichung cosh⁡x≥1\cosh x \geq 1 ist die Ungleichung zwischen dem arithmetischen und dem geometrischen Mittel der positiven Zahlen exe^x und e−xe^{-x}, deren geometrisches Mittel 11 ist.