Exponentialfunktionen: Synthese und Herausforderungen

Zusammenfassung

Diese Lektion schließt die Einheit über die Exponential-, Logarithmus- und Hyperbelfunktionen ab, die letzte des Kurses. Sie fasst ihre Ergebnisse zu einer einzigen deduktiven Kette zusammen, die von der Vollständigkeit der reellen Zahlen ausgeht und bis zur Parametrisierung der Hyperbel reicht; sie zeigt, wie diese Kette auf den früheren Einheiten des Kurses beruht, von der Induktion und dem binomischen Lehrsatz bis zur Gleichung der Hyperbel, und wie sie den Kurs Algebra und Geometrie II vorbereitet, der mit den trigonometrischen Funktionen und den Polarkoordinaten beginnt. Sie endet mit zehn Herausforderungen, schwieriger als die in den Lektionen gestellten Aufgaben, die verlangen, mehrere von ihnen zu verbinden und eine eigene Idee zu finden.

Lernziele

Die Kette der Definitionen und Sätze der Einheit rekonstruieren und dabei in jedem Glied das frühere Ergebnis erkennen, von dem es abhängt.
Die Ergebnisse der Einheit mit denen der früheren Einheiten in Beziehung setzen und ihre Rolle bei den trigonometrischen Funktionen im Kurs Algebra und Geometrie II vorwegnehmen.
Aufgaben lösen, die die Monotonie der Exponentialfunktion, die Logarithmengesetze, die Ungleichung $e^x \geq 1 + x$ und die hyperbolischen Additionstheoreme verbinden.
Selbstständig die Substitution, die Ungleichung oder die Hilfsfunktion wählen, die eine nicht routinemäßige Aufgabe auf eine bekannte reduziert.

Was die Einheit erreicht hat

Die Einheit ging von einem Mangel aus: Am Ende der Einheit über die Zahlbereiche hatte die Potenz $a^x$ einen Sinn für rationales $x$ , aber nicht für $x = \sqrt{2}$ . Ihr Endergebnis ist eine Familie von Funktionen, die auf der ganzen Geraden definiert sind, mit vollständigen algebraischen Gesetzen, expliziten Umkehrfunktionen und einer geometrischen Deutung. Die Glieder der Kette sind die folgenden.

Die Potenz mit reellem Exponenten

Die Lektion über die Exponentialfunktion und Potenzen mit reellen Exponenten definierte $a^x$ , für $a > 1$ , als das Supremum der Potenzen $a^r$ mit rationalem $r$ und $r \leq x$ . Die Vollständigkeit sicherte die Existenz des Supremums; die Dichtheit der rationalen Zahlen lieferte die Einschachtelung $a^r < a^x < a^s$ für $r < x < s$ und mit ihr die strenge Monotonie; die bernoullische Ungleichung beschränkte die Länge der Einschachtelungsintervalle und erlaubte, zusammen mit der archimedischen Eigenschaft, die Potenzgesetze zu beweisen, das letzte von ihnen Fall für Fall nach der Basis und dem Vorzeichen des Exponenten:

a^{x + y} = a^x a^y, \qquad (ab)^x = a^x b^x, \qquad \left( a^x \right)^y = a^{xy}

Mit diesen Gesetzen erwies sich die Exponentialfunktion als positiv, injektiv und streng monoton; ein neues Supremumsargument zeigte zusammen mit der bernoullischen Ungleichung, dass sie jeden positiven Wert annimmt, sodass sie eine Bijektion von $\mathbb{R}$ auf $\ioo{0}{\infty}$ ist; und es wurde bewiesen, dass sie schließlich die Quadrate übertrifft.

Die Zahl e

Die Lektion über die Zahl e und die natürliche Exponentialfunktion wählte eine ausgezeichnete Basis. Mit dem binomischen Lehrsatz und der bernoullischen Ungleichung bewies sie, dass $\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n$ wächst und $\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n + 1}$ fällt, und definierte $e$ als die Zahl, die beide Folgen einschließen; sie bewies, dass sie auch das Supremum der Summen der Kehrwerte der Fakultäten ist, mit einem Fehler kleiner als $\frac{1}{n! \, n}$ , und dass sie irrational ist, und mit der Grundungleichung und der Potenz einer Potenz bewies sie, dass das Supremum der Kapitalien $\left( 1 + \frac{r}{n} \right)^n$ gleich $e^r$ ist, ohne den Begriff des Grenzwerts zu benutzen. Das fruchtbarste Ergebnis der Lektion ist die Grundungleichung, gültig für jedes reelle $x$ , mit Gleichheit nur bei $x = 0$ , die in fast allen späteren Beweisen wiederkehrt:

e^x \geq 1 + x

Der Logarithmus und die Gleichungen

Die Lektion über die Logarithmusfunktion gewann $\log_a$ als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion und übersetzte jedes Potenzgesetz in ein Logarithmengesetz; der Basiswechsel zeigte, dass alle Logarithmen Vielfache eines einzigen sind, und das Lemma von Euklid bewies, dass $\log_2 3$ irrational ist. Die Lektion über Exponential- und Logarithmusgleichungen und -ungleichungen machte aus zwei Eigenschaften dieser Funktionen Methoden: Die Injektivität erlaubt es, Exponenten und Argumente gleichzusetzen, und die Monotonie erhält oder kehrt Ungleichungen je nach Basis um. Die eigentümlichen Schwierigkeiten dieser Aufgaben, die Definitionsmenge, die Scheinlösungen und die nicht positiven Werte der Hilfsvariablen, rühren alle daher, dass die Exponentialfunktion nur positive Werte annimmt. Nur ein Ergebnis jener Lektion beruht auf etwas, das die Einheit nicht beweist: Die Existenz der Lösung einer Gleichung ohne algebraisches Verfahren, etwa $x + 2^x = 5$ , stützt sich auf den Zwischenwertsatz, der in der Lektion über die rationalen Funktionen angenommen wurde, und auf die Stetigkeit der Exponentialfunktion, die in der Lektion über die Potenz mit reellem Exponenten angenommen wird; der Beweis beider Tatsachen gehört in die Analysis. Ihre Eindeutigkeit dagegen und die Bisektion, die sie eingrenzt, folgen aus der Anordnung.

Die Modelle und die Hyperbelfunktionen

Die Lektion über Modelle exponentiellen Wachstums und Zerfalls bewies, dass das Gesetz $P(t + h) = e^{kh} P(t)$ das Modell $P_0 e^{kt}$ kennzeichnet und dass daher jede monotone Größe, die sich in gleichen Intervallen im gleichen Verhältnis ändert, exponentiell ist; daraus ergeben sich die Verdopplungszeit und die Halbwertszeit, die Radiokarbonmethode, das newtonsche Gesetz, die halblogarithmische Linearisierung und das logistische Modell. Schließlich verband die Lektion über die Hyperbelfunktionen $e^x$ und $e^{-x}$ zum Kosinus und Sinus hyperbolicus, deren Grundidentität, der hyperbolische Pythagoras, eine unmittelbare Folge des Potenzgesetzes ist:

\cosh^2 x - \sinh^2 x = \left( \cosh x + \sinh x \right) \left( \cosh x - \sinh x \right) = e^x e^{-x} = 1

Aus ihm folgten die Parametrisierung des rechten Astes der Hyperbel $x^2 - y^2 = 1$ , deren Parameter man mit einem Logarithmus wiedergewinnt, die Additionstheoreme und die Umkehrfunktionen, die sich mit Logarithmen ausdrücken lassen, indem man quadratische Gleichungen in $e^y$ löst. Die Kette schließt sich so in sich selbst: Die Exponentialfunktion erzeugt die Hyperbelfunktionen, und der Logarithmus kehrt sie um.

Die folgende Abbildung fasst die vier Abschnitte zu einer einzigen Kette zusammen. Jeder Knoten der Säule ist eine Definition oder ein Satz, nach der logischen Ordnung nummeriert und durch einen Bogen mit den früheren Gliedern verbunden, die sein Beweis verwendet; ringsum schweben die Stützen, das heißt die Prinzipien und Werkzeuge, auf die die Kette immer wieder angewiesen ist, jede durch eine durchgezogene Linie mit den Gliedern verbunden, die sich auf sie stützen, und durch eine gepunktete mit dem Glied, in dem sie begründet wird, außer denen, die ohne Beweis angenommen werden oder aus früheren Einheiten stammen und als Ringe gezeichnet sind. Ein Klick auf eine Stütze hebt alle Glieder hervor, die sie verwenden, und jedes Glied verweist auf die Lektion, in der es bewiesen wird.

Stützen der Kette

AVollständigkeit. Jede nichtleere, nach oben beschränkte Menge reeller Zahlen hat ein Supremum; sie wurde in der Einheit über die Zahlbereiche formuliert. In dieser Einheit ohne Beweis angenommen.
BDichtheit und archimedische Eigenschaft. Zwischen zwei verschiedenen reellen Zahlen liegt stets eine rationale, und jede reelle Zahl wird von einer natürlichen übertroffen; bewiesen in der Einheit über die Zahlbereiche. In dieser Einheit ohne Beweis angenommen.
CBernoullische Ungleichung. Ist $x \geq -1$ und $n$ eine natürliche Zahl, so gilt $(1 + x)^n \geq 1 + nx$ ; durch Induktion bewiesen in der Einheit über die natürlichen Zahlen. In dieser Einheit ohne Beweis angenommen.
DBinomischer Lehrsatz. Für jede natürliche Zahl $n$ gilt $(x + y)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{n - k} y^k$ ; bewiesen in der Einheit über die natürlichen Zahlen. In dieser Einheit ohne Beweis angenommen.
ELemma von Euklid. Teilt eine Primzahl ein Produkt natürlicher Zahlen, so teilt sie einen der Faktoren; bewiesen in der Einheit über die natürlichen Zahlen. In dieser Einheit ohne Beweis angenommen.
FPotenzgesetze. Für $a > 0$ , $b > 0$ und reelle $x$ , $y$ gelten $a^{x + y} = a^x a^y$ , $(ab)^x = a^x b^x$ und $\left( a^x \right)^y = a^{xy}$ . Begründet in: 3. Potenzgesetze für reelle Exponenten.
GMonotonie der Exponentialfunktion. Ist $a > 1$ , so gilt für reelle $u$ und $v$ : $u < v$ genau dann, wenn $a^u < a^v$ ; bei einer Basis zwischen $0$ und $1$ kehrt sich die Ungleichung um. Begründet in: 2. Einschachtelung und Monotonie.
HLogarithmus als Umkehrfunktion. Für $x > 0$ gilt $\log_a x = y$ genau dann, wenn $a^y = x$ ; daraus folgen $a^{\log_a x} = x$ und $\log_a \left( a^y \right) = y$ . Begründet in: 15. Logarithmus.

Abschnitt 1 Die Potenz mit reellem Exponenten
- $a^x$ für jeden reellen Exponenten als Supremum rationaler Potenzen definieren und begründen, dass dies die bisherige Definition fortsetzt.
- $a^x$ zwischen rationale Potenzen einschachteln und daraus die strenge Monotonie ableiten.
- Die Potenzgesetze für reelle Exponenten beweisen, einschließlich der Potenz einer Potenz, mit Einschachtelungen, deren Länge die bernoullische Ungleichung beschränkt.
- Die Exponentialfunktion beschreiben: Definitionsmenge, Vorzeichen, Injektivität, unbeschränktes Wachstum und waagerechte Asymptote.
- Mit der Vollständigkeit und der bernoullischen Ungleichung beweisen, dass die Exponentialfunktion jeden positiven Wert annimmt.
1. Potenz mit reellem Exponenten. Ist $a > 1$ , so ist die Potenz $a^x$ das Supremum der Potenzen $a^r$ mit rationalem $r$ und $r \leq x$ ; das Supremum existiert, und ist $x$ rational, so stimmt es mit der schon bekannten Potenz überein.
  Stützt sich auf: A (Vollständigkeit), B (Dichtheit und archimedische Eigenschaft). Bewiesen in: Die Exponentialfunktion und Potenzen mit reellen Exponenten.
2. Einschachtelung und Monotonie. Ist $a > 1$ und sind $r$ , $s$ rationale Zahlen mit $r < x < s$ , so gilt $a^r < a^x < a^s$ . Folglich gilt für $x < y$ , dass $a^x < a^y$ , wenn $a > 1$ , und $a^x > a^y$ , wenn $0 < a < 1$ ; außerdem gilt $a^x > 0$ für jede positive Basis.
  Verwendet: 1. Potenz mit reellem Exponenten. Stützt sich auf: B (Dichtheit und archimedische Eigenschaft). Bewiesen in: Die Exponentialfunktion und Potenzen mit reellen Exponenten.
3. Potenzgesetze für reelle Exponenten. Für $a > 0$ , $b > 0$ und reelle $x$ , $y$ gelten $a^{x + y} = a^x a^y$ und $(ab)^x = a^x b^x$ ; mit dem ersten Gesetz, der Eindeutigkeit der Hauptwurzel und einer neuen Einschachtelung auch $\left( a^x \right)^y = a^{xy}$ , in allen Vorzeichenfällen.
  Verwendet: 2. Einschachtelung und Monotonie. Stützt sich auf: B (Dichtheit und archimedische Eigenschaft), C (Bernoullische Ungleichung). Bewiesen in: Die Exponentialfunktion und Potenzen mit reellen Exponenten.
4. Exponentialfunktion. Ist $a > 0$ und $a \neq 1$ , so ist die Funktion $a^x$ auf $\mathbb{R}$ definiert, positiv und injektiv; ist $a > 1$ , so wächst sie, übertrifft jede Schranke und nähert sich nach links $0$ , und der Graph von $\left( \frac{1}{a} \right)^x$ ist ihr Spiegelbild an der $y$ -Achse.
  Verwendet: 1. Potenz mit reellem Exponenten. Stützt sich auf: C (Bernoullische Ungleichung), G (Monotonie der Exponentialfunktion). Bewiesen in: Die Exponentialfunktion und Potenzen mit reellen Exponenten.
5. Wertemenge der Exponentialfunktion. Ist $a > 0$ und $a \neq 1$ , so gibt es zu jedem $y > 0$ genau ein reelles $x$ mit $a^x = y$ : Ist $a > 1$ , so ist es das Supremum der rationalen Zahlen $r$ mit $a^r < y$ . Die Exponentialfunktion ist eine Bijektion von $\mathbb{R}$ auf $\ioo{0}{\infty}$ .
  Verwendet: 4. Exponentialfunktion. Stützt sich auf: A (Vollständigkeit), B (Dichtheit und archimedische Eigenschaft), C (Bernoullische Ungleichung), F (Potenzgesetze), G (Monotonie der Exponentialfunktion). Bewiesen in: Die Exponentialfunktion und Potenzen mit reellen Exponenten.
Abschnitt 2 Die Zahl e
- Mit dem binomischen Lehrsatz und der bernoullischen Ungleichung beweisen, dass $\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n$ wächst und $\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n + 1}$ fällt, und die erste Folge mit der durch Induktion bewiesenen Ungleichung $k! \geq 2^{k - 1}$ beschränken.
- $e$ als die Zahl definieren, die beide Folgen einschließen.
- Beweisen, dass $e$ das Supremum der Summen der Kehrwerte der Fakultäten ist, den Fehler abschätzen und folgern, dass $e$ irrational ist.
- Die Grundungleichung $e^x \geq 1 + x$ beweisen und mit ihr, dass das Supremum der Kapitalien $\left( 1 + \frac{r}{n} \right)^n$ gleich $e^r$ ist.
1. Wachstum der Folge. Die Folge $a_n = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n$ ist streng monoton wachsend.
  Stützt sich auf: D (Binomischer Lehrsatz). Bewiesen in: Die Zahl e und die natürliche Exponentialfunktion.
2. Fakultäten und Zweierpotenzen. Für jede natürliche Zahl $k$ gilt $k! \geq 2^{k - 1}$ , mit Gleichheit nur für $k = 1$ oder $k = 2$ ; man beweist es durch Induktion.
  Bewiesen in: Die Zahl e und die natürliche Exponentialfunktion.
3. Schranke der Folge. Für jede natürliche Zahl $n$ gilt $a_n \leq s_n < 3$ , wobei $s_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}$ : Jeder Summand von $s_n$ wird durch einen Term einer geometrischen Folge mit dem Quotienten $\frac{1}{2}$ beschränkt.
  Verwendet: 7. Fakultäten und Zweierpotenzen. Stützt sich auf: D (Binomischer Lehrsatz). Bewiesen in: Die Zahl e und die natürliche Exponentialfunktion.
4. Begleitfolge. Die Folge $b_n = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n + 1}$ ist streng monoton fallend.
  Stützt sich auf: C (Bernoullische Ungleichung). Bewiesen in: Die Zahl e und die natürliche Exponentialfunktion.
5. Die Zahl e. Die Zahl $e$ , das Supremum der Terme $a_n$ , erfüllt $a_n < e < b_n$ für jede natürliche Zahl $n$ .
  Verwendet: 6. Wachstum der Folge, 8. Schranke der Folge, 9. Begleitfolge. Stützt sich auf: A (Vollständigkeit). Bewiesen in: Die Zahl e und die natürliche Exponentialfunktion.
6. Reihe für e und ihr Fehler. Das Supremum der Summen $s_n$ ist $e$ , und für jede natürliche Zahl $n$ gilt $0 < e - s_n < \frac{1}{n! \, n}$ .
  Verwendet: 8. Schranke der Folge, 10. Die Zahl e. Stützt sich auf: A (Vollständigkeit), B (Dichtheit und archimedische Eigenschaft), C (Bernoullische Ungleichung). Bewiesen in: Die Zahl e und die natürliche Exponentialfunktion.
7. Irrationalität von e. Die Zahl $e$ ist irrational.
  Verwendet: 11. Reihe für e und ihr Fehler. Bewiesen in: Die Zahl e und die natürliche Exponentialfunktion.
8. Grundungleichung. Für jedes reelle $x$ gilt $e^x \geq 1 + x$ , und Gleichheit tritt nur bei $x = 0$ ein.
  Verwendet: 10. Die Zahl e. Stützt sich auf: B (Dichtheit und archimedische Eigenschaft), C (Bernoullische Ungleichung), F (Potenzgesetze), G (Monotonie der Exponentialfunktion). Bewiesen in: Die Zahl e und die natürliche Exponentialfunktion.
9. Stetige Verzinsung. Ist $r > 0$ , so wachsen die Kapitalien $\left( 1 + \frac{r}{n} \right)^n$ mit $n$ , keines erreicht $e^r$ , und ihr Supremum ist $e^r$ ; für $t > 0$ ist das Supremum der Zahlen $\left( 1 + \frac{r}{n} \right)^{nt}$ gleich $e^{rt}$ .
  Verwendet: 1. Potenz mit reellem Exponenten, 6. Wachstum der Folge, 10. Die Zahl e, 13. Grundungleichung. Stützt sich auf: D (Binomischer Lehrsatz), F (Potenzgesetze), G (Monotonie der Exponentialfunktion). Bewiesen in: Die Zahl e und die natürliche Exponentialfunktion.
Abschnitt 3 Der Logarithmus und die Gleichungen
- $\log_a$ als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion gewinnen und jedes Potenzgesetz in ein Logarithmengesetz übersetzen.
- Alle Logarithmen mittels Basiswechsel auf einen einzigen reduzieren und ihre Monotonie und ihr Vorzeichen untersuchen.
- Mit dem Lemma von Euklid beweisen, dass $\log_2 3$ irrational ist.
- Injektivität und Monotonie in Verfahren zum Lösen von Gleichungen und Ungleichungen verwandeln.
1. Logarithmus. Da die Exponentialfunktion zur Basis $a$ eine Bijektion von $\mathbb{R}$ auf $\ioo{0}{\infty}$ ist, ist für jedes $x > 0$ die Zahl $\log_a x$ die eindeutige reelle Zahl $y$ mit $a^y = x$ , und die Funktion $\log_a$ ist ihre Umkehrfunktion.
  Verwendet: 5. Wertemenge der Exponentialfunktion. Bewiesen in: Die Logarithmusfunktion und ihre Eigenschaften.
2. Logarithmengesetze. Für positive $x$ , $y$ und reelles $r$ gelten $\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y$ , $\log_a \frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y$ und $\log_a \left( x^r \right) = r \log_a x$ .
  Stützt sich auf: F (Potenzgesetze), H (Logarithmus als Umkehrfunktion). Bewiesen in: Die Logarithmusfunktion und ihre Eigenschaften.
3. Basiswechsel. Es gilt $\log_a x = \frac{\log_b x}{\log_b a}$ ; jeder Logarithmus ist der natürliche Logarithmus geteilt durch eine Konstante, und $\log_a b \cdot \log_b a = 1$ .
  Verwendet: 16. Logarithmengesetze. Stützt sich auf: H (Logarithmus als Umkehrfunktion). Bewiesen in: Die Logarithmusfunktion und ihre Eigenschaften.
4. Monotonie und Vorzeichen des Logarithmus. Die Funktion $\log_a$ ist streng monoton wachsend für $a > 1$ und streng monoton fallend für $0 < a < 1$ , und es gilt $\log_a x > 0$ genau dann, wenn $(a - 1)(x - 1) > 0$ .
  Stützt sich auf: G (Monotonie der Exponentialfunktion), H (Logarithmus als Umkehrfunktion). Bewiesen in: Die Logarithmusfunktion und ihre Eigenschaften.
5. Irrationale Logarithmen. Sind $a$ und $b$ teilerfremde natürliche Zahlen größer als $1$ , so ist die Zahl $\log_a b$ irrational; insbesondere gilt dies für $\log_2 3$ .
  Verwendet: 18. Monotonie und Vorzeichen des Logarithmus. Stützt sich auf: F (Potenzgesetze), H (Logarithmus als Umkehrfunktion), E (Lemma von Euklid). Bewiesen in: Die Logarithmusfunktion und ihre Eigenschaften.
6. Injektivität und Gleichungen. Es gilt $a^u = a^v$ genau dann, wenn $u = v$ , und $\log_a u = \log_a v$ genau dann, wenn $u = v$ ; die Gleichung $a^x = c$ hat die einzige Lösung $\log_a c$ , falls $c > 0$ , und keine, falls $c \leq 0$ .
  Verwendet: 4. Exponentialfunktion. Stützt sich auf: H (Logarithmus als Umkehrfunktion). Bewiesen in: Exponential- und Logarithmusgleichungen und -ungleichungen.
7. Monotonie und Ungleichungen. Ist $a > 1$ , so gilt $a^u < a^v$ genau dann, wenn $u < v$ , und $\log_a u < \log_a v$ genau dann, wenn $u < v$ ; ist $0 < a < 1$ , so gelten die Äquivalenzen mit umgekehrtem Ungleichheitszeichen.
  Verwendet: 18. Monotonie und Vorzeichen des Logarithmus. Stützt sich auf: G (Monotonie der Exponentialfunktion). Bewiesen in: Exponential- und Logarithmusgleichungen und -ungleichungen.
Abschnitt 4 Die Modelle und die Hyperbelfunktionen
- Das Modell $P_0 e^{kt}$ durch seine konstante Rate in gleichen Intervallen kennzeichnen und die Verdopplungszeit und die Halbwertszeit bestimmen.
- Exponentielle Daten in der halblogarithmischen Ebene linearisieren und das logistische Modell untersuchen.
- Den Kosinus und den Sinus hyperbolicus aus $e^x$ und $e^{-x}$ definieren und ihre Monotonie untersuchen.
- Den hyperbolischen Pythagoras beweisen, den rechten Ast der Hyperbel parametrisieren und die Additionstheoreme und die Umkehrfunktionen herleiten.
1. Konstante Rate. Ist $P(t) = P_0 e^{kt}$ mit $P_0 > 0$ , so gilt $P(t + h) = e^{kh} P(t)$ für alle reellen $t$ und $h$ ; zu ganzzahligen Zeiten ist es das diskrete Modell mit $k = \ln(1 + r)$ , und die Funktion wächst für $k > 0$ und fällt für $k < 0$ .
  Stützt sich auf: F (Potenzgesetze), G (Monotonie der Exponentialfunktion), H (Logarithmus als Umkehrfunktion). Bewiesen in: Modelle exponentiellen Wachstums und Zerfalls.
2. Umkehrung der konstanten Rate. Ist $P$ positiv und monoton und hängt der Quotient $\frac{P(t + h)}{P(t)}$ nur von $h$ ab, so gilt $P(t) = P_0 e^{kt}$ für ein reelles $k$ : Die Gleichung $f(t + h) = f(t) f(h)$ und die Monotonie bestimmen die Exponentialfunktion.
  Verwendet: 2. Einschachtelung und Monotonie. Stützt sich auf: B (Dichtheit und archimedische Eigenschaft), F (Potenzgesetze), H (Logarithmus als Umkehrfunktion). Bewiesen in: Modelle exponentiellen Wachstums und Zerfalls.
3. Verdopplung und Halbwertszeit. Ist $k > 0$ , so verdoppelt sich das Modell $P_0 e^{kt}$ in jedem Intervall der Dauer $T = \frac{\ln 2}{k}$ , und nur in diesen; ist $k = -\lambda < 0$ , so halbiert es sich in jedem Intervall der Dauer $\frac{\ln 2}{\lambda}$ .
  Verwendet: 22. Konstante Rate, 20. Injektivität und Gleichungen. Stützt sich auf: H (Logarithmus als Umkehrfunktion). Bewiesen in: Modelle exponentiellen Wachstums und Zerfalls.
4. Halblogarithmische Linearisierung. Ein Punkt $(t, y)$ mit $y > 0$ liegt genau dann auf dem Graphen von $y = C e^{kt}$ , wenn $(t, \ln y)$ auf der Geraden $Y = \ln C + kt$ liegt; durch zwei Punkte mit verschiedenen Abszissen geht genau ein Graph dieser Form.
  Verwendet: 16. Logarithmengesetze. Stützt sich auf: H (Logarithmus als Umkehrfunktion). Bewiesen in: Modelle exponentiellen Wachstums und Zerfalls.
5. Logistisches Modell. Die Funktion $P(t) = \frac{K}{1 + A e^{-rt}}$ , mit positiven $K$ , $A$ und $r$ , wächst streng zwischen $0$ und $K$ , erreicht $\frac{K}{2}$ bei $t_0 = \frac{\ln A}{r}$ , und ihr Graph ist symmetrisch bezüglich dieses Punktes.
  Verwendet: 4. Exponentialfunktion. Stützt sich auf: G (Monotonie der Exponentialfunktion), H (Logarithmus als Umkehrfunktion). Bewiesen in: Modelle exponentiellen Wachstums und Zerfalls.
6. Hyperbelfunktionen. Mit $\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ und $\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$ ist der Kosinus hyperbolicus gerade, der Sinus ungerade, und es gilt $e^x = \cosh x + \sinh x$ , $e^{-x} = \cosh x - \sinh x$ .
  Verwendet: 4. Exponentialfunktion. Bewiesen in: Die Hyperbelfunktionen.
7. Monotonie der Hyperbelfunktionen. Der Sinus und der Tangens hyperbolicus sind streng monoton wachsend, mit $-1 < \tanh x < 1$ ; der Kosinus hyperbolicus fällt für $x \leq 0$ , wächst für $x \geq 0$ , und sein Minimum ist $\cosh 0 = 1$ .
  Verwendet: 27. Hyperbelfunktionen. Stützt sich auf: F (Potenzgesetze), G (Monotonie der Exponentialfunktion). Bewiesen in: Die Hyperbelfunktionen.
8. Hyperbolischer Pythagoras. Für jedes reelle $x$ gilt $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$ .
  Verwendet: 27. Hyperbelfunktionen. Stützt sich auf: F (Potenzgesetze). Bewiesen in: Die Hyperbelfunktionen.
9. Parametrisierung der Hyperbel. Die Abbildung $t \mapsto \left( \cosh t, \sinh t \right)$ ist eine Bijektion von $\mathbb{R}$ auf den rechten Ast von $x^2 - y^2 = 1$ , und ihre Umkehrung ordnet dem Punkt $(x, y)$ die Zahl $\ln(x + y)$ zu.
  Verwendet: 20. Injektivität und Gleichungen, 27. Hyperbelfunktionen, 28. Monotonie der Hyperbelfunktionen, 29. Hyperbolischer Pythagoras. Stützt sich auf: H (Logarithmus als Umkehrfunktion). Bewiesen in: Die Hyperbelfunktionen.
10. Additionstheoreme. Es gelten $\cosh(a + b) = \cosh a \cosh b + \sinh a \sinh b$ und $\sinh(a + b) = \sinh a \cosh b + \cosh a \sinh b$ .
  Verwendet: 27. Hyperbelfunktionen. Stützt sich auf: F (Potenzgesetze). Bewiesen in: Die Hyperbelfunktionen.
11. Umkehrfunktionen der Hyperbelfunktionen. Es gelten $\operatorname{arsinh} x = \ln \left( x + \sqrt{x^2 + 1} \right)$ , $\operatorname{arcosh} x = \ln \left( x + \sqrt{x^2 - 1} \right)$ für $x \geq 1$ , und $\operatorname{artanh} x = \frac{1}{2} \ln \frac{1 + x}{1 - x}$ für $-1 < x < 1$ .
  Verwendet: 28. Monotonie der Hyperbelfunktionen. Stützt sich auf: H (Logarithmus als Umkehrfunktion). Bewiesen in: Die Hyperbelfunktionen.

Auf dem Weg zu den trigonometrischen Funktionen. Die Kette schließt sich in sich selbst: Die Exponentialfunktion erzeugt die Hyperbelfunktionen, und der Logarithmus kehrt sie um. Der nächste Kurs wird mit dem Kreis $x^2 + y^2 = 1$ tun, was diese Einheit mit der Hyperbel $x^2 - y^2 = 1$ getan hat.