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Topos Uranos
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As funções hiperbólicas

Resumo

Esta aula estuda o cosseno, o seno e a tangente hiperbólicos, três funções que se obtêm combinando a exponencial natural exe^x com sua recíproca e−xe^{-x}. Determina sua paridade, seu sinal, sua monotonia e seu conjunto imagem, e demonstra a identidade cosh⁡2x−sinh⁡2x=1\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1, segundo a qual o ponto (cosh⁡t,sinh⁡t)\left( \cosh t, \sinh t \right) percorre o ramo direito da hipérbole x2−y2=1x^2 - y^2 = 1 e passa uma única vez por cada um de seus pontos, de onde provém seu nome. Deduz depois as fórmulas de adição e do arco duplo, e obtém as funções inversas, que se expressam por meio de logaritmos. Descreve, por último, a catenária, que é a forma de uma corrente suspensa, e a área do setor hiperbólico, que anuncia a analogia com as funções circulares.

Objetivos de aprendizagem

  1. Definir o cosseno, o seno e a tangente hiperbólicos a partir da exponencial natural, e demonstrar sua paridade, seu sinal, sua monotonia e suas cotas.
  2. Demonstrar a identidade fundamental e empregá-la para parametrizar os ramos das hipérboles, reconhecendo que cada ponto de um ramo corresponde a um único parâmetro.
  3. Deduzir as fórmulas de adição e do arco duplo, e aplicá-las à demonstração de identidades e desigualdades.
  4. Obter as funções hiperbólicas inversas com seus domínios, resolvendo equações quadráticas em eye^y, e usá-las para resolver equações hiperbólicas.

Definição e primeiras propriedades

Na aula sobre o número e e a exponencial natural definiu-se a função exe^x, positiva e estritamente crescente em toda a reta real. Sua recíproca e−x=1exe^{-x} = \frac{1}{e^x} é também positiva, mas estritamente decrescente, e seu gráfico é o reflexo do de exe^x em relação ao eixo yy, segundo a aula sobre as operações com funções. A semissoma e a semidiferença dessas duas funções, e seu quociente, aparecem com tanta frequência na geometria, na física e no cálculo que recebem nome próprio.

Para todo número real xx definem-se o cosseno hiperbólico, o seno hiperbólico e a tangente hiperbólica de xx como a semissoma de exe^x e e−xe^{-x}, sua semidiferença e o quociente entre a segunda e a primeira, respectivamente.
cosh⁡x=ex+e−x2,sinh⁡x=ex−e−x2,tanh⁡x=sinh⁡xcosh⁡x=ex−e−xex+e−x\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}, \qquad \sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}, \qquad \tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}

As três funções estão definidas em todo R\mathbb{R}: o denominador da tangente é uma soma de dois números positivos e nunca se anula. Em x=0x = 0 tem-se e0=1e^0 = 1, de modo que cosh⁡0=1\cosh 0 = 1, sinh⁡0=0\sinh 0 = 0 e tanh⁡0=0\tanh 0 = 0. O adjetivo «hiperbólico» será justificado na terceira seção, onde se verá que essas funções descrevem uma hipérbole.

LemaParidade e decomposição da exponencial

O cosseno hiperbólico é uma função par, e o seno e a tangente hiperbólicos são funções ímpares. Além disso, para todo real xx valem ex=cosh⁡x+sinh⁡xe^x = \cosh x + \sinh x e e−x=cosh⁡x−sinh⁡xe^{-x} = \cosh x - \sinh x.

Ao substituir xx por −x-x, as funções exe^x e e−xe^{-x} trocam de papel. A figura mostra os gráficos do cosseno e do seno hiperbólicos com dois pontos de abscissas opostas em cada um.

Demonstração

  1. cosh⁡(−x)=e−x+ex2=cosh⁡x\cosh(-x) = \frac{\resaltar{e^{-x} + e^{x}}}{2} = \cosh x

    Ao substituir xx por −x-x, a semissoma não muda, porque suas duas parcelas trocam de lugar: o cosseno hiperbólico é par, e seu gráfico é simétrico em relação ao eixo yy.

  2. sinh⁡(−x)=e−x−ex2=−sinh⁡x\sinh(-x) = \frac{\resaltar{e^{-x} - e^{x}}}{2} = -\sinh x

    A semidiferença, por sua vez, muda de sinal: o seno hiperbólico é ímpar, e seu gráfico é simétrico em relação à origem.

  3. tanh⁡(−x)=−sinh⁡xcosh⁡x=−tanh⁡x\tanh(-x) = \frac{\resaltar{-\sinh x}}{\resaltar{\cosh x}} = -\tanh x

    A tangente, quociente de uma função ímpar por uma par, é ímpar.

  4. cosh⁡x+sinh⁡x=ex,cosh⁡x−sinh⁡x=e−x\cosh x + \sinh x = \resaltar{e^x}, \qquad \cosh x - \sinh x = \resaltar{e^{-x}}

    Somando e subtraindo as definições do cosseno e do seno hiperbólicos recuperam-se as duas exponenciais: cosh⁡x\cosh x e sinh⁡x\sinh x são, respectivamente, a parte par e a parte ímpar da exponencial.

ExemploOs gráficos do cosseno e do seno hiperbólicos

Os gráficos de cosh⁡\cosh e de sinh⁡\sinh constroem-se somando e subtraindo, abscissa por abscissa, as ordenadas de ex2\frac{e^x}{2} e de e−x2\frac{e^{-x}}{2}.

Demonstração

  1. y=ex2,e02=12y = \frac{e^x}{2}, \quad \frac{e^0}{2} = \frac{1}{2}

    O gráfico de ex2\frac{e^x}{2} obtém-se do de exe^x comprimindo-o verticalmente à metade: corta o eixo yy em 12\frac{1}{2}, cresce ilimitadamente para a direita e se aproxima do eixo xx para a esquerda.

  2. y=e−x2y = \frac{e^{-x}}{2}

    O gráfico de e−x2\frac{e^{-x}}{2} é o reflexo do primeiro em relação ao eixo yy.

  3. cosh⁡0=12+12=1\cosh 0 = \resaltar{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = \resaltar{1}

    Em cada abscissa, cosh⁡x\cosh x é a soma das duas ordenadas. Em 00 ambas valem 12\frac{1}{2}: o gráfico passa por (0,1)(0, 1), e é simétrico em relação ao eixo yy, porque o cosseno hiperbólico é par.

  4. cosh⁡x−ex2=e−x2>0\cosh x - \frac{e^x}{2} = \frac{e^{-x}}{2} > 0

    O cosseno hiperbólico supera ex2\frac{e^x}{2} exatamente em e−x2\frac{e^{-x}}{2}, quantidade positiva que se torna tão pequena quanto se queira quando xx cresce: para a direita, o gráfico de cosh⁡\cosh se aproxima por cima do de ex2\frac{e^x}{2}, e para a esquerda, por simetria, do de e−x2\frac{e^{-x}}{2}.

  5. sinh⁡0=12−12=0\sinh 0 = \resaltar{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}} = \resaltar{0}

    O seno hiperbólico é a diferença das ordenadas. Passa pela origem e seu gráfico é simétrico em relação à origem, porque o seno hiperbólico é ímpar.

  6. cosh⁡x−sinh⁡x=e−x>0\cosh x - \sinh x = e^{-x} > 0

    Para a direita, o gráfico de sinh⁡\sinh se aproxima por baixo do de ex2\frac{e^x}{2}, enquanto o de cosh⁡\cosh o faz por cima: os dois se aproximam entre si sem chegar a se tocar, porque sua diferença é positiva.

O sinal do seno hiperbólico lê-se em sua definição: sinh⁡x>0\sinh x > 0 equivale a ex>e−xe^x > e^{-x}, e como a exponencial é estritamente crescente, isso ocorre exatamente quando x>−xx > -x, isto é, quando x>0x > 0. Portanto, o seno hiperbólico é negativo se x<0x < 0, nulo em 00 e positivo se x>0x > 0; a tangente hiperbólica, quociente do seno por um número positivo, tem o mesmo sinal. O cosseno hiperbólico, por sua vez, é sempre positivo, e algo mais é verdade.

LemaCota inferior do cosseno hiperbólico

Para todo real xx vale cosh⁡x−1=2sinh⁡2x2\cosh x - 1 = 2 \sinh^2 \frac{x}{2}. Em consequência, cosh⁡x≥1\cosh x \geq 1, e a igualdade ocorre somente quando x=0x = 0.

A ideia é reconhecer no numerador de cosh⁡x−1\cosh x - 1 o quadrado de uma diferença. A figura mostra o gráfico do cosseno hiperbólico acima da reta y=1y = 1, com a diferença entre ambos como um segmento vertical.

Demonstração

  1. ex=(ex2)2,e−x=(e−x2)2,ex2e−x2=1e^x = \left( e^{\frac{x}{2}} \right)^2, \quad e^{-x} = \left( e^{-\frac{x}{2}} \right)^2, \quad \dato{p}{e^{\frac{x}{2}} e^{-\frac{x}{2}} = 1}

    Pelas propriedades das potências, exe^x é o quadrado de ex2e^{\frac{x}{2}}, e−xe^{-x} é o de e−x2e^{-\frac{x}{2}}, e o produto dessas duas potências é e0=1e^0 = 1.

  2. cosh⁡x−1=ex−2+e−x2=(ex2−e−x2)22=2sinh⁡2x2\cosh x - 1 = \frac{\resaltar{e^x - 2 + e^{-x}}}{2} = \frac{\resaltar{\left( e^{\frac{x}{2}} - e^{-\frac{x}{2}} \right)^2}}{2} = \dato{c}{2 \sinh^2 \frac{x}{2}}

    Portanto, o numerador de cosh⁡x−1\cosh x - 1 é o quadrado de uma diferença, e essa diferença é o dobro de sinh⁡x2\sinh \frac{x}{2}.

  3. cosh⁡x−1=2sinh⁡2x2≥0\cosh x - 1 = \resaltar{2 \sinh^2 \frac{x}{2}} \geq 0

    Um quadrado não é negativo: o cosseno hiperbólico é pelo menos 11.

  4. cosh⁡x=1↔ex2=e−x2↔x=0\cosh x = 1 \leftrightarrow e^{\frac{x}{2}} = e^{-\frac{x}{2}} \leftrightarrow \resaltar{x = 0}

    A igualdade exige que a base do quadrado seja nula, isto é, ex2=e−x2e^{\frac{x}{2}} = e^{-\frac{x}{2}}; como a exponencial é injetora, isso exige x2=−x2\frac{x}{2} = -\frac{x}{2}, ou seja, x=0x = 0.

A desigualdade cosh⁡x≥1\cosh x \geq 1 é a desigualdade entre a média aritmética e a média geométrica dos números positivos exe^x e e−xe^{-x}, cuja média geométrica é 11.