Funções exponenciais e hiperbólicas: síntese e desafios

Resumo

Esta aula encerra a unidade sobre as funções exponencial, logarítmica e hiperbólicas, que é a última do curso. Reúne seus resultados numa só cadeia dedutiva, que parte da completude dos reais e chega à parametrização da hipérbole; mostra como essa cadeia se apoia nas unidades precedentes do curso, da indução e do binômio de Newton até a equação da hipérbole, e como prepara o curso de Álgebra e Geometria II, que começa com as funções trigonométricas e as coordenadas polares. Termina com dez desafios, de dificuldade superior à dos problemas propostos nas aulas, que exigem combinar várias delas e encontrar uma ideia própria.

Objetivos de aprendizagem

Reconstruir a cadeia de definições e teoremas da unidade, identificando em cada elo o resultado precedente do qual depende.
Relacionar os resultados da unidade com os das unidades precedentes e antecipar seu papel nas funções trigonométricas do curso de Álgebra e Geometria II.
Resolver problemas que combinam a monotonia da exponencial, as propriedades dos logaritmos, a desigualdade $e^x \geq 1 + x$ e as fórmulas de adição hiperbólicas.
Escolher por conta própria a substituição, a desigualdade ou a função auxiliar que reduz um problema não rotineiro a um conhecido.

O que a unidade alcançou

A unidade partiu de uma carência: ao terminar a unidade sobre os conjuntos numéricos, a potência $a^x$ tinha sentido para $x$ racional, mas não para $x = \sqrt{2}$ . Seu resultado final é uma família de funções definidas em toda a reta, com propriedades algébricas completas, inversas explícitas e uma interpretação geométrica. Os elos da cadeia são estes.

A potência de expoente real

A aula sobre a função exponencial e a potência de expoente real definiu $a^x$ , para $a > 1$ , como o supremo das potências $a^r$ com $r$ racional e $r \leq x$ . A completude garantiu a existência do supremo; a densidade dos racionais deu o enquadramento $a^r < a^x < a^s$ para $r < x < s$ , e com ele a monotonia estrita; a desigualdade de Bernoulli limitou o comprimento dos intervalos de enquadramento e permitiu demonstrar, com a propriedade arquimediana, as propriedades das potências, a última delas caso a caso segundo a base e o sinal do expoente:

a^{x + y} = a^x a^y, \qquad (ab)^x = a^x b^x, \qquad \left( a^x \right)^y = a^{xy}

Com essas propriedades, a função exponencial revelou-se positiva, injetora e estritamente monótona; um novo argumento de supremos, com a desigualdade de Bernoulli, demonstrou que ela assume todos os valores positivos, de modo que é bijetora de $\mathbb{R}$ em $\ioo{0}{\infty}$ ; e demonstrou-se que ela acaba por superar os quadrados.

O número e

A aula sobre o número e e a exponencial natural escolheu uma base privilegiada. Com o binômio de Newton e a desigualdade de Bernoulli demonstrou que $\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n$ cresce e $\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n + 1}$ decresce, e definiu $e$ como o número que ambas as sequências encerram; demonstrou que ele é também o supremo das somas dos inversos dos fatoriais, com um erro menor que $\frac{1}{n! \, n}$ , e que é irracional, e, com a desigualdade fundamental e a potência de uma potência, demonstrou que o supremo dos capitais $\left( 1 + \frac{r}{n} \right)^n$ é $e^r$ , sem recorrer ao conceito de limite. O resultado mais fecundo da aula é a desigualdade fundamental, válida para todo real $x$ , com igualdade só em $x = 0$ , que reaparece em quase todas as demonstrações posteriores:

e^x \geq 1 + x

O logaritmo e as equações

A aula sobre a função logarítmica obteve $\log_a$ como a inversa da exponencial e traduziu cada propriedade das potências numa propriedade dos logaritmos; a mudança de base mostrou que todos os logaritmos são múltiplos de um só, e o lema de Euclides demonstrou que $\log_2 3$ é irracional. A aula sobre as equações e inequações exponenciais e logarítmicas converteu duas propriedades dessas funções em métodos: a injetividade permite igualar expoentes e argumentos, e a monotonia conserva ou inverte as desigualdades conforme a base. As dificuldades próprias desses problemas, o domínio, as soluções estranhas e os valores não positivos da variável auxiliar, provêm todas de que a exponencial só assume valores positivos. Só um resultado dessa aula repousa em algo que a unidade não demonstra: a existência da solução de uma equação sem método algébrico, como $x + 2^x = 5$ , apoia-se no teorema do valor intermediário, admitido na aula sobre as funções racionais, e na continuidade da exponencial, que se admite na aula sobre a potência de expoente real; a demonstração de ambos os fatos pertence ao cálculo. Sua unicidade, por outro lado, e a bissecção que a localiza, deduzem-se da ordem.

Os modelos e as funções hiperbólicas

A aula sobre os modelos de crescimento e decaimento demonstrou que a lei $P(t + h) = e^{kh} P(t)$ caracteriza o modelo $P_0 e^{kt}$ , e que, portanto, toda grandeza monótona que muda na mesma proporção em intervalos iguais é exponencial; daí o tempo de duplicação e a meia-vida, a datação por carbono 14, a lei de Newton, a linearização semilogarítmica e o modelo logístico. Por último, a aula sobre as funções hiperbólicas combinou $e^x$ e $e^{-x}$ no cosseno e no seno hiperbólicos, cuja identidade fundamental é uma consequência direta da propriedade das potências:

\cosh^2 x - \sinh^2 x = \left( \cosh x + \sinh x \right) \left( \cosh x - \sinh x \right) = e^x e^{-x} = 1

Dela seguiram-se a parametrização do ramo direito da hipérbole $x^2 - y^2 = 1$ , cujo parâmetro se recupera com um logaritmo, as fórmulas de adição e as funções inversas, que se expressam com logaritmos ao resolver equações quadráticas em $e^y$ . A cadeia fecha-se assim sobre si mesma: a exponencial produz as funções hiperbólicas, e o logaritmo as inverte.

A figura abaixo reúne os quatro trechos numa só cadeia. Cada nó da coluna é uma definição ou um teorema, numerado segundo a ordem lógica e unido por um arco aos elos precedentes que sua demonstração usa; ao redor flutuam os apoios, isto é, os princípios e os instrumentos a que a cadeia recorre repetidas vezes, cada um unido por um traço contínuo aos elos que nele se apoiam e por um traço pontilhado ao elo onde se estabelece, exceto os que se admitem sem demonstração ou provêm de unidades precedentes, que são desenhados como anéis. Ao clicar em um apoio, destacam-se todos os elos que o usam, e cada elo remete à aula em que é demonstrado.

Apoios da cadeia

ACompletude. Todo conjunto não vazio de números reais que é limitado superiormente tem um supremo; foi enunciada na unidade sobre os conjuntos numéricos. Admitido sem demonstração nesta unidade.
BDensidade e propriedade arquimediana. Entre dois reais distintos há sempre um racional, e todo real é superado por algum natural; demonstradas na unidade sobre os conjuntos numéricos. Admitido sem demonstração nesta unidade.
CDesigualdade de Bernoulli. Se $x \geq -1$ e $n$ é natural, então $(1 + x)^n \geq 1 + nx$ ; demonstrada por indução na unidade sobre os números naturais. Admitido sem demonstração nesta unidade.
DBinômio de Newton. Para todo natural $n$ vale $(x + y)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{n - k} y^k$ ; demonstrado na unidade sobre os números naturais. Admitido sem demonstração nesta unidade.
ELema de Euclides. Se um primo divide um produto de naturais, divide algum dos fatores; demonstrado na unidade sobre os números naturais. Admitido sem demonstração nesta unidade.
FPropriedades das potências. Para $a > 0$ , $b > 0$ e $x$ , $y$ reais valem $a^{x + y} = a^x a^y$ , $(ab)^x = a^x b^x$ e $\left( a^x \right)^y = a^{xy}$ . Estabelecido em: 3. Propriedades das potências de expoente real.
GMonotonia da exponencial. Se $a > 1$ , para reais $u$ e $v$ tem-se $u < v$ se e somente se $a^u < a^v$ ; com base entre $0$ e $1$ , a desigualdade se inverte. Estabelecido em: 2. Enquadramento e monotonia.
HLogaritmo como inversa. Para $x > 0$ , $\log_a x = y$ se e somente se $a^y = x$ ; donde $a^{\log_a x} = x$ e $\log_a \left( a^y \right) = y$ . Estabelecido em: 15. Logaritmo.

Trecho 1 A potência de expoente real
- Definir $a^x$ para todo expoente real como supremo de potências racionais e justificar que prolonga a definição já conhecida.
- Enquadrar $a^x$ entre potências racionais e deduzir disso a monotonia estrita.
- Demonstrar as propriedades das potências de expoente real, incluída a potência de uma potência, com enquadramentos cujo comprimento a desigualdade de Bernoulli limita.
- Descrever a função exponencial: domínio, sinal, injetividade, crescimento ilimitado e assíntota horizontal.
- Demonstrar com a completude e a desigualdade de Bernoulli que a exponencial assume todos os valores positivos.
1. Potência de expoente real. Se $a > 1$ , a potência $a^x$ é o supremo das potências $a^r$ com $r$ racional e $r \leq x$ ; o supremo existe e, se $x$ é racional, coincide com a potência já conhecida.
  Apoia-se em: A (Completude), B (Densidade e propriedade arquimediana). Demonstrado em: A função exponencial e a potência de expoente real.
2. Enquadramento e monotonia. Se $a > 1$ e $r$ , $s$ são racionais com $r < x < s$ , então $a^r < a^x < a^s$ . Em consequência, se $x < y$ , então $a^x < a^y$ quando $a > 1$ e $a^x > a^y$ quando $0 < a < 1$ ; além disso, $a^x > 0$ para toda base positiva.
  Usa: 1. Potência de expoente real. Apoia-se em: B (Densidade e propriedade arquimediana). Demonstrado em: A função exponencial e a potência de expoente real.
3. Propriedades das potências de expoente real. Para $a > 0$ , $b > 0$ e $x$ , $y$ reais valem $a^{x + y} = a^x a^y$ e $(ab)^x = a^x b^x$ ; com a primeira, a unicidade da raiz principal e um novo enquadramento, também $\left( a^x \right)^y = a^{xy}$ , em todos os casos de sinal.
  Usa: 2. Enquadramento e monotonia. Apoia-se em: B (Densidade e propriedade arquimediana), C (Desigualdade de Bernoulli). Demonstrado em: A função exponencial e a potência de expoente real.
4. Função exponencial. Se $a > 0$ e $a \neq 1$ , a função $a^x$ está definida em $\mathbb{R}$ , é positiva e injetora; se $a > 1$ , cresce, supera qualquer cota e aproxima-se de $0$ para a esquerda, e o gráfico de $\left( \frac{1}{a} \right)^x$ é seu reflexo em relação ao eixo $y$ .
  Usa: 1. Potência de expoente real. Apoia-se em: C (Desigualdade de Bernoulli), G (Monotonia da exponencial). Demonstrado em: A função exponencial e a potência de expoente real.
5. Conjunto imagem da exponencial. Se $a > 0$ e $a \neq 1$ , para todo $y > 0$ existe um único real $x$ com $a^x = y$ : se $a > 1$ , é o supremo dos racionais $r$ com $a^r < y$ . A exponencial é uma bijeção de $\mathbb{R}$ em $\ioo{0}{\infty}$ .
  Usa: 4. Função exponencial. Apoia-se em: A (Completude), B (Densidade e propriedade arquimediana), C (Desigualdade de Bernoulli), F (Propriedades das potências), G (Monotonia da exponencial). Demonstrado em: A função exponencial e a potência de expoente real.
Trecho 2 O número e
- Demonstrar com o binômio de Newton e a desigualdade de Bernoulli que $\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n$ cresce e $\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n + 1}$ decresce, e limitá-la com a desigualdade $k! \geq 2^{k - 1}$ , demonstrada por indução.
- Definir $e$ como o número que ambas as sequências encerram.
- Demonstrar que $e$ é o supremo das somas dos inversos dos fatoriais, limitar o erro e deduzir que $e$ é irracional.
- Demonstrar a desigualdade fundamental $e^x \geq 1 + x$ e, com ela, que o supremo dos capitais $\left( 1 + \frac{r}{n} \right)^n$ é $e^r$ .
1. Crescimento da sequência. A sequência $a_n = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n$ é estritamente crescente.
  Apoia-se em: D (Binômio de Newton). Demonstrado em: O número e e a exponencial natural.
2. Fatoriais e potências de dois. Para todo natural $k$ vale $k! \geq 2^{k - 1}$ , com igualdade só se $k = 1$ ou $k = 2$ ; demonstra-se por indução.
  Demonstrado em: O número e e a exponencial natural.
3. Cota da sequência. Para todo natural $n$ vale $a_n \leq s_n < 3$ , onde $s_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}$ : cada termo de $s_n$ é limitado por um de uma progressão geométrica de razão $\frac{1}{2}$ .
  Usa: 7. Fatoriais e potências de dois. Apoia-se em: D (Binômio de Newton). Demonstrado em: O número e e a exponencial natural.
4. Sequência companheira. A sequência $b_n = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n + 1}$ é estritamente decrescente.
  Apoia-se em: C (Desigualdade de Bernoulli). Demonstrado em: O número e e a exponencial natural.
5. O número e. O número $e$ , supremo dos termos $a_n$ , cumpre $a_n < e < b_n$ para todo natural $n$ .
  Usa: 6. Crescimento da sequência, 8. Cota da sequência, 9. Sequência companheira. Apoia-se em: A (Completude). Demonstrado em: O número e e a exponencial natural.
6. Série do número e e seu erro. O supremo das somas $s_n$ é $e$ , e para todo natural $n$ vale $0 < e - s_n < \frac{1}{n! \, n}$ .
  Usa: 8. Cota da sequência, 10. O número e. Apoia-se em: A (Completude), B (Densidade e propriedade arquimediana), C (Desigualdade de Bernoulli). Demonstrado em: O número e e a exponencial natural.
7. Irracionalidade de e. O número $e$ é irracional.
  Usa: 11. Série do número e e seu erro. Demonstrado em: O número e e a exponencial natural.
8. Desigualdade fundamental. Para todo real $x$ vale $e^x \geq 1 + x$ , e a igualdade se dá só em $x = 0$ .
  Usa: 10. O número e. Apoia-se em: B (Densidade e propriedade arquimediana), C (Desigualdade de Bernoulli), F (Propriedades das potências), G (Monotonia da exponencial). Demonstrado em: O número e e a exponencial natural.
9. Capitalização contínua. Se $r > 0$ , os capitais $\left( 1 + \frac{r}{n} \right)^n$ crescem com $n$ , nenhum alcança $e^r$ e seu supremo é $e^r$ ; para $t > 0$ , o supremo dos números $\left( 1 + \frac{r}{n} \right)^{nt}$ é $e^{rt}$ .
  Usa: 1. Potência de expoente real, 6. Crescimento da sequência, 10. O número e, 13. Desigualdade fundamental. Apoia-se em: D (Binômio de Newton), F (Propriedades das potências), G (Monotonia da exponencial). Demonstrado em: O número e e a exponencial natural.
Trecho 3 O logaritmo e as equações
- Obter $\log_a$ como a inversa da exponencial e traduzir cada propriedade das potências numa propriedade dos logaritmos.
- Reduzir todos os logaritmos a um só mediante a mudança de base, e estudar sua monotonia e seu sinal.
- Demonstrar com o lema de Euclides que $\log_2 3$ é irracional.
- Converter a injetividade e a monotonia em métodos para resolver equações e inequações.
1. Logaritmo. Como a exponencial de base $a$ é uma bijeção de $\mathbb{R}$ em $\ioo{0}{\infty}$ , para cada $x > 0$ o número $\log_a x$ é o único real $y$ tal que $a^y = x$ , e a função $\log_a$ é sua inversa.
  Usa: 5. Conjunto imagem da exponencial. Demonstrado em: A função logarítmica e suas propriedades.
2. Propriedades dos logaritmos. Para $x$ , $y$ positivos e $r$ real valem $\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y$ , $\log_a \frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y$ e $\log_a \left( x^r \right) = r \log_a x$ .
  Apoia-se em: F (Propriedades das potências), H (Logaritmo como inversa). Demonstrado em: A função logarítmica e suas propriedades.
3. Mudança de base. Vale $\log_a x = \frac{\log_b x}{\log_b a}$ ; todo logaritmo é o natural dividido por uma constante, e $\log_a b \cdot \log_b a = 1$ .
  Usa: 16. Propriedades dos logaritmos. Apoia-se em: H (Logaritmo como inversa). Demonstrado em: A função logarítmica e suas propriedades.
4. Monotonia e sinal do logaritmo. A função $\log_a$ é estritamente crescente se $a > 1$ e estritamente decrescente se $0 < a < 1$ , e $\log_a x > 0$ se e somente se $(a - 1)(x - 1) > 0$ .
  Apoia-se em: G (Monotonia da exponencial), H (Logaritmo como inversa). Demonstrado em: A função logarítmica e suas propriedades.
5. Logaritmos irracionais. Se $a$ e $b$ são naturais primos entre si maiores que $1$ , o número $\log_a b$ é irracional; em particular, $\log_2 3$ o é.
  Usa: 18. Monotonia e sinal do logaritmo. Apoia-se em: F (Propriedades das potências), H (Logaritmo como inversa), E (Lema de Euclides). Demonstrado em: A função logarítmica e suas propriedades.
6. Injetividade e equações. Tem-se $a^u = a^v$ se e somente se $u = v$ , e $\log_a u = \log_a v$ se e somente se $u = v$ ; a equação $a^x = c$ tem a única solução $\log_a c$ se $c > 0$ , e nenhuma se $c \leq 0$ .
  Usa: 4. Função exponencial. Apoia-se em: H (Logaritmo como inversa). Demonstrado em: Equações e inequações exponenciais e logarítmicas.
7. Monotonia e inequações. Se $a > 1$ , tem-se $a^u < a^v$ se e somente se $u < v$ , e $\log_a u < \log_a v$ se e somente se $u < v$ ; se $0 < a < 1$ , as equivalências valem com o sentido invertido.
  Usa: 18. Monotonia e sinal do logaritmo. Apoia-se em: G (Monotonia da exponencial). Demonstrado em: Equações e inequações exponenciais e logarítmicas.
Trecho 4 Os modelos e as funções hiperbólicas
- Caracterizar o modelo $P_0 e^{kt}$ por sua taxa constante em intervalos iguais e obter o tempo de duplicação e a meia-vida.
- Linearizar os dados exponenciais no plano semilogarítmico e estudar o modelo logístico.
- Definir o cosseno e o seno hiperbólicos a partir de $e^x$ e $e^{-x}$ , e estudar sua monotonia.
- Demonstrar a identidade fundamental, parametrizar o ramo direito da hipérbole, e obter as fórmulas de adição e as funções inversas.
1. Taxa constante. Se $P(t) = P_0 e^{kt}$ com $P_0 > 0$ , então $P(t + h) = e^{kh} P(t)$ para todos os reais $t$ e $h$ ; nos tempos inteiros é o modelo discreto com $k = \ln(1 + r)$ , e a função cresce se $k > 0$ e decresce se $k < 0$ .
  Apoia-se em: F (Propriedades das potências), G (Monotonia da exponencial), H (Logaritmo como inversa). Demonstrado em: Modelos de crescimento e decaimento exponencial.
2. Recíproca da taxa constante. Se $P$ é positiva e monótona e o quociente $\frac{P(t + h)}{P(t)}$ depende só de $h$ , então $P(t) = P_0 e^{kt}$ para algum real $k$ : a equação $f(t + h) = f(t) f(h)$ e a monotonia determinam a exponencial.
  Usa: 2. Enquadramento e monotonia. Apoia-se em: B (Densidade e propriedade arquimediana), F (Propriedades das potências), H (Logaritmo como inversa). Demonstrado em: Modelos de crescimento e decaimento exponencial.
3. Duplicação e meia-vida. Se $k > 0$ , o modelo $P_0 e^{kt}$ duplica em todo intervalo de duração $T = \frac{\ln 2}{k}$ , e só neles; se $k = -\lambda < 0$ , reduz-se à metade em todo intervalo de duração $\frac{\ln 2}{\lambda}$ .
  Usa: 22. Taxa constante, 20. Injetividade e equações. Apoia-se em: H (Logaritmo como inversa). Demonstrado em: Modelos de crescimento e decaimento exponencial.
4. Linearização semilogarítmica. Um ponto $(t, y)$ com $y > 0$ está no gráfico de $y = C e^{kt}$ se e somente se $(t, \ln y)$ está na reta $Y = \ln C + kt$ ; por dois pontos de abscissas distintas passa um único gráfico dessa forma.
  Usa: 16. Propriedades dos logaritmos. Apoia-se em: H (Logaritmo como inversa). Demonstrado em: Modelos de crescimento e decaimento exponencial.
5. Modelo logístico. A função $P(t) = \frac{K}{1 + A e^{-rt}}$ , com $K$ , $A$ e $r$ positivos, cresce estritamente entre $0$ e $K$ , alcança $\frac{K}{2}$ em $t_0 = \frac{\ln A}{r}$ e seu gráfico é simétrico em relação a esse ponto.
  Usa: 4. Função exponencial. Apoia-se em: G (Monotonia da exponencial), H (Logaritmo como inversa). Demonstrado em: Modelos de crescimento e decaimento exponencial.
6. Funções hiperbólicas. Com $\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ e $\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$ , o cosseno hiperbólico é par, o seno é ímpar, e $e^x = \cosh x + \sinh x$ , $e^{-x} = \cosh x - \sinh x$ .
  Usa: 4. Função exponencial. Demonstrado em: As funções hiperbólicas.
7. Monotonia hiperbólica. O seno e a tangente hiperbólicos são estritamente crescentes, com $-1 < \tanh x < 1$ ; o cosseno hiperbólico decresce para $x \leq 0$ , cresce para $x \geq 0$ e seu mínimo é $\cosh 0 = 1$ .
  Usa: 27. Funções hiperbólicas. Apoia-se em: F (Propriedades das potências), G (Monotonia da exponencial). Demonstrado em: As funções hiperbólicas.
8. Identidade fundamental. Para todo real $x$ vale $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$ .
  Usa: 27. Funções hiperbólicas. Apoia-se em: F (Propriedades das potências). Demonstrado em: As funções hiperbólicas.
9. Parametrização da hipérbole. A função $t \mapsto \left( \cosh t, \sinh t \right)$ é uma bijeção de $\mathbb{R}$ no ramo direito de $x^2 - y^2 = 1$ , e sua inversa associa ao ponto $(x, y)$ o número $\ln(x + y)$ .
  Usa: 20. Injetividade e equações, 27. Funções hiperbólicas, 28. Monotonia hiperbólica, 29. Identidade fundamental. Apoia-se em: H (Logaritmo como inversa). Demonstrado em: As funções hiperbólicas.
10. Fórmulas de adição. Valem $\cosh(a + b) = \cosh a \cosh b + \sinh a \sinh b$ e $\sinh(a + b) = \sinh a \cosh b + \cosh a \sinh b$ .
  Usa: 27. Funções hiperbólicas. Apoia-se em: F (Propriedades das potências). Demonstrado em: As funções hiperbólicas.
11. Funções hiperbólicas inversas. Valem $\operatorname{argsenh} x = \ln \left( x + \sqrt{x^2 + 1} \right)$ , $\operatorname{argcosh} x = \ln \left( x + \sqrt{x^2 - 1} \right)$ para $x \geq 1$ , e $\operatorname{argtgh} x = \frac{1}{2} \ln \frac{1 + x}{1 - x}$ para $-1 < x < 1$ .
  Usa: 28. Monotonia hiperbólica. Apoia-se em: H (Logaritmo como inversa). Demonstrado em: As funções hiperbólicas.

Rumo às funções trigonométricas. A cadeia fecha-se sobre si mesma: a exponencial produz as funções hiperbólicas, e o logaritmo as inverte. O próximo curso fará com a circunferência $x^2 + y^2 = 1$ o que esta unidade fez com a hipérbole $x^2 - y^2 = 1$ .