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Topos Uranos
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Equazioni e disequazioni esponenziali e logaritmiche

Riepilogo

Questa lezione insegna a risolvere equazioni e disequazioni in cui l’incognita compare in un esponente o nell’argomento di un logaritmo. Si fonda su due proprietà delle funzioni esponenziale e logaritmica: la loro iniettività, che permette di uguagliare esponenti e argomenti, e la loro monotonia, che conserva o inverte il verso di una disuguaglianza a seconda della base. Con esse si studiano la riduzione a una stessa base, il passaggio ai logaritmi, il cambio di variabile che trasforma un’equazione in un’equazione di secondo grado, il dominio delle equazioni logaritmiche e le soluzioni estranee che compaiono quando si applicano le proprietà dei logaritmi fuori dal loro dominio, i sistemi, le equazioni che nessun metodo algebrico risolve, la cui unica soluzione si localizza per bisezione, e la discussione del numero di soluzioni di un’equazione con un parametro.

Obiettivi di apprendimento

  1. Risolvere equazioni esponenziali riducendo a una stessa base, passando ai logaritmi o mediante un cambio di variabile che le trasformi in equazioni di secondo grado, scartando i valori non positivi della nuova variabile.
  2. Risolvere equazioni logaritmiche determinando prima il loro dominio, applicando le proprietà dei logaritmi solo dove valgono e riconoscendo le soluzioni estranee.
  3. Risolvere disequazioni esponenziali e logaritmiche, conservando o invertendo la disuguaglianza a seconda della base, ed esprimere l’insieme delle soluzioni come unione di intervalli.
  4. Dimostrare, con il teorema dei valori intermedi, che un’equazione senza metodo algebrico ha un’unica soluzione, localizzarla per bisezione e discutere il numero di soluzioni di un’equazione con un parametro.

Equazioni esponenziali

Un’equazione esponenziale è un’equazione in cui l’incognita compare in qualche esponente, come 2x=3x−12^x = 3^{x - 1} o 4x−2x−6=04^x - 2^x - 6 = 0. Per risolverle si usano i fatti studiati nelle lezioni sulla funzione esponenziale e la potenza a esponente reale e sulla funzione logaritmo. Se a>0a > 0 e a≠1a \neq 1, la potenza axa^x è definita per ogni reale xx ed è sempre positiva; è strettamente crescente se a>1a > 1 e strettamente decrescente se 0<a<10 < a < 1, e assume ogni valore positivo esattamente una volta. La sua inversa è il logaritmo in base aa, definito sui reali positivi, che soddisfa le proprietà del prodotto, del quoziente e della potenza, purché gli argomenti siano positivi, e la formula del cambiamento di base.

TeoremaIniettività dell’esponenziale e del logaritmo

Sia aa un reale positivo diverso da 11. Per tutti i reali uu e vv, si ha au=ava^u = a^v se e solo se u=vu = v; per tutti i reali positivi uu e vv, si ha log⁡au=log⁡av\log_a u = \log_a v se e solo se u=vu = v. Inoltre, se c>0c > 0, l’equazione ax=ca^x = c ha esattamente una soluzione, che è x=log⁡acx = \log_a c, e se c≤0c \leq 0 non ne ha nessuna.

Si usano la monotonia stretta dell’esponenziale e la definizione del logaritmo come sua inversa. La figura segue il caso a=2a = 2: la retta orizzontale di altezza 33 taglia il grafico di y=2xy = 2^x in un solo punto, e quella di altezza −2-2 non lo taglia.

Dimostrazione

  1. u≠v→au≠av,au=av↔u=vu \neq v \rightarrow a^u \neq a^v, \qquad \dato{ie}{a^u = a^v \leftrightarrow u = v}

    Se u=vu = v, le potenze coincidono, perché una funzione associa a ogni numero un unico valore. Viceversa, se u≠vu \neq v, uno dei due è minore, e per la monotonia stretta dell’esponenziale, dimostrata nel teorema delle proprietà della funzione esponenziale, le loro potenze sono distinte.

  2. log⁡au=log⁡av→u=alog⁡au=alog⁡av=v\log_a u = \log_a v \rightarrow u = a^{\resaltar{\log_a u}} = a^{\resaltar{\log_a v}} = v

    Se log⁡au=log⁡av\log_a u = \log_a v, si applica a entrambi i membri l’esponenziale di base aa, che annulla il logaritmo, e risulta u=vu = v; il viceversa è evidente.

  3. ax=c=alog⁡ac↔x=log⁡aca^x = c = a^{\resaltar{\log_a c}} \leftrightarrow x = \resaltar{\log_a c}

    Se c>0c > 0, il numero log⁡ac\log_a c è soluzione, per la definizione del logaritmo; ed è l’unica, perché ogni soluzione ha la sua stessa potenza.

  4. ax>0≥ca^x > 0 \geq c

    Se c≤0c \leq 0, non c’è soluzione, perché la potenza axa^x è positiva per ogni reale xx.

Ridurre a una stessa base

Se i due membri si possono scrivere come potenze di una stessa base, l’iniettività permette di uguagliare gli esponenti, e l’equazione esponenziale diventa un’equazione algebrica. Per esempio, poiché 8=238 = 2^3 e 4=224 = 2^2, l’equazione 8x−1=4x+18^{x - 1} = 4^{x + 1} equivale a 23x−3=22x+22^{3x - 3} = 2^{2x + 2}, cioè a 3x−3=2x+23x - 3 = 2x + 2, la cui soluzione è x=5x = 5:

8x−1=4x+1↔3x−3=2x+2↔x=58^{x - 1} = 4^{x + 1} \leftrightarrow 3x - 3 = 2x + 2 \leftrightarrow x = 5

Passare ai logaritmi

Quando le basi non sono potenze di uno stesso numero, come 22 e 33, si prende il logaritmo di entrambi i membri. Se i due membri sono positivi, l’iniettività del logaritmo garantisce che l’equazione ottenuta è equivalente a quella originale: non si perdono né si aggiungono soluzioni. Va bene qualsiasi base; di solito si usa il logaritmo naturale, definito nella lezione sulla funzione logaritmo, o il logaritmo in base 1010.

EsempioUn’equazione con due basi

Risolvere l’equazione 2x=3x−12^x = 3^{x - 1}.

Dimostrazione

  1. 2x=3x−1↔ln⁡(2x)=ln⁡(3x−1)2^x = 3^{x - 1} \leftrightarrow \resaltar{\ln(2^x)} = \resaltar{\ln(3^{x - 1})}

    I due membri sono positivi per ogni xx. Prendiamo il logaritmo naturale di entrambi, il che dà un’equazione equivalente per l’iniettività del logaritmo.

  2. ln⁡(2x)=ln⁡(3x−1)↔xln⁡2=(x−1)ln⁡3\resaltar{\ln(2^x)} = \resaltar{\ln(3^{x - 1})} \leftrightarrow \dato{e}{x \ln 2 = (x - 1) \ln 3}

    La proprietà della potenza porta gli esponenti davanti come fattori.

  3. xln⁡2−(x−1)ln⁡3=0↔x(ln⁡3−ln⁡2)=ln⁡3x \ln 2 - \resaltar{(x - 1) \ln 3} = 0 \leftrightarrow \resaltar{x(\ln 3 - \ln 2)} = \ln 3

    Raccogliamo i termini con xx in un membro. Il coefficiente ln⁡3−ln⁡2\ln 3 - \ln 2 è positivo, perché il logaritmo naturale è strettamente crescente e 2<32 < 3.

  4. x=ln⁡3ln⁡3−ln⁡2=log⁡323x = \frac{\ln 3}{\resaltar{\ln 3 - \ln 2}} = \dato{s}{\log_{\frac{3}{2}} 3}

    Dividiamo per quel coefficiente. Per la proprietà del quoziente, il denominatore è ln⁡32\ln \frac{3}{2}, e per il cambiamento di base la soluzione è un logaritmo in base 32\frac{3}{2}; vale circa 2,71.

  5. 22=4>31,23=8<322^2 = 4 > \resaltar{3^1}, \quad 2^3 = 8 < \resaltar{3^2}

    Una tabella di valori conferma la posizione: in 22 la prima potenza è maggiore, e in 33 la seconda; i grafici si tagliano fra i due numeri, nell’unico punto in cui xx soddisfa l’equazione.

Equazioni che si riducono a un’equazione di secondo grado

Se nell’equazione compaiono axa^x e a2xa^{2x}, o potenze che si riducono a esse, come 4x=(2x)24^x = (2^x)^2, il cambio di variabile t=axt = a^x la trasforma in un’equazione di secondo grado in tt, che si risolve con i metodi della lezione sulla scomposizione dei trinomi di secondo grado. Tuttavia la nuova variabile non percorre tutti i reali: poiché axa^x è sempre positiva, si ammettono solo i valori positivi di tt. Ogni radice positiva dà, per il teorema di iniettività, esattamente una soluzione x=log⁡atx = \log_a t, e ogni radice negativa o nulla si scarta.

EsempioUn cambio di variabile

Risolvere l’equazione 4x−2x−6=04^x - 2^x - 6 = 0.

Dimostrazione

  1. 4x=(22)x=(2x)2,t=2x>0\resaltar{4^x} = (2^2)^x = \resaltar{(2^x)^2}, \quad \dato{t}{t = 2^x > 0}

    Scriviamo 4x4^x come il quadrato di 2x2^x e chiamiamo tt questa potenza, che è positiva.

  2. t2−t−6=(t−3)(t+2)=0\resaltar{t^2 - t - 6} = \resaltar{(t - 3)(t + 2)} = 0

    L’equazione è di secondo grado in tt, e si scompone cercando due numeri di prodotto −6-6 e somma −1-1.

  3. t=−2→2x=−2<0t = -2 \rightarrow 2^x = \resaltar{-2} < 0

    La radice t=−2t = -2 si scarta, perché tt è positiva: l’equazione 2x=−22^x = -2 non ha soluzione. La figura mostra la parabola nel piano della variabile tt, di cui conta solo la porzione con t>0t > 0.

  4. 2x=3↔x=log⁡232^x = \resaltar{3} \leftrightarrow x = \resaltar{\log_2 3}

    La radice t=3t = 3 è positiva e dà esattamente una soluzione, per il teorema di iniettività; vale circa 1,58.

  5. 4log⁡23−2log⁡23−6=9−3−6=04^{\log_2 3} - 2^{\log_2 3} - 6 = \resaltar{9 - 3 - 6} = \resaltar{0}

    Verifica: per la definizione di logaritmo, 2log⁡23=32^{\log_2 3} = 3, e il quadrato di quella potenza è 99.