Esponenziale, logaritmo e funzioni iperboliche: sintesi e sfide

Riepilogo

Questa lezione chiude l’unità sulle funzioni esponenziale, logaritmica e iperboliche, che è l’ultima del corso. Ne riunisce i risultati in un’unica catena deduttiva, che muove dalla completezza dei reali e arriva alla parametrizzazione dell’iperbole; mostra come questa catena poggi sulle unità anteriori del corso, dall’induzione e dal binomio di Newton fino all’equazione dell’iperbole, e come prepari il corso di Algebra e Geometria II, che comincia con le funzioni trigonometriche e le coordinate polari. Termina con dieci sfide, di difficoltà superiore a quella dei problemi proposti nelle lezioni, che richiedono di combinarne diverse e di trovare un’idea propria.

Obiettivi di apprendimento

Ricostruire la catena di definizioni e teoremi dell’unità, individuando in ogni anello il risultato anteriore da cui dipende.
Mettere in relazione i risultati dell’unità con quelli delle unità anteriori e anticipare il loro ruolo nelle funzioni trigonometriche del corso di Algebra e Geometria II.
Risolvere problemi che combinano la monotonia dell’esponenziale, le proprietà dei logaritmi, la disuguaglianza $e^x \geq 1 + x$ e le formule di addizione iperboliche.
Scegliere da sé la sostituzione, la disuguaglianza o la funzione ausiliaria che riduce un problema non di routine a uno noto.

Ciò che l’unità ha ottenuto

L’unità è partita da una mancanza: al termine dell’unità sugli insiemi numerici, la potenza $a^x$ aveva senso per $x$ razionale, ma non per $x = \sqrt{2}$ . Il suo risultato finale è una famiglia di funzioni definite su tutta la retta, con proprietà algebriche complete, inverse esplicite e un’interpretazione geometrica. Gli anelli della catena sono i seguenti.

La potenza a esponente reale

La lezione sulla funzione esponenziale e la potenza a esponente reale ha definito $a^x$ , per $a > 1$ , come l’estremo superiore delle potenze $a^r$ con $r$ razionale e $r \leq x$ . La completezza ha garantito l’esistenza dell’estremo superiore; la densità dei razionali ha dato l’incapsulamento $a^r < a^x < a^s$ per $r < x < s$ , e con esso la monotonia stretta; la disuguaglianza di Bernoulli ha limitato la lunghezza degli intervalli di incapsulamento e ha permesso di dimostrare, con la proprietà archimedea, le proprietà delle potenze, l’ultima delle quali caso per caso secondo la base e il segno dell’esponente:

a^{x + y} = a^x a^y, \qquad (ab)^x = a^x b^x, \qquad \left( a^x \right)^y = a^{xy}

Con queste proprietà, la funzione esponenziale è risultata positiva, iniettiva e strettamente monotona; un nuovo argomento di estremi superiori, con la disuguaglianza di Bernoulli, ha dimostrato che assume tutti i valori positivi, così che è biiettiva da $\mathbb{R}$ in $\ioo{0}{\infty}$ ; e si è dimostrato che finisce per superare i quadrati.

Il numero e

La lezione sul numero e e l’esponenziale naturale ha scelto una base privilegiata. Con il binomio di Newton e la disuguaglianza di Bernoulli ha dimostrato che $\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n$ cresce e $\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n + 1}$ decresce, e ha definito $e$ come il numero racchiuso tra le due successioni; ha dimostrato che è anche l’estremo superiore delle somme dei reciproci dei fattoriali, con un errore minore di $\frac{1}{n! \, n}$ , e che è irrazionale, e, con la disuguaglianza fondamentale e la potenza di una potenza, ha dimostrato che l’estremo superiore dei capitali $\left( 1 + \frac{r}{n} \right)^n$ è $e^r$ , senza ricorrere al concetto di limite. Il risultato più fecondo della lezione è la disuguaglianza fondamentale, valida per ogni reale $x$ , con l’uguaglianza solo in $x = 0$ , che ricompare in quasi tutte le dimostrazioni posteriori:

e^x \geq 1 + x

Il logaritmo e le equazioni

La lezione sulla funzione logaritmo ha ottenuto $\log_a$ come l’inversa dell’esponenziale e ha tradotto ogni proprietà delle potenze in una proprietà dei logaritmi; il cambiamento di base ha mostrato che tutti i logaritmi sono multipli di uno solo, e il lemma di Euclide ha dimostrato che $\log_2 3$ è irrazionale. La lezione sulle equazioni e disequazioni esponenziali e logaritmiche ha convertito due proprietà di queste funzioni in metodi: l’iniettività permette di uguagliare esponenti e argomenti, e la monotonia conserva o inverte le disuguaglianze secondo la base. Le difficoltà proprie di questi problemi, il dominio, le soluzioni estranee e i valori non positivi della variabile ausiliaria, provengono tutte dal fatto che l’esponenziale assume solo valori positivi. Un solo risultato di quella lezione poggia su qualcosa che l’unità non dimostra: l’esistenza della soluzione di un’equazione senza metodo algebrico, come $x + 2^x = 5$ , si appoggia al teorema dei valori intermedi, ammesso nella lezione sulle funzioni razionali, e alla continuità dell’esponenziale, che si ammette nella lezione sulla potenza a esponente reale; la dimostrazione di entrambi i fatti appartiene all’analisi. La sua unicità, invece, e la bisezione che la localizza, si deducono dall’ordine.

I modelli e le funzioni iperboliche

La lezione sui modelli di crescita e decadimento ha dimostrato che la legge $P(t + h) = e^{kh} P(t)$ caratterizza il modello $P_0 e^{kt}$ , e che, pertanto, ogni grandezza monotona che cambia nella stessa proporzione in intervalli uguali è esponenziale; da qui il tempo di raddoppio e il tempo di dimezzamento, la datazione al carbonio 14, la legge di Newton, la linearizzazione semilogaritmica e il modello logistico. Infine, la lezione sulle funzioni iperboliche ha combinato $e^x$ ed $e^{-x}$ nel coseno e nel seno iperbolici, la cui identità fondamentale è una conseguenza diretta della proprietà delle potenze:

\cosh^2 x - \sinh^2 x = \left( \cosh x + \sinh x \right) \left( \cosh x - \sinh x \right) = e^x e^{-x} = 1

Da essa sono seguite la parametrizzazione del ramo destro dell’iperbole $x^2 - y^2 = 1$ , il cui parametro si recupera con un logaritmo, le formule di addizione e le funzioni inverse, che si esprimono con logaritmi risolvendo equazioni di secondo grado in $e^y$ . La catena si chiude così su sé stessa: l’esponenziale produce le funzioni iperboliche, e il logaritmo le inverte.

La figura seguente riunisce i quattro tratti in un’unica catena. Ogni nodo della colonna è una definizione o un teorema, numerato secondo l’ordine logico e unito da un arco agli anelli anteriori che la sua dimostrazione usa; intorno fluttuano i sostegni, cioè i principi e gli strumenti a cui la catena ricorre più e più volte, ciascuno unito da una linea continua agli anelli che si appoggiano su di esso e da una linea punteggiata all’anello in cui viene stabilito, tranne quelli che si ammettono senza dimostrazione o provengono da unità anteriori, che sono disegnati come cerchietti vuoti. Facendo clic su un sostegno si evidenziano tutti gli anelli che lo usano, e ogni anello rimanda alla lezione in cui viene dimostrato.

Sostegni della catena

ACompletezza. Ogni insieme non vuoto di numeri reali limitato superiormente ha un estremo superiore; è stata enunciata nell’unità sugli insiemi numerici. Ammesso senza dimostrazione in questa unità.
BDensità e proprietà archimedea. Tra due reali distinti c’è sempre un razionale, e ogni reale è superato da qualche naturale; dimostrate nell’unità sugli insiemi numerici. Ammesso senza dimostrazione in questa unità.
CDisuguaglianza di Bernoulli. Se $x \geq -1$ e $n$ è naturale, allora $(1 + x)^n \geq 1 + nx$ ; dimostrata per induzione nell’unità sui numeri naturali. Ammesso senza dimostrazione in questa unità.
DBinomio di Newton. Per ogni naturale $n$ vale $(x + y)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{n - k} y^k$ ; dimostrato nell’unità sui numeri naturali. Ammesso senza dimostrazione in questa unità.
ELemma di Euclide. Se un primo divide un prodotto di naturali, divide qualcuno dei fattori; dimostrato nell’unità sui numeri naturali. Ammesso senza dimostrazione in questa unità.
FProprietà delle potenze. Per $a > 0$ , $b > 0$ e $x$ , $y$ reali valgono $a^{x + y} = a^x a^y$ , $(ab)^x = a^x b^x$ e $\left( a^x \right)^y = a^{xy}$ . Stabilito in: 3. Proprietà delle potenze a esponente reale.
GMonotonia dell’esponenziale. Se $a > 1$ , per reali $u$ e $v$ si ha $u < v$ se e solo se $a^u < a^v$ ; con base compresa tra $0$ e $1$ , la disuguaglianza si inverte. Stabilito in: 2. Incapsulamento e monotonia.
HLogaritmo come inversa. Per $x > 0$ , $\log_a x = y$ se e solo se $a^y = x$ ; da cui $a^{\log_a x} = x$ e $\log_a \left( a^y \right) = y$ . Stabilito in: 15. Logaritmo.

Tratto 1 La potenza a esponente reale
- Definire $a^x$ per ogni esponente reale come estremo superiore di potenze razionali e giustificare che estende la definizione già nota.
- Incapsulare $a^x$ tra potenze razionali e dedurne la monotonia stretta.
- Dimostrare le proprietà delle potenze a esponente reale, compresa la potenza di una potenza, con incapsulamenti la cui lunghezza è limitata dalla disuguaglianza di Bernoulli.
- Descrivere la funzione esponenziale: dominio, segno, iniettività, crescita senza limitazioni e asintoto orizzontale.
- Dimostrare con la completezza e la disuguaglianza di Bernoulli che l’esponenziale assume tutti i valori positivi.
1. Potenza a esponente reale. Se $a > 1$ , la potenza $a^x$ è l’estremo superiore delle potenze $a^r$ con $r$ razionale e $r \leq x$ ; l’estremo superiore esiste e, se $x$ è razionale, coincide con la potenza già nota.
  Si appoggia su: A (Completezza), B (Densità e proprietà archimedea). Dimostrato in: La funzione esponenziale e la potenza a esponente reale.
2. Incapsulamento e monotonia. Se $a > 1$ e $r$ , $s$ sono razionali con $r < x < s$ , allora $a^r < a^x < a^s$ . Di conseguenza, se $x < y$ , allora $a^x < a^y$ quando $a > 1$ e $a^x > a^y$ quando $0 < a < 1$ ; inoltre, $a^x > 0$ per ogni base positiva.
  Usa: 1. Potenza a esponente reale. Si appoggia su: B (Densità e proprietà archimedea). Dimostrato in: La funzione esponenziale e la potenza a esponente reale.
3. Proprietà delle potenze a esponente reale. Per $a > 0$ , $b > 0$ e $x$ , $y$ reali valgono $a^{x + y} = a^x a^y$ e $(ab)^x = a^x b^x$ ; con la prima, l’unicità della radice principale e un nuovo incapsulamento, anche $\left( a^x \right)^y = a^{xy}$ , in tutti i casi di segno.
  Usa: 2. Incapsulamento e monotonia. Si appoggia su: B (Densità e proprietà archimedea), C (Disuguaglianza di Bernoulli). Dimostrato in: La funzione esponenziale e la potenza a esponente reale.
4. Funzione esponenziale. Se $a > 0$ e $a \neq 1$ , la funzione $a^x$ è definita in $\mathbb{R}$ , è positiva e iniettiva; se $a > 1$ , cresce, supera ogni limitazione e si avvicina a $0$ verso sinistra, e il grafico di $\left( \frac{1}{a} \right)^x$ è il suo riflesso rispetto all’asse $y$ .
  Usa: 1. Potenza a esponente reale. Si appoggia su: C (Disuguaglianza di Bernoulli), G (Monotonia dell’esponenziale). Dimostrato in: La funzione esponenziale e la potenza a esponente reale.
5. Insieme immagine dell’esponenziale. Se $a > 0$ e $a \neq 1$ , per ogni $y > 0$ esiste un unico reale $x$ con $a^x = y$ : se $a > 1$ , è l’estremo superiore dei razionali $r$ con $a^r < y$ . L’esponenziale è una biiezione da $\mathbb{R}$ in $\ioo{0}{\infty}$ .
  Usa: 4. Funzione esponenziale. Si appoggia su: A (Completezza), B (Densità e proprietà archimedea), C (Disuguaglianza di Bernoulli), F (Proprietà delle potenze), G (Monotonia dell’esponenziale). Dimostrato in: La funzione esponenziale e la potenza a esponente reale.
Tratto 2 Il numero e
- Dimostrare con il binomio di Newton e la disuguaglianza di Bernoulli che $\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n$ cresce e $\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n + 1}$ decresce, e limitarla con la disuguaglianza $k! \geq 2^{k - 1}$ , dimostrata per induzione.
- Definire $e$ come il numero racchiuso tra le due successioni.
- Dimostrare che $e$ è l’estremo superiore delle somme dei reciproci dei fattoriali, limitare l’errore e dedurre che $e$ è irrazionale.
- Dimostrare la disuguaglianza fondamentale $e^x \geq 1 + x$ e, con essa, che l’estremo superiore dei capitali $\left( 1 + \frac{r}{n} \right)^n$ è $e^r$ .
1. Crescita della successione. La successione $a_n = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n$ è strettamente crescente.
  Si appoggia su: D (Binomio di Newton). Dimostrato in: Il numero e e l’esponenziale naturale.
2. Fattoriali e potenze di due. Per ogni naturale $k$ vale $k! \geq 2^{k - 1}$ , con l’uguaglianza solo se $k = 1$ o $k = 2$ ; si dimostra per induzione.
  Dimostrato in: Il numero e e l’esponenziale naturale.
3. Limitazione della successione. Per ogni naturale $n$ vale $a_n \leq s_n < 3$ , dove $s_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}$ : ogni termine di $s_n$ è maggiorato da uno di una progressione geometrica di ragione $\frac{1}{2}$ .
  Usa: 7. Fattoriali e potenze di due. Si appoggia su: D (Binomio di Newton). Dimostrato in: Il numero e e l’esponenziale naturale.
4. Successione associata. La successione $b_n = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n + 1}$ è strettamente decrescente.
  Si appoggia su: C (Disuguaglianza di Bernoulli). Dimostrato in: Il numero e e l’esponenziale naturale.
5. Il numero e. Il numero $e$ , estremo superiore dei termini $a_n$ , soddisfa $a_n < e < b_n$ per ogni naturale $n$ .
  Usa: 6. Crescita della successione, 8. Limitazione della successione, 9. Successione associata. Si appoggia su: A (Completezza). Dimostrato in: Il numero e e l’esponenziale naturale.
6. Serie del numero e e suo errore. L’estremo superiore delle somme $s_n$ è $e$ , e per ogni naturale $n$ vale $0 < e - s_n < \frac{1}{n! \, n}$ .
  Usa: 8. Limitazione della successione, 10. Il numero e. Si appoggia su: A (Completezza), B (Densità e proprietà archimedea), C (Disuguaglianza di Bernoulli). Dimostrato in: Il numero e e l’esponenziale naturale.
7. Irrazionalità di e. Il numero $e$ è irrazionale.
  Usa: 11. Serie del numero e e suo errore. Dimostrato in: Il numero e e l’esponenziale naturale.
8. Disuguaglianza fondamentale. Per ogni reale $x$ vale $e^x \geq 1 + x$ , e l’uguaglianza si ha solo in $x = 0$ .
  Usa: 10. Il numero e. Si appoggia su: B (Densità e proprietà archimedea), C (Disuguaglianza di Bernoulli), F (Proprietà delle potenze), G (Monotonia dell’esponenziale). Dimostrato in: Il numero e e l’esponenziale naturale.
9. Capitalizzazione continua. Se $r > 0$ , i capitali $\left( 1 + \frac{r}{n} \right)^n$ crescono con $n$ , nessuno raggiunge $e^r$ e il loro estremo superiore è $e^r$ ; per $t > 0$ , l’estremo superiore dei numeri $\left( 1 + \frac{r}{n} \right)^{nt}$ è $e^{rt}$ .
  Usa: 1. Potenza a esponente reale, 6. Crescita della successione, 10. Il numero e, 13. Disuguaglianza fondamentale. Si appoggia su: D (Binomio di Newton), F (Proprietà delle potenze), G (Monotonia dell’esponenziale). Dimostrato in: Il numero e e l’esponenziale naturale.
Tratto 3 Il logaritmo e le equazioni
- Ottenere $\log_a$ come l’inversa dell’esponenziale e tradurre ogni proprietà delle potenze in una proprietà dei logaritmi.
- Ridurre tutti i logaritmi a uno solo mediante il cambiamento di base, e studiarne la monotonia e il segno.
- Dimostrare con il lemma di Euclide che $\log_2 3$ è irrazionale.
- Convertire l’iniettività e la monotonia in metodi per risolvere equazioni e disequazioni.
1. Logaritmo. Poiché l’esponenziale di base $a$ è una biiezione da $\mathbb{R}$ in $\ioo{0}{\infty}$ , per ogni $x > 0$ il numero $\log_a x$ è l’unico reale $y$ tale che $a^y = x$ , e la funzione $\log_a$ è la sua inversa.
  Usa: 5. Insieme immagine dell’esponenziale. Dimostrato in: La funzione logaritmo e le sue proprietà.
2. Proprietà dei logaritmi. Per $x$ , $y$ positivi e $r$ reale valgono $\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y$ , $\log_a \frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y$ e $\log_a \left( x^r \right) = r \log_a x$ .
  Si appoggia su: F (Proprietà delle potenze), H (Logaritmo come inversa). Dimostrato in: La funzione logaritmo e le sue proprietà.
3. Cambiamento di base. Vale $\log_a x = \frac{\log_b x}{\log_b a}$ ; ogni logaritmo è quello naturale diviso per una costante, e $\log_a b \cdot \log_b a = 1$ .
  Usa: 16. Proprietà dei logaritmi. Si appoggia su: H (Logaritmo come inversa). Dimostrato in: La funzione logaritmo e le sue proprietà.
4. Monotonia e segno del logaritmo. La funzione $\log_a$ è strettamente crescente se $a > 1$ e strettamente decrescente se $0 < a < 1$ , e $\log_a x > 0$ se e solo se $(a - 1)(x - 1) > 0$ .
  Si appoggia su: G (Monotonia dell’esponenziale), H (Logaritmo come inversa). Dimostrato in: La funzione logaritmo e le sue proprietà.
5. Logaritmi irrazionali. Se $a$ e $b$ sono naturali coprimi maggiori di $1$ , il numero $\log_a b$ è irrazionale; in particolare, lo è $\log_2 3$ .
  Usa: 18. Monotonia e segno del logaritmo. Si appoggia su: F (Proprietà delle potenze), H (Logaritmo come inversa), E (Lemma di Euclide). Dimostrato in: La funzione logaritmo e le sue proprietà.
6. Iniettività ed equazioni. Si ha $a^u = a^v$ se e solo se $u = v$ , e $\log_a u = \log_a v$ se e solo se $u = v$ ; l’equazione $a^x = c$ ha l’unica soluzione $\log_a c$ se $c > 0$ , e nessuna se $c \leq 0$ .
  Usa: 4. Funzione esponenziale. Si appoggia su: H (Logaritmo come inversa). Dimostrato in: Equazioni e disequazioni esponenziali e logaritmiche.
7. Monotonia e disequazioni. Se $a > 1$ , si ha $a^u < a^v$ se e solo se $u < v$ , e $\log_a u < \log_a v$ se e solo se $u < v$ ; se $0 < a < 1$ , le equivalenze valgono con il verso invertito.
  Usa: 18. Monotonia e segno del logaritmo. Si appoggia su: G (Monotonia dell’esponenziale). Dimostrato in: Equazioni e disequazioni esponenziali e logaritmiche.
Tratto 4 I modelli e le funzioni iperboliche
- Caratterizzare il modello $P_0 e^{kt}$ mediante il suo tasso costante in intervalli uguali e ottenere il tempo di raddoppio e il tempo di dimezzamento.
- Linearizzare i dati esponenziali nel piano semilogaritmico e studiare il modello logistico.
- Definire il coseno e il seno iperbolici a partire da $e^x$ e $e^{-x}$ , e studiarne la monotonia.
- Dimostrare l’identità fondamentale, parametrizzare il ramo destro dell’iperbole, e ottenere le formule di addizione e le funzioni inverse.
1. Tasso costante. Se $P(t) = P_0 e^{kt}$ con $P_0 > 0$ , allora $P(t + h) = e^{kh} P(t)$ per tutti i reali $t$ e $h$ ; nei tempi interi è il modello discreto con $k = \ln(1 + r)$ , e la funzione cresce se $k > 0$ e decresce se $k < 0$ .
  Si appoggia su: F (Proprietà delle potenze), G (Monotonia dell’esponenziale), H (Logaritmo come inversa). Dimostrato in: Modelli di crescita e decadimento esponenziale.
2. Inverso del tasso costante. Se $P$ è positiva e monotona e il quoziente $\frac{P(t + h)}{P(t)}$ dipende solo da $h$ , allora $P(t) = P_0 e^{kt}$ per qualche reale $k$ : l’equazione $f(t + h) = f(t) f(h)$ e la monotonia determinano l’esponenziale.
  Usa: 2. Incapsulamento e monotonia. Si appoggia su: B (Densità e proprietà archimedea), F (Proprietà delle potenze), H (Logaritmo come inversa). Dimostrato in: Modelli di crescita e decadimento esponenziale.
3. Raddoppio e tempo di dimezzamento. Se $k > 0$ , il modello $P_0 e^{kt}$ raddoppia in ogni intervallo di durata $T = \frac{\ln 2}{k}$ , e solo in essi; se $k = -\lambda < 0$ , si riduce alla metà in ogni intervallo di durata $\frac{\ln 2}{\lambda}$ .
  Usa: 22. Tasso costante, 20. Iniettività ed equazioni. Si appoggia su: H (Logaritmo come inversa). Dimostrato in: Modelli di crescita e decadimento esponenziale.
4. Linearizzazione semilogaritmica. Un punto $(t, y)$ con $y > 0$ sta sul grafico di $y = C e^{kt}$ se e solo se $(t, \ln y)$ sta sulla retta $Y = \ln C + kt$ ; per due punti di ascisse distinte passa un unico grafico di questa forma.
  Usa: 16. Proprietà dei logaritmi. Si appoggia su: H (Logaritmo come inversa). Dimostrato in: Modelli di crescita e decadimento esponenziale.
5. Modello logistico. La funzione $P(t) = \frac{K}{1 + A e^{-rt}}$ , con $K$ , $A$ ed $r$ positivi, cresce strettamente tra $0$ e $K$ , raggiunge $\frac{K}{2}$ in $t_0 = \frac{\ln A}{r}$ e il suo grafico è simmetrico rispetto a quel punto.
  Usa: 4. Funzione esponenziale. Si appoggia su: G (Monotonia dell’esponenziale), H (Logaritmo come inversa). Dimostrato in: Modelli di crescita e decadimento esponenziale.
6. Funzioni iperboliche. Con $\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ e $\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$ , il coseno iperbolico è pari, il seno è dispari, e $e^x = \cosh x + \sinh x$ , $e^{-x} = \cosh x - \sinh x$ .
  Usa: 4. Funzione esponenziale. Dimostrato in: Le funzioni iperboliche.
7. Monotonia iperbolica. Il seno e la tangente iperbolici sono strettamente crescenti, con $-1 < \tanh x < 1$ ; il coseno iperbolico decresce per $x \leq 0$ , cresce per $x \geq 0$ e il suo minimo è $\cosh 0 = 1$ .
  Usa: 27. Funzioni iperboliche. Si appoggia su: F (Proprietà delle potenze), G (Monotonia dell’esponenziale). Dimostrato in: Le funzioni iperboliche.
8. Identità fondamentale. Per ogni reale $x$ vale $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$ .
  Usa: 27. Funzioni iperboliche. Si appoggia su: F (Proprietà delle potenze). Dimostrato in: Le funzioni iperboliche.
9. Parametrizzazione dell’iperbole. La funzione $t \mapsto \left( \cosh t, \sinh t \right)$ è una biiezione da $\mathbb{R}$ nel ramo destro di $x^2 - y^2 = 1$ , e la sua inversa associa al punto $(x, y)$ il numero $\ln(x + y)$ .
  Usa: 20. Iniettività ed equazioni, 27. Funzioni iperboliche, 28. Monotonia iperbolica, 29. Identità fondamentale. Si appoggia su: H (Logaritmo come inversa). Dimostrato in: Le funzioni iperboliche.
10. Formule di addizione. Valgono $\cosh(a + b) = \cosh a \cosh b + \sinh a \sinh b$ e $\sinh(a + b) = \sinh a \cosh b + \cosh a \sinh b$ .
  Usa: 27. Funzioni iperboliche. Si appoggia su: F (Proprietà delle potenze). Dimostrato in: Le funzioni iperboliche.
11. Funzioni iperboliche inverse. Valgono $\operatorname{settsinh} x = \ln \left( x + \sqrt{x^2 + 1} \right)$ , $\operatorname{settcosh} x = \ln \left( x + \sqrt{x^2 - 1} \right)$ per $x \geq 1$ , e $\operatorname{setttanh} x = \frac{1}{2} \ln \frac{1 + x}{1 - x}$ per $-1 < x < 1$ .
  Usa: 28. Monotonia iperbolica. Si appoggia su: H (Logaritmo come inversa). Dimostrato in: Le funzioni iperboliche.

Verso le funzioni trigonometriche. La catena si chiude su sé stessa: l’esponenziale produce le funzioni iperboliche, e il logaritmo le inverte. Il prossimo corso farà con la circonferenza $x^2 + y^2 = 1$ ciò che questa unità ha fatto con l’iperbole $x^2 - y^2 = 1$ .