انتقل إلى المحتوى
Topos Uranos
العربية

نماذج النمو والاضمحلال الأسيين

ملخص

يطبق هذا الدرس الدالتين الأسية واللوغاريتمية على وصف المقادير التي تتغير بالنسبة نفسها في فترات متساوية. فهو يدرس النمو المنفصل بنسبة ثابتة والنموذج المستمر P(t)=P0ektP(t) = P_0 e^{kt}، ويبرهن أن زمن التضاعف وعمر النصف في هذا الأخير لا يتوقفان على اللحظة التي يقاسان عندها، ويطبق النتيجة على التحلل الإشعاعي وعلى التأريخ بالكربون 14 وعلى قانون نيوتن للتبريد. ثم يبين كيف تُحدَّد وسائط نموذج انطلاقًا من معطيين، ويبرهن أن المعطيات الأسية تصطف على استقامة واحدة في تمثيل نصف لوغاريتمي، ويختم بالنموذج اللوجستي، الذي نموه محدود وتمثيله البياني متناظر بالنسبة إلى منتصفه.

أهداف التعلم

  1. أن يتعرف نماذج النمو والتناقص المنفصلة والمستمرة، وأن يربط نسبة التغير في كل فترة بثابت النموذج.
  2. أن يحسب زمن التضاعف وعمر النصف ويستعملهما، وأن يطبقهما على التحلل الإشعاعي وعلى التأريخ بالكربون 14 وعلى تبريد جسم.
  3. أن يحدد وسائط نموذج أسي انطلاقًا من معطيين، وأن يتعرف المعطيات الأسية في تمثيل نصف لوغاريتمي.
  4. أن يدرس النموذج اللوجستي: محدوديته ورتابته وتناظر تمثيله البياني بالنسبة إلى النقطة التي يبلغ فيها نصف حده.

النمو بنسبة ثابتة

يمكن لمقدار أن يتزايد بطريقتين أوليتين. فإن أضيفت إليه في كل فترة الكمية نفسها، شكلت قيمه متتالية حسابية وكان تمثيله البياني مستقيمًا؛ وهكذا ينمو رأس مال بفائدة بسيطة، يتلقى كل سنة الفائدة نفسها. وإن ضُرب، على العكس، في كل فترة في العامل نفسه، شكلت قيمه متتالية هندسية؛ وهكذا ينمو رأس مال بفائدة مركبة، تُحسب فائدة كل سنة منه على رأس المال المتراكم، وهكذا تنمو جماعة من البكتيريا تنقسم فيها كل خلية في زمن ثابت. وقد دُرست المتتاليتان في درس المجاميع والمتواليات والاستقراء؛ أما هذا الدرس فيتناول الثانية وصيغتها المستمرة.

ليكن P0>0P_0 > 0 القيمة الابتدائية لمقدار وPnP_n قيمته بعد فترات عددها nn. نقول إن المقدار يتغير وفق نسبة ثابتة rr في كل فترة، مع r>−1r > -1، إذا كانت كل قيمة تُستنتج من التي قبلها بضربها في 1+r1 + r، أي إذا كان خارج قسمة قيمتين متتاليتين هو نفسه دائمًا:

Pn+1Pn=1+r\frac{P_{n + 1}}{P_n} = 1 + r

يُعبَّر عن العدد rr عادة بالنسبة المئوية: فالجماعة التي تتزايد بنسبة 33 بالمئة في السنة لها r=3100r = \frac{3}{100}، والمادة التي تفقد خُمس كتلتها كل ساعة لها r=−15r = -\frac{1}{5}. فإن كان r>0r > 0 تحدثنا عن النمو؛ وإن كان −1<r<0-1 < r < 0، عن التناقص.

توطئةالنمو بنسبة ثابتة

إذا كان Pn+1=(1+r)PnP_{n + 1} = (1 + r) P_n لكل nn، مع P0>0P_0 > 0 وr>−1r > -1، فإن Pn=P0(1+r)nP_n = P_0 (1 + r)^n لكل عدد طبيعي nn. جميع القيم موجبة؛ والمتتالية متزايدة تمامًا إذا كان r>0r > 0 ومتناقصة تمامًا إذا كان −1<r<0-1 < r < 0.

الصيغة هي الحد العام لمتتالية هندسية نسبتها المشتركة 1+r1 + r، وتُبرهن بالاستقراء. ويبين الرسم القيم الأولى مع P0=1P_0 = 1، أولًا مع r=12r = \frac{1}{2} ثم مع r=−12r = -\frac{1}{2}.

البرهان

  1. P1=(1+r)P0=P0(1+r)1P_1 = (1 + r) P_0 = P_0 (1 + r)^{\resaltar{1}}

    من أجل n=1n = 1، الصيغة هي الفرض مطبقًا على P0P_0.

  2. Pn+1=(1+r)Pn=(1+r)P0(1+r)n=P0(1+r)n+1P_{n + 1} = (1 + r) \resaltar{P_n} = (1 + r) \resaltar{P_0 (1 + r)^n} = \dato{f}{P_0 (1 + r)^{n + 1}}

    إذا صحت الصيغة من أجل nn، فإن الفرض يعطيها من أجل n+1n + 1؛ وبمبدأ الاستقراء الرياضي، تصح لكل عدد طبيعي.

  3. P0>0,1+r>0→Pn>0P_0 > 0, \quad 1 + r > 0 \rightarrow \dato{p}{P_n > 0}

    بما أن P0P_0 و1+r1 + r موجبان، فكل قواهما وجداءاتهما موجبة: جميع القيم موجبة.

  4. Pn+1−Pn=rPnP_{n + 1} - P_n = \resaltar{r P_n}

    الفرق بين قيمتين متتاليتين هو rPnr P_n، وإشارته إشارة rr: فالمتتالية تتزايد إذا كان r>0r > 0 وتتناقص إذا كان −1<r<0-1 < r < 0.

مثلًا، رأس مال قدره 10001000 بفائدة مركبة سنوية نسبتها 55 بالمئة يصبح بعد ثلاث سنوات

C3=1000(1+5100)3=92618C_3 = 1000 \left( 1 + \frac{5}{100} \right)^3 = \frac{9261}{8}

أي 1157,625، في حين أنه بالفائدة البسيطة يصبح 11501150. والفرق، الصغير في البداية، يتزايد بلا حد مع عدد السنوات؛ وتبرهن المسألة المحلولة 2 أن الفائدة المركبة تفوق دائمًا الفائدة البسيطة ابتداءً من السنة الثانية، أما الدراسة المنهجية لرؤوس الأموال ومعدلات الفائدة فهي موضوع دورة الرياضيات المالية.