المعادلات والمتراجحات الأسية واللوغاريتمية

ملخص

يعلّم هذا الدرس حل المعادلات والمتراجحات التي يظهر فيها المجهول في أسٍّ أو في مُدخَل لوغاريتم. ويستند إلى خاصيتين للدالتين الأسية واللوغاريتمية: تباينهما، الذي يسمح بمساواة الأسس والمُدخَلات، ورتابتهما، التي تحفظ اتجاه المتباينة أو تعكسه بحسب الأساس. وبهما تُدرس الإعادة إلى أساس واحد، وأخذ اللوغاريتمات، وتغيير المتغير الذي يحوّل المعادلة إلى معادلة تربيعية، ومجال تعريف المعادلات اللوغاريتمية والحلول الدخيلة التي تظهر عند تطبيق خواص اللوغاريتمات خارج مجال تعريفها، والأنظمة، والمعادلات التي لا تحلها أي طريقة جبرية، والتي يُحصر حلها الوحيد بالتنصيف، ومناقشة عدد حلول معادلة ذات وسيط.

أهداف التعلم

حل المعادلات الأسية بالإعادة إلى أساس واحد، أو بأخذ اللوغاريتمات، أو بتغيير متغير يحوّلها إلى معادلات تربيعية، مع استبعاد القيم غير الموجبة للمتغير الجديد.
حل المعادلات اللوغاريتمية بتعيين مجال تعريفها أولًا، وتطبيق خواص اللوغاريتمات حيث تصح فقط، والتعرف على الحلول الدخيلة.
حل المتراجحات الأسية واللوغاريتمية، مع حفظ اتجاه المتباينة أو عكسه بحسب الأساس، والتعبير عن مجموعة الحلول باتحاد فترات.
البرهان، بمبرهنة القيم الوسطى، على أن معادلة لا طريقة جبرية لحلها لها حل وحيد، وحصره بالتنصيف، ومناقشة عدد حلول معادلة ذات وسيط.

المعادلات الأسية

المعادلة الأسية معادلة يظهر فيها المجهول في أسٍّ ما، مثل $2^x = 3^{x - 1}$ أو $4^x - 2^x - 6 = 0$ . ولحلها تُستعمل الحقائق المدروسة في الدرسين الخاصين بـالدالة الأسية وبـالدالة اللوغاريتمية. إذا كان $a > 0$ و $a \neq 1$ ، فإن القوة $a^x$ معرّفة من أجل كل عدد حقيقي $x$ وموجبة دائمًا؛ وهي متزايدة تمامًا إذا كان $a > 1$ ومتناقصة تمامًا إذا كان $0 < a < 1$ ، وتأخذ كل قيمة موجبة مرة واحدة بالضبط. ودالتها العكسية هي اللوغاريتم للأساس $a$ ، المعرّف على الأعداد الحقيقية الموجبة، الذي يحقق خاصية الجداء وخاصية القسمة وخاصية القوة، شرط أن تكون المُدخَلات موجبة، وصيغة تغيير الأساس.

مبرهنةتباين الدالة الأسية واللوغاريتم

ليكن $a$ عددًا حقيقيًا موجبًا مختلفًا عن $1$ . من أجل كل عددين حقيقيين $u$ و $v$ ، يكون $a^u = a^v$ إذا وفقط إذا كان $u = v$ ؛ ومن أجل كل عددين حقيقيين موجبين $u$ و $v$ ، يكون $\log_a u = \log_a v$ إذا وفقط إذا كان $u = v$ . وفضلًا عن ذلك، إذا كان $c > 0$ ، فللمعادلة $a^x = c$ حل واحد بالضبط، هو $x = \log_a c$ ، وإذا كان $c \leq 0$ فلا حل لها.

تُستعمل الرتابة التامة للدالة الأسية وتعريف اللوغاريتم بوصفه دالتها العكسية. يتتبع الرسم الحالة $a = 2$ : المستقيم الأفقي على الارتفاع $3$ يقطع منحنى $y = 2^x$ في نقطة واحدة، والمستقيم على الارتفاع $-2$ لا يقطعه.

البرهان

$u \neq v \rightarrow a^u \neq a^v, \qquad \dato{ie}{a^u = a^v \leftrightarrow u = v}$
إذا كان $u = v$ ، تطابقت القوتان، لأن الدالة تقرن بكل عدد قيمة واحدة. وبالعكس، إذا كان $u \neq v$ ، فأحد العددين أصغر من الآخر، وبحسب الرتابة التامة للدالة الأسية، المبرهنة في مبرهنة خواص الدالة الأسية، تكون قوتاهما مختلفتين.
$\log_a u = \log_a v \rightarrow u = a^{\resaltar{\log_a u}} = a^{\resaltar{\log_a v}} = v$
إذا كان $\log_a u = \log_a v$ ، نطبق على الطرفين الدالة الأسية للأساس $a$ ، التي تُبطل اللوغاريتم، فينتج $u = v$ ؛ والعكس واضح.
$a^x = c = a^{\resaltar{\log_a c}} \leftrightarrow x = \resaltar{\log_a c}$
إذا كان $c > 0$ ، فالعدد $\log_a c$ حل، بحسب تعريف اللوغاريتم؛ وهو الحل الوحيد، لأن لكل حل القوة نفسها التي له.
$a^x > 0 \geq c$
إذا كان $c \leq 0$ ، فلا حل، لأن القوة $a^x$ موجبة من أجل كل عدد حقيقي $x$ .

الإعادة إلى أساس واحد

إذا أمكن كتابة الطرفين قوتين لأساس واحد، سمح التباين بمساواة الأسين، وتحولت المعادلة الأسية إلى معادلة جبرية. مثلًا، لما كان $8 = 2^3$ و $4 = 2^2$ ، فإن المعادلة $8^{x - 1} = 4^{x + 1}$ تكافئ $2^{3x - 3} = 2^{2x + 2}$ ، أي $3x - 3 = 2x + 2$ ، التي حلها $x = 5$ :

8^{x - 1} = 4^{x + 1} \leftrightarrow 3x - 3 = 2x + 2 \leftrightarrow x = 5

أخذ اللوغاريتمات

عندما لا تكون الأساسات قوى لعدد واحد، مثل $2$ و $3$ ، نأخذ لوغاريتم الطرفين. وإذا كان الطرفان موجبين، فإن تباين اللوغاريتم يضمن أن المعادلة الناتجة تكافئ الأصلية: فلا تضيع حلول ولا تُضاف. وأي أساس يصلح؛ والمعتاد استعمال اللوغاريتم الطبيعي، المعرّف في الدرس الخاص بـالدالة اللوغاريتمية، أو اللوغاريتم للأساس $10$ .

مثالمعادلة بأساسين

حُلَّ المعادلة $2^x = 3^{x - 1}$ .

البرهان

$2^x = 3^{x - 1} \leftrightarrow \resaltar{\ln(2^x)} = \resaltar{\ln(3^{x - 1})}$
الطرفان موجبان من أجل كل $x$ . نأخذ اللوغاريتم الطبيعي للطرفين، فنحصل على معادلة تكافئها بحسب تباين اللوغاريتم.
$\resaltar{\ln(2^x)} = \resaltar{\ln(3^{x - 1})} \leftrightarrow \dato{e}{x \ln 2 = (x - 1) \ln 3}$
خاصية القوة تُنزل الأسين عاملين.
$x \ln 2 - \resaltar{(x - 1) \ln 3} = 0 \leftrightarrow \resaltar{x(\ln 3 - \ln 2)} = \ln 3$
نجمع الحدود التي فيها $x$ في طرف واحد. المعامل $\ln 3 - \ln 2$ موجب، لأن اللوغاريتم الطبيعي متزايد تمامًا و $2 < 3$ .
$x = \frac{\ln 3}{\resaltar{\ln 3 - \ln 2}} = \dato{s}{\log_{\frac{3}{2}} 3}$
نقسم على هذا المعامل. بحسب خاصية القسمة يكون المقام $\ln \frac{3}{2}$ ، وبحسب تغيير الأساس يكون الحل لوغاريتمًا للأساس $\frac{3}{2}$ ؛ وقيمته نحو 2,71.
$2^2 = 4 > \resaltar{3^1}, \quad 2^3 = 8 < \resaltar{3^2}$
يؤكد جدول قيم موقع الحل: عند $2$ القوة الأولى أكبر، وعند $3$ الثانية؛ والمنحنيان يتقاطعان بين العددين، في النقطة الوحيدة التي يحقق فيها $x$ المعادلة.

معادلات تؤول إلى معادلة تربيعية

إذا ظهرت في المعادلة $a^x$ و $a^{2x}$ ، أو قوى تؤول إليهما، مثل $4^x = (2^x)^2$ ، فإن تغيير المتغير $t = a^x$ يحوّلها إلى معادلة تربيعية في $t$ ، تُحل بطرق الدرس الخاص بـتحليل كثير الحدود التربيعي. غير أن المتغير الجديد لا يمر بكل الأعداد الحقيقية: فلما كانت $a^x$ موجبة دائمًا، لا تُقبل إلا القيم الموجبة لـ $t$ . وكل جذر موجب يعطي، بحسب مبرهنة التباين، حلًّا واحدًا بالضبط $x = \log_a t$ ، وكل جذر سالب أو منعدم يُستبعد.

مثالتغيير المتغير

حُلَّ المعادلة $4^x - 2^x - 6 = 0$ .

البرهان

$\resaltar{4^x} = (2^2)^x = \resaltar{(2^x)^2}, \quad \dato{t}{t = 2^x > 0}$
نكتب $4^x$ مربعًا لـ $2^x$ ونسمي $t$ هذه القوة، وهي موجبة.
$\resaltar{t^2 - t - 6} = \resaltar{(t - 3)(t + 2)} = 0$
المعادلة تربيعية في $t$ ، وتُحلَّل بإيجاد عددين جداؤهما $-6$ ومجموعهما $-1$ .
$t = -2 \rightarrow 2^x = \resaltar{-2} < 0$
يُستبعد الجذر $t = -2$ ، لأن $t$ موجب: فالمعادلة $2^x = -2$ لا حل لها. يبيّن الرسم القطع المكافئ في مستوى المتغير $t$ ، ولا يُحتسب منه إلا ما يقع حيث $t > 0$ .
$2^x = \resaltar{3} \leftrightarrow x = \resaltar{\log_2 3}$
الجذر $t = 3$ موجب ويعطي حلًّا واحدًا بالضبط، بحسب مبرهنة التباين؛ وقيمته نحو 1,58.
$4^{\log_2 3} - 2^{\log_2 3} - 6 = \resaltar{9 - 3 - 6} = \resaltar{0}$
التحقق: بحسب تعريف اللوغاريتم، $2^{\log_2 3} = 3$ ، ومربع هذه القوة $9$ .

في بقية هذا الدرس

المعادلات اللوغاريتمية
المتراجحات الأسية واللوغاريتمية
أنظمة المعادلات
معادلات بلا طريقة جبرية
معادلات ذات وسيط
مسائل محلولة
معادلة بثلاثة أساسات
المجهول في الأساس
قوى تتبادل
متراجحة لوغاريتمية أساسها أصغر من الواحد
مناقشة بحسب وسيط
مسائل مقترحة
خلط حمضين
قوة ذات أس لوغاريتمي
المجهول في أساس متراجحة
ثلاثية فيثاغورية في الأسس
أساسان مقلوبان