الدالة اللوغاريتمية وخصائصها

اللوغاريتم بوصفه الدالة العكسية للدالة الأسية

في الدرس الخاص بـالدالة الأسية والقوة ذات الأس الحقيقي بُرهن أنه، إذا كان $a > 0$ و$a \neq 1$، فإن الدالة التي تقرن بكل عدد حقيقي $x$ القوة $a^x$ متزايدة تمامًا إذا كان $a > 1$ ومتناقصة تمامًا إذا كان $0 < a < 1$؛ وأنها، بمبرهنة مدى الدالة الأسية، التي بُرهنت هناك بتمام الأعداد الحقيقية ومتباينة برنولي، تأخذ فضلًا عن ذلك كل قيمة موجبة مرة واحدة بالضبط، فهي إذن تقابل من $\mathbb{R}$ إلى الفترة $\ioo{0}{\infty}$. وبمبرهنة الدالة العكسية لدالة رتيبة تمامًا، التي بُرهنت في الدرس الخاص بـالعمليات على الدوال والدالة العكسية، يكون لهذه الدالة دالة عكسية. وإذا كان الأمر كذلك، فلكل عدد موجب $x$ يوجد أس وحيد $y$ بحيث $a^y = x$، ويكون للتعريف الآتي معنى.

ليكن $a > 0$، مع $a \neq 1$، و$x > 0$. اللوغاريتم للأساس $a$ للعدد $x$، ويُكتب $\log_a x$، هو العدد الحقيقي الوحيد $y$ بحيث $a^y = x$. والدالة $\log_a$، المعرّفة على $\ioo{0}{\infty}$ ذات القيم الحقيقية، هي الدالة العكسية للدالة الأسية للأساس $a$.

فاللوغاريتم يجيب إذن عن السؤال عن الأس: $\log_a x$ هو العدد الذي يجب أن يُرفع إليه $a$ للحصول على $x$. وهكذا، لأن $2^3 = 8$ و$3^{-2} = \frac{1}{9}$ و$10^3 = 1000$، وبحسب الدرس الخاص بـالقوى ذات الأسس النسبية والجذور، $4^{\frac{1}{2}} = \sqrt{4} = 2$، يكون لدينا:

لما كانت $\log_a$ والدالة الأسية للأساس $a$ دالتين عكسيتين، فإن كلًّا منهما تلغي ما تفعله الأخرى: المتطابقة الأولى صحيحة لكل $x$ موجب، والثانية لكل $y$ حقيقي.

وبوجه خاص، من $a^0 = 1$ و$a^1 = a$ ينتج $\log_a 1 = 0$ و$\log_a a = 1$ لكل أساس. وليس للصفر ولا للأعداد السالبة لوغاريتم، لأن كل قوة ذات أساس موجب موجبة: لا يوجد أي $y$ بحيث $2^y = -4$. ولأساسين اسم خاص. فالأساس $e$، وهو العدد المدروس في الدرس الخاص بـالعدد e والدالة الأسية الطبيعية، يعطي اللوغاريتم الطبيعي، ويُكتب $\ln x$؛ والأساس $10$ يعطي اللوغاريتم العشري، ويُكتب $\log_{10} x$. وفي كثير من الكتب والآلات الحاسبة يُكتب $\log x$ دون أساس، تارةً للطبيعي وتارةً للعشري؛ وفي هذه الدورة يُكتب الأساس دائمًا.

نشر جون نابيير اللوغاريتمات سنة 1614، وحسب هنري بريغز بعد سنوات قليلة أولى جداول اللوغاريتمات العشرية. وطوال أكثر من ثلاثة قرون استُعملت لاختصار حسابات الفلك والملاحة والهندسة، لأنها، كما يُبرهن في الفقرة الآتية، تحوّل الجداءات إلى مجاميع. ويُستخلص تمثيلها البياني من التمثيل البياني للدالة الأسية بمبرهنة التمثيل البياني للدالة العكسية، من الدرس نفسه عن الدالة العكسية: التمثيل البياني لدالة تقابلية والتمثيل البياني لدالتها العكسية متناظران بالنسبة إلى المستقيم $y = x$.