انتقل إلى المحتوى
Topos Uranos
العربية

العدد e والدالة الأسية الطبيعية

ملخص

يبني هذا الدرس العدد ee بوصفه الحد الأعلى الأصغر للمتتالية (1+1n)n\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n، التي تنشأ من الفائدة المركبة: فيبرهن بمبرهنة ذات الحدين أن المتتالية تتزايد وأنها لا تبلغ القيمة 33، ويحصر حدها الأعلى الأصغر بينها وبين المتتالية المتناقصة (1+1n)n+1\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n + 1}. ثم يبرهن أن ee هو أيضًا الحد الأعلى الأصغر لمجاميع مقلوبات العامليات، ويحدّ خطأ هذه المجاميع، مما يسمح بحساب ee بالدقة المرغوبة، ويبرهن أن ee عدد غير نسبي. وأخيرًا يعرّف الدالة الأسية الطبيعية، ويربطها بالرسملة المستمرة للفائدة، ويبرهن المتباينة ex≥1+xe^x \geq 1 + x، التي تعني أن المستقيم y=1+xy = 1 + x يقع تحت منحنى الدالة الأسية.

أهداف التعلم

  1. أن يبرهن أن المتتالية (1+1n)n\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n متزايدة ومحدودة، وأن يعرّف العدد ee بوصفه حدها الأعلى الأصغر.
  2. أن يحسب تقريبات لـ ee بواسطة مجموع مقلوبات العامليات، مع حد صارم للخطأ، وأن يبرهن أن ee عدد غير نسبي.
  3. أن يربط الدالة الأسية الطبيعية بالفائدة المركبة وبرسملتها المستمرة، وأن يقارن أثر الرسملة بتواترات مختلفة.
  4. أن يبرهن المتباينة ex≥1+xe^x \geq 1 + x ويطبقها، وأن يفسرها بوصفها وضع المستقيم y=1+xy = 1 + x بالنسبة إلى منحنى y=exy = e^x.

متتالية الفائدة المركبة

يُودَع رأس مال قدره 11 مدة سنة بفائدة سنوية قدرها مئة في المئة. فإذا دُفعت الفائدة مرة واحدة، في نهاية السنة، تضاعف رأس المال وصار 22. وإذا دُفعت مرتين، كل نصف سنة بنصف المعدل، فإن فائدة النصف الأول تدرّ بدورها فائدة في النصف الثاني: يُضرب رأس المال مرتين في 1+121 + \frac{1}{2} ويصير 94\frac{9}{4}. ومع أربع دفعات فصلية يصير (1+14)4=625256\left( 1 + \frac{1}{4} \right)^4 = \frac{625}{256}، أي أكثر بقليل من 2,44، ومع اثنتي عشرة دفعة شهرية، أكثر بقليل من 2,61. وعمومًا، إذا قُسمت السنة إلى فترات متساوية عددها nn ودُفع في كل منها الجزء 1n\frac{1}{n} من المعدل، فإن رأس المال يُضرب مرات عددها nn في 1+1n1 + \frac{1}{n}، ويصير في نهاية السنة

an=(1+1n)na_n = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n

عندما يزداد nn يُضرب رأس المال مرات أكثر، لكن في عامل أقرب إلى 11، وليس واضحًا أي الأثرين يغلب: فقوى 11 كلها تساوي 11، في حين أن قوى أساس ثابت أكبر من 11 تتزايد بلا حد. تبرهن هذه الفقرة أن المتتالية تتزايد، لكن حدودها لا تبلغ القيمة 33؛ وحدها الأعلى الأصغر هو العدد ee. وتستند البراهين إلى مبرهنة ذات الحدين من الدرس الخاص بـالتوافقيات وصيغة ذات الحدين لنيوتن، وإلى متباينة برنولي، (1+x)n≥1+nx(1 + x)^n \geq 1 + nx عندما x≥−1x \geq -1، المبرهنة في الدرس الخاص بـمسلّمات بيانو، وإلى تمام الأعداد الحقيقية، المنصوص عليه في الدرس الخاص بـالمجموعات العددية.

تزايد المتتالية

بحسب مبرهنة ذات الحدين، ana_n مجموع حدود عددها n+1n + 1. والحد ذو الدليل kk هو (nk)1nk\binom{n}{k} \frac{1}{n^k}، ويُكتب على أنه حاصل ضرب 1k!\frac{1}{k!} في عوامل موجبة عددها k−1k - 1 وكل منها أصغر من 11؛ ومع الاصطلاح على أن حاصل الضرب الخالي من العوامل يساوي 11، تصح هذه الكتابة أيضًا عندما k=0k = 0 وk=1k = 1:

an=∑k=0n1k!∏j=1k−1(1−jn)=1+1+12!(1−1n)+13!(1−1n)(1−2n)+⋯a_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} \prod_{j=1}^{k - 1} \left( 1 - \frac{j}{n} \right) = 1 + 1 + \frac{1}{2!} \left( 1 - \frac{1}{n} \right) + \frac{1}{3!} \left( 1 - \frac{1}{n} \right) \left( 1 - \frac{2}{n} \right) + \cdots

في هذه الكتابة لا يظهر nn إلا في العوامل 1−jn1 - \frac{j}{n}، التي تتزايد مع nn، وفي عدد الحدود، الذي يتزايد هو أيضًا. والأثران يدفعان في الاتجاه نفسه؛ وتلك هي فكرة المبرهنة الآتية.

مبرهنةتزايد المتتالية

لكل عدد طبيعي nn يتحقق an<an+1a_n < a_{n + 1}، أي إن المتتالية (1+1n)n\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n متزايدة تمامًا.

نقارن حدًا بحد بين مفكوكي ذات الحدين لـ ana_n وan+1a_{n + 1}. ويمثّل الرسم، عندما n=3n = 3، كل حد بقطعة من عمود يبدأ عند 22، لأن الحدين الأولين يساويان 11 في جميع الحالات.

البرهان

  1. (nk)1nk=n(n−1)⋯(n−k+1)k! nk=1k!⋅nn⋅n−1n⋯n−k+1n\binom{n}{k} \frac{1}{n^k} = \frac{\resaltar{n(n - 1) \cdots (n - k + 1)}}{k! \, n^k} = \resaltar{\frac{1}{k!} \cdot \frac{n}{n} \cdot \frac{n - 1}{n} \cdots \frac{n - k + 1}{n}}

    بحسب مبرهنة ذات الحدين، مع x=1x = 1 وy=1ny = \frac{1}{n}، فإن الحد ذا الدليل kk من ana_n هو (nk)1nk\binom{n}{k} \frac{1}{n^k}. ومعامل ذي الحدين حاصل ضرب عوامل عددها kk مقسومًا على k!k!، ويُقسم كل عامل على واحد من عوامل المقام، وعددها kk، وهي nn.

  2. an=∑k=0n1k!∏j=1k−1(1−jn)a_n = \dato{an}{\sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} \prod_{j=1}^{k - 1} \left( 1 - \frac{j}{n} \right)}

    الخارج الأول يساوي 11، وكل واحد من الخوارج الباقية هو n−jn=1−jn\frac{n - j}{n} = 1 - \frac{j}{n}، حيث jj من 11 إلى k−1k - 1. وبجمع الحدود نحصل على كتابة ana_n.

  3. an+1=∑k=0n1k!∏j=1k−1(1−jn+1)+1(n+1)!∏j=1n(1−jn+1)a_{n + 1} = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} \prod_{j=1}^{k - 1} \left( 1 - \frac{j}{n + 1} \right) + \resaltar{\frac{1}{(n + 1)!} \prod_{j=1}^{n} \left( 1 - \frac{j}{n + 1} \right)}

    الكتابة نفسها، مع n+1n + 1 مكان nn، فيها حد زائد، هو الحد ذو الدليل k=n+1k = n + 1، وهو موجب لأن جميع عوامله موجبة.

  4. 0<1−jn<1−jn+1\dato{f}{0 < 1 - \resaltar{\frac{j}{n}} < 1 - \resaltar{\frac{j}{n + 1}}}

    عندما 1≤j≤n−11 \leq j \leq n - 1، إذا كبر المقام صغر jn\frac{j}{n} وكبر العامل؛ وفضلًا عن ذلك فجميع العوامل موجبة.

  5. 1k!∏j=1k−1(1−jn)<1k!∏j=1k−1(1−jn+1)\frac{1}{k!} \resaltar{\prod_{j=1}^{k - 1} \left( 1 - \frac{j}{n} \right)} < \frac{1}{k!} \resaltar{\prod_{j=1}^{k - 1} \left( 1 - \frac{j}{n + 1} \right)}

    بحسب رتابة حاصل ضرب الأعداد الموجبة، كل حد من ana_n ذي دليل k≥2k \geq 2، إن وُجد، أصغر من الحد ذي الدليل نفسه في an+1a_{n + 1}؛ والحدان ذوا الدليلين 00 و11 يساويان 11 في المجموعين كليهما.

  6. a1=2<a2=94<a3=6427<a4=625256a_1 = 2 < a_2 = \frac{9}{4} < a_3 = \frac{64}{27} < a_4 = \frac{625}{256}

    وبالجمع، لا يتجاوز ana_n مجموع الحدود الأولى، وعددها n+1n + 1، من an+1a_{n + 1}، الذي ما زال ينقصه الحد الموجب ذو الدليل n+1n + 1. ومن ثم an<an+1a_n < a_{n + 1}. وفي الرسم، ترتفع حدود المتتالية.

حد أعلى

التزايد لا يكفي لكي يكون للمتتالية حد أعلى أصغر: فالأعداد الطبيعية تتزايد هي أيضًا. ويلزم حد أعلى، وللحصول عليه نقارن ana_n بمجموع مقلوبات العامليات،

sn=∑k=0n1k!=1+1+12+16+⋯+1n!s_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} = 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \cdots + \frac{1}{n!}

الذي ينتج إذا حذفنا من كتابة ana_n جميع العوامل 1−jn1 - \frac{j}{n}. ولهذه المجاميع أهمية في ذاتها، وستبرهن الفقرة اللاحقة أنها تقترب من العدد نفسه الذي يقترب منه ana_n، وبسرعة أكبر بكثير. وقد طلبت المسألة المقترحة 5 في الدرس الخاص بالتوافقيات برهان أن an<3a_n < 3؛ والثانية من التوطئتين الآتيتين تتضمن هذا الحد، مع المتباينة الوسيطة an≤sna_n \leq s_n، التي ستُستعمل فيما بعد. أما الأولى فتقارن العامليات بقوى 22، وهي التي تسمح بحدّ sns_n بمتتالية هندسية.

توطئةالعامليات وقوى العدد اثنين

لكل عدد طبيعي kk يتحقق k!≥2k−1k! \geq 2^{k - 1}، ولا تتحقق المساواة إلا إذا k=1k = 1 أو k=2k = 2.

نستدل بالاستقراء على kk، بالمبدأ الوارد في الدرس الخاص بـمسلّمات بيانو: عند الانتقال من kk إلى k+1k + 1 يُضرب العاملي في k+1k + 1، وهو لا يقل عن 22، في حين أن القوة تتضاعف فقط. ويقارن الرسم، عندما يتراوح kk من 11 إلى 44، العاملي بالقوة في عمودين.

البرهان

  1. 1!=1=201! = 1 = 2^{0}

    الحالة الأساسية: عندما k=1k = 1 يساوي الطرفان 11.

  2. k!≥2k−1\dato{h}{k! \geq 2^{k - 1}}

    فرضية الاستقراء: لنفترض أن المتباينة صحيحة لعدد طبيعي kk.

  3. (k+1)!=(k+1)⋅k!≥2⋅2k−1=2k(k + 1)! = \resaltar{(k + 1)} \cdot k! \geq \resaltar{2} \cdot 2^{k - 1} = 2^{k}

    عاملي k+1k + 1 هو عاملي kk مضروبًا في k+1k + 1، وهو لا يقل عن 22؛ ولما كانت جميع العوامل موجبة، فإن فرضية الاستقراء تعطي المتباينة لـ k+1k + 1.

  4. k!≥2k−1,3!=6>4=22k! \geq 2^{k - 1}, \qquad 3! = 6 > 4 = 2^2

    بحسب مبدأ الاستقراء الرياضي، تصح المتباينة لكل عدد طبيعي kk. وإذا k≥2k \geq 2 فإن العامل k+1k + 1 لا يقل عن 33، وتكون المتباينة لـ k+1k + 1 صارمة: فالمساواة تتحقق عند k=1k = 1 وعند k=2k = 2، وعندهما فقط.

توطئةحدّ المتتالية

لكل عدد طبيعي nn يتحقق an≤sn<3a_n \leq s_n < 3؛ والمتباينة الأولى صارمة عندما n≥2n \geq 2.

نحدّ كل حد من مفكوك ana_n بالحد المقابل له من sns_n، وكل حد من sns_n بحد من متتالية هندسية نسبتها المشتركة 12\frac{1}{2}. ويقارن الرسم، عندما n=4n = 4، الأعمدة الثلاثة على القاعدة المشتركة 22.

البرهان

  1. 1k!∏j=1k−1(1−jn)≤1k!⋅1\frac{1}{k!} \resaltar{\prod_{j=1}^{k - 1} \left( 1 - \frac{j}{n} \right)} \leq \frac{1}{k!} \cdot \resaltar{1}

    كل عامل 1−jn1 - \frac{j}{n} يقع بين 00 و11؛ ومن ثم فحاصل ضربها لا يتجاوز 11، وكل حد من ana_n لا يتجاوز الحد 1k!\frac{1}{k!} من sns_n.

  2. an≤sn\dato{as}{a_n \leq s_n}

    وبالجمع حيث kk من 00 إلى nn نحصل على المتباينة الأولى. وإذا n≥2n \geq 2 ففي الحد ذي الدليل 22 العامل 1−1n<11 - \frac{1}{n} < 1، وتكون المتباينة صارمة.

  3. 1k!≤12k−1,k≥1\dato{f}{\frac{1}{k!} \leq \frac{1}{2^{k - 1}}}, \quad k \geq 1

    بحسب التوطئة التي قبلها، k!≥2k−1k! \geq 2^{k - 1} لكل عدد طبيعي kk؛ وعند أخذ مقلوبي عددين موجبين ينعكس اتجاه المتباينة.

  4. sn=1+∑k=1n1k!≤1+∑k=1n12k−1s_n = 1 + \resaltar{\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k!}} \leq 1 + \resaltar{\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2^{k - 1}}}

    نفصل الحد ذا الدليل 00 ونحدّ الحدود الباقية.

  5. 1+∑k=1n12k−1=1+2(1−12n)=3−12n−1<31 + \resaltar{\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2^{k - 1}}} = 1 + \resaltar{2 \left( 1 - \frac{1}{2^n} \right)} = 3 - \frac{1}{2^{n - 1}} < 3

    المُبرَز هو مجموع حدود عددها nn من متتالية هندسية حدها الأول 11 ونسبتها المشتركة 12\frac{1}{2}، وقد حُسب في الدرس الخاص بـالمجاميع والمتواليات.

  6. an≤sn≤3−12n−1<3a_n \leq s_n \leq 3 - \frac{1}{2^{n - 1}} < 3

    وبربط المتباينتين نحصل على التوطئة. وفي الرسم، عندما n=4n = 4، يبقى العمود الهندسي على مسافة 18\frac{1}{8} من 33، والعمودان الآخران تحته.

متتالية متناقصة ترافقها

إذا رفعنا الأساس 1+1n1 + \frac{1}{n} إلى أس أكبر بواحد، حصلنا على متتالية ثانية، حدودها أكبر من حدود الأولى، لأنها تُضرب في عامل أكبر من 11:

bn=(1+1n)n+1=an(1+1n)>anb_n = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n + 1} = a_n \left( 1 + \frac{1}{n} \right) > a_n

حدودها الأولى هي b1=4b_1 = 4 وb2=278b_2 = \frac{27}{8} وb3=25681b_3 = \frac{256}{81}: إنها تنزل. وتبرهن المبرهنة الآتية ذلك في الحالة العامة؛ والفكرة دراسة خارج قسمة حدين متتاليين، والأداة متباينة برنولي.

مبرهنةتناقص المتتالية المرافقة

لكل عدد طبيعي nn يتحقق bn>bn+1b_n > b_{n + 1}، أي إن المتتالية (1+1n)n+1\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n + 1} متناقصة تمامًا.

يكفي أن نبرهن أن الخارج bnbn+1\frac{b_n}{b_{n + 1}} أكبر من 11، لأن الحدود موجبة. ويُظهر الرسم الحدود الأولى من المتتاليتين.

البرهان

  1. bnbn+1=(n+1n)n+1(n+2n+1)n+2=((n+1)2n(n+2))n+1⋅n+1n+2\frac{b_n}{b_{n + 1}} = \frac{\left( \frac{n + 1}{n} \right)^{n + 1}}{\left( \frac{n + 2}{n + 1} \right)^{n + 2}} = \dato{c}{\left( \frac{(n + 1)^2}{n(n + 2)} \right)^{n + 1} \cdot \frac{n + 1}{n + 2}}

    نكتب كل أساس على شكل خارج قسمة، ونفصل عاملًا n+1n+2\frac{n + 1}{n + 2} من قوة المقام، ونجمع القوتين ذواتي الأس n+1n + 1 في قوة واحدة.

  2. (n+1)2n(n+2)=n(n+2)+1n(n+2)=1+1n(n+2)\frac{\resaltar{(n + 1)^2}}{n(n + 2)} = \frac{\resaltar{n(n + 2) + 1}}{n(n + 2)} = \dato{q}{1 + \frac{1}{n(n + 2)}}

    بسط الأساس يزيد على المقام بمقدار 11، لأن (n+1)2=n2+2n+1=n(n+2)+1(n + 1)^2 = n^2 + 2n + 1 = n(n + 2) + 1.

  3. (1+1n(n+2))n+1≥1+n+1n(n+2)\dato{B}{\left( 1 + \frac{1}{n(n + 2)} \right)^{n + 1} \geq 1 + \frac{n + 1}{n(n + 2)}}

    بحسب متباينة برنولي، مع x=1n(n+2)x = \frac{1}{n(n + 2)} والأس n+1n + 1، فإن قوة هذا الأساس لا تقل عن 1+(n+1)x1 + (n + 1)x.

  4. bnbn+1≥(1+n+1n(n+2))n+1n+2=(n2+3n+1)(n+1)n(n+2)2\frac{b_n}{b_{n + 1}} \geq \resaltar{\left( 1 + \frac{n + 1}{n(n + 2)} \right)} \frac{n + 1}{n + 2} = \resaltar{\frac{(n^2 + 3n + 1)(n + 1)}{n(n + 2)^2}}

    نعوّض في الخارج ونوحّد المقامات؛ والمجموع n(n+2)+(n+1)n(n + 2) + (n + 1) يساوي n2+3n+1n^2 + 3n + 1.

  5. (n2+3n+1)(n+1)n(n+2)2=n3+4n2+4n+1n3+4n2+4n>1\frac{\resaltar{(n^2 + 3n + 1)(n + 1)}}{\resaltar{n(n + 2)^2}} = \frac{\resaltar{n^3 + 4n^2 + 4n + 1}}{\resaltar{n^3 + 4n^2 + 4n}} > 1

    ننشر البسط والمقام: يزيد البسط على المقام بمقدار 11.

  6. b1=4>b2=278>b3=25681>b4=31251024b_1 = 4 > b_2 = \frac{27}{8} > b_3 = \frac{256}{81} > b_4 = \frac{3125}{1024}

    ومن ثم bn>bn+1b_n > b_{n + 1}. وفي الرسم، تنزل الحدود bnb_n بينما ترتفع ana_n، ويبقى كل bnb_n فوق كل ana_n.

العدد e

تقترب المتتاليتان إحداهما من الأخرى، لكنهما لا تتقاطعان: كل حد من الأولى أصغر من كل حد من الثانية، ولو اختلف دليلاهما.

توطئةالمتتاليتان لا تتقاطعان

لجميع العددين الطبيعيين nn وmm يتحقق an<bma_n < b_m.

نمرّ بالدليل الأكبر من الدليلين: فالمتتالية الأولى تتزايد، والثانية تتناقص، وعند كل دليل تقع الثانية فوق الأولى. ويتتبع الرسم الحالة n=2n = 2 وm=5m = 5.

البرهان

  1. bp=ap(1+1p)>ap\dato{p}{b_p = a_p \left( 1 + \frac{1}{p} \right) > a_p}

    عند الدليل نفسه pp، الحد bpb_p هو apa_p مضروبًا في 1+1p1 + \frac{1}{p}، وهو أكبر من 11، وapa_p موجب.

  2. n≤p→an≤ap\dato{a}{n \leq p \rightarrow a_n \leq a_p}

    ليكن pp أكبر العددين الطبيعيين nn وmm. ولما كان n≤pn \leq p والمتتالية ana_n متزايدة، فإن حدها ذا الدليل nn لا يتجاوز حدها ذا الدليل pp.

  3. m≤p→bp≤bm\dato{b}{m \leq p \rightarrow b_p \leq b_m}

    ولما كان m≤pm \leq p والمتتالية bnb_n متناقصة، فإن حدها ذا الدليل pp لا يتجاوز حدها ذا الدليل mm.

  4. an≤ap<bp≤bma_n \leq a_p < b_p \leq b_m

    وبربط المتباينات الثلاث، والوسطى منها صارمة، نحصل على التوطئة. وفي الرسم، عندما n=2n = 2 وm=5m = 5، يكون الدليل الأكبر p=5p = 5.

ويترتب على ذلك أن مجموعة الحدود ana_n غير خالية ومحدودة من الأعلى، بـ 33 أو بأي bmb_m. وبحسب تمام الأعداد الحقيقية، فلها حد أعلى أصغر، يُرمز إليه بالحرف ee.

تعريف. العدد ee هو الحد الأعلى الأصغر لمجموعة حدود المتتالية (1+1n)n\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n، حيث nn عدد طبيعي.
مبرهنةالعدد e بين المتتاليتين

لكل عدد طبيعي nn يتحقق an<e<bna_n < e < b_n.

نستعمل تعريف الحد الأعلى الأصغر بوصفه أصغر الحدود العليا، ورتابة المتتاليتين. ويُظهر الرسم المتتاليتين، وهما تقتربان من ee من جهتين متقابلتين.

البرهان

  1. an<bm,n,m∈N\dato{ab}{a_n < b_m}, \quad n, m \in \mathbb{N}

    بحسب التوطئة التي قبلها، كل حد من المتتالية الأولى أصغر من كل حد من الثانية.

  2. (∀m∈N)(e≤bm)\dato{eb}{(\forall m \in \mathbb{N})(e \leq b_m)}

    فكل bmb_m إذن حد أعلى لمجموعة الأعداد ana_n، والحد الأعلى الأصغر، وهو أصغر الحدود العليا، لا يتجاوز أيًا منها.

  3. an<an+1≤e\dato{ae}{a_n < \resaltar{a_{n + 1}} \leq \resaltar{e}}

    ولما كان ee حدًا أعلى والمتتالية ana_n متزايدة تمامًا، فإن كل حد أصغر من الحد الذي يليه، وهذا لا يتجاوز ee.

  4. e≤bn+1<bn\dato{be}{e \leq \resaltar{b_{n + 1}} < \resaltar{b_n}}

    وبالطريقة نفسها، لما كانت المتتالية bnb_n متناقصة تمامًا، فإن ee لا يتجاوز الحد الذي يليه، وهو أصغر من bnb_n.

  5. an<e<bna_n < e < b_n

    وبربط المتباينتين نحصل على المبرهنة: ee هو العدد الوحيد الذي يقع بين جميع ana_n وجميع bnb_n.

  6. a74<e<b17a_{74} < e < b_{17}

    وبآلة حاسبة نجد أن a74a_{74} يتجاوز 2,7 وأن b17b_{17} أصغر من 2,8؛ ومن ثم يقع ee بين 2,7 و2,8. والحصر بطيء: فالمسافة بين المتتاليتين هي bn−an=annb_n - a_n = \frac{a_n}{n}، وهي تتناقص كمقلوب nn.

العدد ee يساوي تقريبًا 2,718281828. وجده ياكوب برنولي سنة 1683 وهو يدرس الفائدة المركبة، ورمز إليه ليونهارد أويلر، الذي اكتشف كثيرًا من خواصه، بالحرف ee. وهو، مع π\pi، أحد الثابتين الأساسيين في التحليل.