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LatineResumo
Esta aula abre a unidade dedicada às funções exponencial, logarítmica e hiperbólicas. Apresenta suas seis aulas e o que cada uma demonstra; percorre a história dessas ideias, desde a correspondência entre progressões que Arquimedes entreviu e Stifel ordenou até os logaritmos de Napier e Bürgi, o número de Jakob Bernoulli e Euler e as funções hiperbólicas de Riccati e Lambert; formula o problema que lhes deu origem, que é converter produtos em somas, e o traduz em duas equações funcionais; e descreve, por fim, o lugar que essas funções ocupam na continuação deste curso, em outros cursos do site e na ciência.
Objetivos de aprendizagem
- Descrever o conteúdo de cada aula da unidade e a ordem lógica em que elas se articulam, desde a potência de expoente real até as funções hiperbólicas.
- Situar em seu contexto histórico a invenção dos logaritmos, a descoberta do número e a introdução das funções hiperbólicas, identificando o problema prático que motivou cada uma delas.
- Expressar o problema de converter produtos em somas por meio das equações e , e explicar com a tabela de Stifel por que sua solução exige expoentes reais.
- Reconhecer aplicações dessas funções no curso de Álgebra e Geometria II, em outros cursos e na física, na química, na biologia, nas finanças e na informática.
Avaliação de entrada
Antes de percorrer a unidade, convém medir o ponto de partida, sem atribuir nota alguma. As dez primeiras perguntas tratam das seis aulas de conteúdo da unidade: duas para cada uma das três aulas em que se apoia o restante (a potência de expoente real, o número e as equações), uma para a aula sobre o logaritmo, outra para a das funções hiperbólicas e duas para a dos modelos, a segunda das quais pede para formular um modelo a partir de dados; as mesmas habilidades voltam a ser medidas no final, na aula de síntese. As três últimas verificam o que a unidade dá por sabido das unidades sobre os conjuntos numéricos e sobre a geometria analítica do plano. Cada resposta errada indica a aula em que convém deter-se.
Antes de começar a unidade, meça seu ponto de partida. É uma autoavaliação breve: não recebe nota e seu resultado fica guardado apenas no seu navegador.
Pergunta 1Qual é o conjunto imagem da função ?
Transladou-se o conjunto imagem de sem levar em conta o sinal de menos, que reflete o gráfico em relação ao eixo e converte os valores positivos em negativos.É o que se obtém ao tomar como cota o valor em , que é ; mas a função é decrescente, e para negativo assume valores maiores que , cada vez mais próximos de .A exponencial não assume valores negativos nem o zero, de modo que nunca alcança o valor nem o supera.A potência assume todos os valores positivos, e somente eles; ao trocar o sinal, obtêm-se todos os negativos, e ao somar , todos os reais menores que . A reta é uma assíntota horizontal que o gráfico não alcança.Pergunta 2Calcular .
Resposta correta:
Pelo teorema da potência de uma potência, que vale para expoentes reais, o resultado é . Quem obtém somou os expoentes em vez de multiplicá-los, porque ; quem obtém cometeu, além disso, um segundo erro, o de somar os radicandos, como se fosse .Pergunta 3Um capital de é aplicado a uma taxa anual de por cento, isto é, , capitalizada vezes ao ano. Qual é o supremo dos capitais ao fim de um ano?
É o supremo para . Ao duplicar a taxa, o supremo não se mantém: passa de a .A taxa não multiplica o supremo, mas é seu expoente: , e não . Por exemplo, com o capital já vale , mais de , e supera , que é menor que .A sequência é crescente, mas é limitada: pela desigualdade , cada termo é menor que . Uma sequência crescente e limitada tem supremo pela completude.Pelo teorema da capitalização contínua, o supremo dos termos é , e nenhum deles o alcança; com , é .Revisar: O número e e a exponencial natural
Pergunta 4Com , que cota superior do erro o teorema do erro da série fornece?
Resposta correta:
O teorema fornece , e com a cota é . Quem obtém tomou o primeiro termo omitido, , que é menor que o erro; quem obtém esqueceu o fator .Revisar: O número e e a exponencial natural
Pergunta 5Calcular .
Resposta correta:
Como e , pela mudança de base ; de fato, . Quem obtém inverteu o quociente, e quem obtém dividiu por .Pergunta 6Quais são as soluções reais da equação ?
A raiz do trinômio não dá : daria , que não tem solução. O valor não anula o primeiro membro.São as raízes do trinômio em , não os valores de . Falta desfazer a mudança de variável e descartar a raiz negativa.O trinômio tem uma raiz positiva, , que corresponde a ; de fato, .Com , a equação é . A raiz é descartada, porque uma potência de base positiva não é negativa, e dá .Pergunta 7Resolver a equação .
Resposta correta:
No domínio, , a propriedade do produto dá , isto é, . O candidato é uma solução estranha, fora do domínio; a única solução é , e de fato .Pergunta 8Um isótopo radioativo tem uma meia-vida de dias. Que fração da massa inicial resta ao fim de dias?
Resposta correta:
Pelo teorema da meia-vida, a massa é ; ao fim de dias passaram-se três meias-vidas, e resta . Quem obtém dividiu pelo número de meias-vidas em vez de dividir por tantas vezes.Pergunta 9As contagens de uma cultura de bactérias, registradas em um gráfico semilogarítmico, ficam alinhadas, e a reta passa pelos pontos que correspondem a bactérias às horas e a bactérias às horas. Quantas bactérias havia, segundo o modelo, no início da cultura?
Resposta correta:
Os dados alinhados no gráfico semilogarítmico seguem um modelo , pelo teorema da linearização. Em horas a contagem é multiplicada por , de modo que dobra a cada horas; recuar horas a partir das divide a contagem por : . Quem obtém um número negativo prolongou a reta que une os dados na escala comum, como se o crescimento fosse linear; quem obtém recuou horas em vez de .Pergunta 10Se e , quanto vale ?
Resposta correta:
Pela identidade fundamental, , e como o seno hiperbólico é positivo: . Quem obtém subtraiu sem elevar ao quadrado; quem obtém esqueceu o sinal do seno hiperbólico para .Revisar: As funções hiperbólicas
Pergunta 11De unidades anterioresCalcular .
Resposta correta:
Pela definição da potência de expoente racional, , e o expoente negativo dá o inverso: . Quem obtém multiplicou a base pelo expoente, e quem obtém esqueceu o sinal do expoente.Pergunta 12De unidades anterioresQual é o supremo do conjunto dos números , com natural?
Confunde-se o supremo com o máximo. O supremo é a menor das cotas superiores, e pode não pertencer ao conjunto; a completude garante que ele existe para todo conjunto não vazio limitado superiormente.É o menor elemento, que se obtém com : o mínimo do conjunto, não seu supremo.É o elemento que corresponde a , mas não é cota superior: com obtém-se , que o supera.Todo elemento é menor que , de modo que é uma cota superior; e nenhum número o é, porque assim que . A menor cota superior é , embora não pertença ao conjunto.Pergunta 13De unidades anterioresQuais são as assíntotas da hipérbole ?
Inverteu-se o quociente: o coeficiente angular é , com o semieixo associado a . São as assíntotas de .Tomaram-se os quadrados dos semieixos em vez dos semieixos: de segue-se , extraindo raízes.São as retas verticais que passam pelos vértices; a hipérbole as toca neles, e não se aproxima delas indefinidamente.Com e , as assíntotas de são as retas , que resultam de igualar a zero o primeiro membro.Revisar: A equação da hipérbole e sua dedução
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