Le sezioni coniche: caratterizzazione e grafico

Riepilogo

Questa lezione riunisce in una sola teoria le curve studiate nelle lezioni anteriori. Presenta le sezioni coniche come le curve che si ottengono tagliando un cono doppio con un piano, ne richiama le forme canoniche e mostra che ogni equazione di secondo grado senza termine in $xy$ rappresenta una parabola, un’ellisse, un’iperbole o uno dei loro casi degeneri: un punto, una o due rette, o nessun punto. Completare i quadrati basta per decidere quale curva sia e per leggerne il centro o il vertice, i semiassi e i fuochi. Si conclude con l’eccentricità, che riunisce le tre curve in una sola definizione mediante un fuoco e una direttrice, e con l’intersezione di coniche e rette.

Obiettivi di apprendimento

Riconoscere le sezioni coniche come tagli di un cono doppio con un piano, compresi i loro casi degeneri.
Ricondurre un’equazione di secondo grado senza termine in $xy$ alla sua forma canonica completando i quadrati, e decidere dai segni dei suoi coefficienti quale curva rappresenta.
Ricavare il centro o il vertice, i semiassi, i fuochi, la direttrice e gli asintoti di una conica data mediante la sua equazione generale, e tracciarne il grafico.
Usare l’eccentricità per descrivere le coniche come luoghi geometrici, e il discriminante per studiarne le intersezioni con le rette.

Le sezioni coniche

Si consideri un cono doppio: la superficie generata da una retta, la generatrice, che ruota attorno a un’altra retta, l’asse, da essa incontrata in un punto fisso, il vertice del cono. La superficie ha due falde, una da ciascun lato del vertice. Se la si taglia con un piano che non passa per il vertice, la curva che ne risulta dipende dall’angolo che il piano forma con l’asse, confrontato con l’angolo che ogni generatrice forma con l’asse.

Se il piano è perpendicolare all’asse, la curva è una circonferenza.
Se il piano forma con l’asse un angolo maggiore di quello della generatrice, taglia tutte le generatrici di una sola falda e la curva è un’ellisse, chiusa.
Se il piano forma con l’asse lo stesso angolo della generatrice, cioè se è parallelo a una generatrice, taglia una sola falda e la curva è una parabola, aperta.
Se il piano forma con l’asse un angolo minore di quello della generatrice, taglia entrambe le falde e la curva è un’iperbole, con due rami.

Se il piano passa per il vertice del cono, l’intersezione si riduce a un punto, a una retta (una generatrice) o a due rette che si incontrano nel vertice. Questi sono i casi degeneri, e ricompariranno più avanti come soluzioni di certe equazioni di secondo grado, insieme con altri due che non si ottengono tagliando un cono: la coppia di rette parallele, che si ottiene tagliando un cilindro, e l’insieme vuoto. Ora, la circonferenza non è una quarta famiglia, ma l’ellisse che corrisponde alla posizione perpendicolare del piano.

Che le curve ottenute tagliando il cono coincidano con quelle che le lezioni anteriori hanno definito mediante i fuochi è il teorema di Dandelin. La sua dimostrazione esula da questo corso, perché richiede geometria dello spazio (le sfere inscritte nel cono e tangenti al piano di taglio, i cui punti di contatto con il piano sono i fuochi); per questo qui i tagli del cono servono solo da immagine, e le definizioni che si usano sono quelle basate sulle distanze.