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Topos Uranos
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Disequazioni nel piano e programmazione lineare

Riepilogo

Questa lezione porta nel piano lo studio delle disequazioni. Dimostra che una retta divide il piano in due semipiani, in ciascuno dei quali l’espressione lineare che la definisce conserva il segno, e ne ricava il metodo del punto di prova. Descrive la regione delle soluzioni di un sistema di disequazioni lineari come un’intersezione di semipiani, con i suoi vertici, e dimostra che è convessa; studia poi le regioni delimitate da coniche. Si conclude con la programmazione lineare, cioè la ricerca del massimo o del minimo di una funzione lineare su una regione poligonale, il cui teorema fondamentale assicura che in un poligono convesso limitato entrambi sono raggiunti in vertici e che, in una regione illimitata con almeno un vertice, ogni ottimo che esista è raggiunto anche in uno di essi, e con problemi di produzione, di dieta e di trasporto.

Obiettivi di apprendimento

  1. Rappresentare l’insieme delle soluzioni di una disequazione lineare in due variabili come un semipiano, aperto o chiuso, mediante un punto di prova.
  2. Determinare la regione delle soluzioni di un sistema di disequazioni lineari, i suoi vertici e il suo carattere limitato o illimitato, e giustificarne la convessità.
  3. Descrivere mediante disuguaglianze regioni delimitate da rette e coniche, e rappresentare le regioni così descritte.
  4. Impostare e risolvere problemi di programmazione lineare in due variabili con il teorema dei vertici e le rette di livello, distinguendo l’ottimo unico, gli ottimi multipli e l’assenza di ottimo.

I semipiani

Nella lezione sull’equazione della retta si è visto che ogni retta è l’insieme dei punti che soddisfano un’equazione Ax+By+C=0Ax + By + C = 0, con AA e BB non entrambi nulli: se B≠0B \neq 0, si ricava y=−ABx−CBy = -\frac{A}{B}x - \frac{C}{B}, retta di coefficiente angolare −AB-\frac{A}{B}; se B=0B = 0, l’equazione si riduce a x=−CAx = -\frac{C}{A}, retta verticale. Se al posto dell’uguaglianza si chiede una disuguaglianza, l’insieme delle soluzioni smette di essere una curva e diventa una regione. Nella lezione sulle equazioni e disequazioni di primo grado, una disequazione lineare in un’incognita aveva per soluzione un intervallo della retta reale; con due incognite, la soluzione è un semipiano.

Siano rr una retta non verticale e P=(x0,y0)P = (x_0, y_0) un punto. Diremo che PP sta sopra rr se y0y_0 è maggiore dell’ordinata del punto di rr di ascissa x0x_0, e sotto se è minore. Se rr è verticale, si parla allo stesso modo dei punti situati alla sua destra e alla sua sinistra. Ciascuno di questi due insiemi è un semipiano aperto di bordo rr; se gli si aggiunge la retta, è un semipiano chiuso.

TeoremaI semipiani

Sia rr la retta Ax+By+C=0Ax + By + C = 0, con AA e BB non entrambi nulli, e sia E(x,y)=Ax+By+CE(x, y) = Ax + By + C. L’espressione EE ha segno costante su ciascuna banda di rr: è positiva in tutti i punti di uno dei due semipiani aperti e negativa in tutti quelli dell’altro. Più precisamente, se B>0B > 0, è positiva sopra rr e negativa sotto; se B<0B < 0, il contrario; e se B=0B = 0, è positiva a destra di rr quando A>0A > 0, e alla sua sinistra quando A<0A < 0.

Dimostrazione

  1. Ax0+By1+C=0\dato{q}{A x_0 + B y_1 + C = 0}

    Sia P=(x0,y0)P = (x_0, y_0) un punto che non sta su rr, e supponiamo prima B≠0B \neq 0. La retta verticale passante per PP interseca rr in un unico punto Q=(x0,y1)Q = (x_0, y_1), la cui ordinata si ottiene ricavando yy dall’equazione di rr; il punto QQ soddisfa tale equazione.

  2. E(x0,y0)=(Ax0+By0+C)−(Ax0+By1+C)=B⋅(y0−y1)E(x_0, y_0) = \resaltar{(A x_0 + B y_0 + C) - (A x_0 + B y_1 + C)} = \dato{dif}{\resaltar{B \cdot (y_0 - y_1)}}

    Sottraiamo questo zero dal valore di EE in PP: i termini in x0x_0 e le costanti si cancellano, e resta un prodotto.

  3. B>0→(E(x0,y0)>0↔y0>y1)B > 0 \rightarrow \left( E(x_0, y_0) > 0 \leftrightarrow y_0 > y_1 \right)

    Se B>0B > 0, per la regola dei segni studiata nella lezione sulle tabelle dei segni e disequazioni, il prodotto ha il segno di y0−y1y_0 - y_1: è positivo quando PP sta sopra rr e negativo quando sta sotto.

  4. B<0→(E(x0,y0)>0↔y0<y1)B < 0 \rightarrow \left( E(x_0, y_0) > 0 \leftrightarrow y_0 < y_1 \right)

    Se B<0B < 0, il prodotto ha il segno opposto a quello di y0−y1y_0 - y_1: l’espressione è negativa sopra rr e positiva sotto.

  5. E(x0,y0)=(Ax0+C)−(Ax1+C)=A⋅(x0−x1)E(x_0, y_0) = \resaltar{(A x_0 + C) - (A x_1 + C)} = \resaltar{A \cdot (x_0 - x_1)}

    Se B=0B = 0, allora A≠0A \neq 0 e rr è la retta verticale x=x1x = x_1, con x1=−CAx_1 = -\frac{C}{A}. Si ripete il calcolo con il punto di rr che ha l’ordinata di PP.

  6. A>0→(E(x0,y0)>0↔x0>x1)A > 0 \rightarrow \left( E(x_0, y_0) > 0 \leftrightarrow x_0 > x_1 \right)

    Se A>0A > 0, l’espressione è positiva esattamente quando x0>x1x_0 > x_1, cioè a destra di rr; se A<0A < 0, alla sua sinistra. In tutti i casi il segno di EE in un punto dipende solo dalla banda di rr in cui si trova il punto.

Il teorema dice più di quanto si usi in pratica: non occorre ricordare quale segno corrisponda a ciascuna banda, perché basta conoscere il segno di EE in un solo punto di una banda per conoscerlo in tutti. Questo è il metodo del punto di prova.

Per rappresentare una disequazione Ax+By+C>0Ax + By + C > 0, o con <<, ≥\ge o ≤\le, si traccia la retta Ax+By+C=0Ax + By + C = 0 e si calcola il valore dell’espressione in un punto di prova che non stia su di essa, di solito l’origine. Se il punto soddisfa la disequazione, l’insieme delle soluzioni è il semipiano che lo contiene; se non la soddisfa, è l’altro. Se la disuguaglianza è stretta, la retta non appartiene all’insieme delle soluzioni e si disegna con linea discontinua; se non lo è, vi appartiene e si disegna con linea continua.
EsempioUn semipiano con il punto di prova

Rappresentare l’insieme delle soluzioni della disequazione 2x−3y+6>02x - 3y + 6 > 0.

Dimostrazione

  1. 2x−3y+6=0,(0,2),(−3,0)2x - 3y + 6 = 0, \quad (0, 2), \quad (-3, 0)

    Tracciamo la retta di frontiera mediante le sue intersezioni con gli assi: con x=0x = 0 si ottiene y=2y = 2, e con y=0y = 0 si ottiene x=−3x = -3.

  2. 2⋅0−3⋅0+6=6>02 \cdot 0 - 3 \cdot 0 + 6 = \resaltar{6} > 0

    L’origine non sta sulla retta. Vi calcoliamo il valore dell’espressione: è positivo, quindi l’origine soddisfa la disequazione.

  3. 2x−3y+6>0↔y<23x+22x - 3y + 6 > 0 \leftrightarrow \resaltar{y < \frac{2}{3}x + 2}

    L’insieme delle soluzioni è il semipiano che contiene l’origine. Il teorema lo conferma: poiché B=−3<0B = -3 < 0, l’espressione è positiva sotto la retta.

  4. 2⋅(−3)−3⋅0+6=02 \cdot (-3) - 3 \cdot 0 + 6 = \resaltar{0}

    La disuguaglianza è stretta: i punti della retta, come (−3,0)(-3, 0), annullano l’espressione e non la soddisfano. La frontiera resta esclusa e si disegna con linea discontinua.