Geometria analitica del piano: sintesi e sfide

Riepilogo

Questa lezione chiude l’unità dedicata alla geometria analitica del piano. Riunisce in una catena deduttiva ciò che è stato dimostrato nelle sue nove lezioni, dalla formula della distanza fino al teorema dei vertici della programmazione lineare; mostra come l’unità poggi su quelle precedenti, in particolare sul completamento del quadrato, sul discriminante e sulle tabelle dei segni, e come prepari l’unità che segue, le cui funzioni trascendenti descrivono di nuovo l’iperbole. Propone poi una valutazione d’uscita, parallela a quella d’ingresso, e termina con dieci sfide, di difficoltà superiore a quella dei problemi proposti nelle lezioni, che richiedono di combinarne diverse e di trovare in ogni caso l’idea che apre la strada.

Obiettivi di apprendimento

Enunciare i risultati principali dell’unità e spiegare come ciascuno dipenda da quelli che lo precedono.
Mettere in relazione i metodi dell’unità con quelli delle unità precedenti e con quelli dell’unità che segue.
Risolvere problemi che combinano rette, vettori, coniche e disuguaglianze, scegliendo tra la definizione metrica di una curva, la sua equazione e il discriminante lo strumento più efficace.
Tradurre in equazioni condizioni di minimo, di tangenza e di luogo geometrico, e verificare che l’equazione ottenuta descriva esattamente l’insieme cercato.

Ciò che l’unità ha ottenuto

Le coordinate, la retta e i vettori

L’unità è cominciata con una sola idea: identificare ogni punto del piano con la coppia delle sue coordinate. Ne è seguito, nella lezione sull’equazione della retta, che la distanza tra due punti è una conseguenza del teorema di Pitagora e che il coefficiente angolare di una retta non dipende dai punti con cui lo si calcola, per la similitudine dei triangoli. Questi due teoremi, con la libera scelta degli assi, l’uguaglianza degli angoli corrispondenti tra parallele, la somma degli angoli di un triangolo e gli angoli del triangolo isoscele, sono i fatti della geometria euclidea che l’unità ammette esplicitamente all’inizio, perché la loro dimostrazione appartiene alla costruzione assiomatica di quella geometria. Dall’invarianza del coefficiente angolare si è dedotto che i punti di una retta sono esattamente le soluzioni di un’equazione $Ax + By + C = 0$ ; da un calcolo con le equazioni di due rette, che due rette non verticali sono parallele se e solo se hanno lo stesso coefficiente angolare; dal teorema di Pitagora e dal suo inverso, con l’uguaglianza degli angoli corrispondenti, che sono perpendicolari se e solo se il prodotto dei loro coefficienti angolari è $-1$ ; e dal teorema di Pitagora, che la perpendicolare condotta da un punto è il cammino più breve fino alla retta.

La lezione sui vettori nel piano ha riformulato questi risultati senza dipendere dalla scelta degli assi. I vettori, con la loro somma e il loro prodotto per uno scalare, soddisfano gli otto assiomi di spazio vettoriale; il prodotto scalare decide la perpendicolarità mediante la condizione $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ , che non esclude più le rette verticali, e fornisce la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, la disuguaglianza triangolare e la proiezione ortogonale. Se ne sono ricavati l’equazione vettoriale della retta, il vettore normale $\left( A, B \right)$ della retta $Ax + By + C = 0$ e la formula della distanza di un punto da una retta, che ricompare in quasi tutte le lezioni seguenti:

\operatorname{d}(P, r) = \frac{\abs{A x_1 + B y_1 + C}}{\sqrt{A^2 + B^2}}

Le coniche definite mediante distanze

Le cinque lezioni venute dopo hanno applicato uno stesso metodo a quattro curve: definire la curva mediante una proprietà di distanze, tradurla in un’equazione elevando al quadrato e dimostrare poi il viceversa, perché elevare al quadrato può aggiungere punti estranei. La lezione sull’equazione delle parabole ha definito la parabola mediante un fuoco e una direttrice, ha dimostrato che i grafici dei trinomi di secondo grado sono esattamente le parabole con asse verticale e ne ha stabilito la proprietà di riflessione; quella sulla caratterizzazione delle parabole ha ottenuto, completando il quadrato, i loro elementi in funzione dei coefficienti, e ha dimostrato che il vertice è il punto estremo e che il discriminante decide le intersezioni con l’asse orizzontale.

La lezione su ellissi e circonferenze ha definito l’ellisse mediante la somma costante $2a$ delle distanze da due fuochi, ne ha dedotto l’equazione ridotta con $b^2 = a^2 - c^2$ e ha dimostrato che le distanze di ogni punto dai fuochi sono $a + ex$ e $a - ex$ ; la circonferenza si è rivelata l’ellisse con fuochi coincidenti. La lezione sulla circonferenza ha misurato la posizione di un punto mediante la sua potenza, ha deciso quella di una retta confrontando con il raggio la distanza del centro, ha dimostrato che la tangente è perpendicolare al raggio, ha classificato le sei posizioni di due circonferenze mediante il loro asse radicale e ha dimostrato il teorema della potenza di un punto, dal quale seguono il teorema delle corde, quello della secante e della tangente e quello del centro radicale. La lezione sulle iperboli ha sostituito la somma con la differenza, con $c^2 = a^2 + b^2$ , ha studiato gli asintoti, ha dimostrato che il grafico di $y = \frac{1}{x}$ è un’iperbole equilatera e ha mostrato che una retta parallela a un asintoto taglia l’iperbole in un solo punto senza esserle tangente.

La teoria unificata e le disuguaglianze

La lezione sulle sezioni coniche ha riunito le quattro curve in un’unica teoria. Ogni equazione $Ax^2 + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$ rappresenta, secondo il segno di $AC$ e quello del secondo membro $G$ che lascia il completamento dei quadrati, un’ellisse, un’iperbole, una parabola o uno dei loro casi degeneri; e il teorema del fuoco e della direttrice descrive l’ellisse, la parabola e l’iperbole come i luoghi in cui il rapporto tra la distanza da un fuoco e la distanza da una direttrice è un numero fisso $e$ , minore, uguale o maggiore di $1$ .

L’ultima lezione, sulle disequazioni nel piano e la programmazione lineare, è passata dalle uguaglianze alle disuguaglianze. Il teorema dei semipiani assicura che l’espressione $Ax + By + C$ conserva il suo segno in ciascuna banda della retta, da cui il metodo del punto di prova; le regioni definite da disequazioni lineari sono convesse, perché un’espressione lineare varia lungo un segmento tra i suoi valori negli estremi; un’espressione di secondo grado che non si annulla su un segmento vi conserva il suo segno, e per questo il metodo del punto di prova vale anche per le regioni delimitate da coniche; e una funzione lineare raggiunge il suo massimo e il suo minimo su un poligono convesso limitato in uno dei suoi vertici. Se la regione non è limitata, l’ottimo può non esistere, e anche quando esiste può non essere raggiunto in un vertice, come in una striscia; ma se la regione ha qualche vertice, cioè se non contiene rette intere, ogni ottimo che esista è raggiunto anche in uno di essi.

Tre strumenti attraversano tutta l’unità. Il primo è la formula della distanza, su cui poggiano tutte le definizioni di curve. Il secondo è il completamento del quadrato, che porta ogni equazione di secondo grado alla forma in cui se ne leggono gli elementi. Il terzo è il discriminante, che decide per tutte le coniche se una retta le taglia in due punti, in uno o in nessuno, e che, con la cautela delle rette parallele all’asse della parabola o agli asintoti dell’iperbole, caratterizza le tangenti senza ricorrere ai limiti.

La figura seguente riunisce i tre tratti in un’unica catena. Ogni nodo della colonna è una definizione o un teorema, numerato secondo l’ordine logico e unito da un arco agli anelli anteriori che la sua dimostrazione usa; intorno fluttuano i sostegni, cioè i principi e gli strumenti a cui la catena ricorre più e più volte, ciascuno unito da una linea continua agli anelli che si appoggiano su di esso e da una linea punteggiata all’anello in cui viene stabilito, tranne quelli che si ammettono o provengono da unità anteriori, che sono disegnati come cerchietti vuoti. Facendo clic su un sostegno si evidenziano tutti gli anelli che lo usano, e ogni anello rimanda alla lezione in cui viene dimostrato.

Sostegni della catena

AGeometria euclidea. Si ammettono, all’inizio dell’unità, la libera scelta degli assi, il teorema di Pitagora e il suo inverso, l’uguaglianza degli angoli corrispondenti tra parallele, il teorema di Talete e la similitudine dei triangoli, la somma degli angoli di un triangolo e l’uguaglianza degli angoli opposti ai lati uguali di un triangolo isoscele. Ammesso senza dimostrazione in questa unità.
BFormula della distanza. La distanza tra $(x_1, y_1)$ e $(x_2, y_2)$ è $\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ ; su di essa poggiano tutte le definizioni di curve dell’unità. Stabilito in: 1. Distanza e punto medio.
CEquazione generale della retta. I punti di ogni retta sono esattamente le soluzioni di un’equazione $Ax + By + C = 0$ , con $A$ e $B$ non entrambi nulli. Stabilito in: 2. Equazione della retta.
DDistanza di un punto da una retta. La distanza del punto $(x_1, y_1)$ dalla retta $Ax + By + C = 0$ è $\frac{\abs{A x_1 + B y_1 + C}}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ . Stabilito in: 10. Distanza di un punto da una retta.
ECompletamento del quadrato. Vale $ax^2 + bx + c = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{\Delta}{4a}$ , con $\Delta = b^2 - 4ac$ ; dimostrato nell’unità sulle funzioni algebriche. Ammesso senza dimostrazione in questa unità.
FDiscriminante. Un’equazione di secondo grado ha due radici, una doppia o nessuna a seconda che il suo discriminante sia positivo, nullo o negativo, e senza radici il polinomio conserva il segno del suo coefficiente direttivo; dimostrato nell’unità sulle funzioni algebriche. Ammesso senza dimostrazione in questa unità.
GTraslazione di grafici. Sostituire $x$ con $x - h$ e $y$ con $y - k$ trasla un grafico di $h$ unità in orizzontale e di $k$ in verticale; dimostrato nell’unità sulle funzioni algebriche. Ammesso senza dimostrazione in questa unità.
HRegola dei segni. Un prodotto di due fattori è positivo se hanno lo stesso segno e negativo se hanno segni opposti; è il fondamento delle tabelle dei segni dell’unità sulle funzioni algebriche. Ammesso senza dimostrazione in questa unità.

Tratto 1 Le coordinate, la retta e i vettori
- Ottenere dal teorema di Pitagora la distanza tra due punti e il punto medio di un segmento.
- Dimostrare che i punti di una retta sono esattamente le soluzioni di un’equazione di primo grado, e caratterizzare il parallelismo e la perpendicolarità mediante i coefficienti angolari.
- Dotare i vettori del piano della somma, del prodotto per uno scalare, della norma e del prodotto scalare, e dedurne la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, la disuguaglianza triangolare e la proiezione ortogonale.
- Ottenere l’equazione vettoriale della retta, il suo vettore normale e la distanza di un punto da una retta.
1. Distanza e punto medio. La distanza tra $P_1 = (x_1, y_1)$ e $P_2 = (x_2, y_2)$ è $\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ , e il punto $\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$ divide il segmento in due metà uguali.
  Si appoggia su: A (Geometria euclidea). Dimostrato in: L’equazione della retta e i sistemi cartesiani.
2. Equazione della retta. Il coefficiente angolare non dipende dai punti con cui lo si calcola, e un punto sta sulla retta di coefficiente angolare $m$ che passa per $(x_0, y_0)$ se e solo se $y - y_0 = m(x - x_0)$ ; ne segue che ogni retta ha un’equazione $Ax + By + C = 0$ .
  Si appoggia su: A (Geometria euclidea). Dimostrato in: L’equazione della retta e i sistemi cartesiani.
3. Parallele e perpendicolari. Due rette non verticali distinte sono parallele se e solo se hanno lo stesso coefficiente angolare, e perpendicolari se e solo se il prodotto dei loro coefficienti angolari è $-1$ .
  Usa: 2. Equazione della retta. Si appoggia su: A (Geometria euclidea), B (Formula della distanza). Dimostrato in: L’equazione della retta e i sistemi cartesiani.
4. La perpendicolare è il cammino più breve. Se $Q$ è il piede della perpendicolare condotta da $P$ alla retta $r$ , ogni altro punto $R$ di $r$ soddisfa $d(P, R) > d(P, Q)$ .
  Usa: 3. Parallele e perpendicolari. Si appoggia su: A (Geometria euclidea), B (Formula della distanza). Dimostrato in: L’equazione della retta e i sistemi cartesiani.
5. Operazioni con i vettori. La somma di vettori e il prodotto per uno scalare soddisfano gli otto assiomi di spazio vettoriale, e due vettori non nulli con $u_1 v_2 - u_2 v_1 \neq 0$ generano ogni vettore del piano in un unico modo.
  Dimostrato in: Vettori nel piano ed equazioni parametriche della retta.
6. Prodotto scalare e perpendicolarità. Il prodotto scalare $\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2$ è commutativo e distributivo, soddisfa $\vec{u} \cdot \vec{u} = {\norma{\vec{u}}}^2$ , e due vettori sono perpendicolari se e solo se $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ .
  Usa: 5. Operazioni con i vettori. Si appoggia su: A (Geometria euclidea), B (Formula della distanza). Dimostrato in: Vettori nel piano ed equazioni parametriche della retta.
7. Cauchy-Schwarz e disuguaglianza triangolare. Vale $\abs{\vec{u} \cdot \vec{v}} \le \norma{\vec{u}} \norma{\vec{v}}$ , da cui $\norma{\vec{u} + \vec{v}} \le \norma{\vec{u}} + \norma{\vec{v}}$ e, per tre punti, $d(P, R) \le d(P, Q) + d(Q, R)$ .
  Usa: 6. Prodotto scalare e perpendicolarità. Si appoggia su: F (Discriminante). Dimostrato in: Vettori nel piano ed equazioni parametriche della retta.
8. Proiezione ortogonale. Se $\vec{v}$ non è nullo, esiste un unico numero $t$ tale che $\vec{u} - t \vec{v}$ sia perpendicolare a $\vec{v}$ , cioè $t = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{{\norma{\vec{v}}}^2}$ .
  Usa: 6. Prodotto scalare e perpendicolarità. Dimostrato in: Vettori nel piano ed equazioni parametriche della retta.
9. Equazione vettoriale e vettore normale. I punti della retta che passa per $P_0$ con vettore direttore $\vec{d}$ sono i punti $P_0 + t \vec{d}$ , ciascuno con un unico parametro $t$ ; e $\vec{n} = \left( A, B \right)$ è perpendicolare alla retta $Ax + By + C = 0$ , i cui punti sono i punti $P$ con $\vec{n} \cdot \vec{P_0 P} = 0$ .
  Usa: 2. Equazione della retta, 6. Prodotto scalare e perpendicolarità. Si appoggia su: C (Equazione generale della retta). Dimostrato in: Vettori nel piano ed equazioni parametriche della retta.
10. Distanza di un punto da una retta. La distanza di $(x_1, y_1)$ dalla retta $Ax + By + C = 0$ è $\frac{\abs{A x_1 + B y_1 + C}}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ , ed è raggiunta nel piede della perpendicolare.
  Usa: 4. La perpendicolare è il cammino più breve, 8. Proiezione ortogonale, 9. Equazione vettoriale e vettore normale. Si appoggia su: C (Equazione generale della retta). Dimostrato in: Vettori nel piano ed equazioni parametriche della retta.
Tratto 2 Le coniche definite mediante distanze
- Definire la parabola mediante un fuoco e una direttrice, ottenerne l’equazione e dimostrare che i grafici dei trinomi di secondo grado sono esattamente le parabole con asse verticale.
- Leggere, completando il quadrato, il vertice della parabola e decidere con il discriminante le sue intersezioni con l’asse orizzontale.
- Dedurre l’equazione ridotta dell’ellisse e quella fondamentale dell’iperbole, con la dimostrazione del viceversa, e riconoscere la circonferenza come l’ellisse con fuochi coincidenti.
- Studiare la posizione di una retta e di un’altra circonferenza rispetto a una circonferenza, e dimostrare il teorema della potenza di un punto.
- Caratterizzare le tangenti alle coniche mediante il discriminante, con la cautela delle rette parallele all’asse o agli asintoti, ed esaminare separatamente le rette verticali.
1. Equazione della parabola. I punti equidistanti dal fuoco $(h, k + f)$ e dalla direttrice $y = k - f$ sono esattamente quelli della curva $(x - h)^2 = 4f(y - k)$ , simmetrica rispetto al suo asse $x = h$ .
  Si appoggia su: B (Formula della distanza), G (Traslazione di grafici). Dimostrato in: L’equazione della parabola: definizioni e proprietà.
2. Parabola e trinomio di secondo grado. I grafici di $y = ax^2 + bx + c$ , con $a \neq 0$ , sono esattamente le parabole con asse verticale, con $f = \frac{1}{4a}$ , il cui valore assoluto è la distanza focale.
  Usa: 11. Equazione della parabola. Si appoggia su: E (Completamento del quadrato). Dimostrato in: L’equazione della parabola: definizioni e proprietà.
3. Proprietà di riflessione. La tangente in un punto $P$ della parabola forma angoli uguali con la parallela all’asse condotta per $P$ e con la retta che unisce $P$ al fuoco.
  Usa: 11. Equazione della parabola. Si appoggia su: A (Geometria euclidea), B (Formula della distanza), F (Discriminante). Dimostrato in: L’equazione della parabola: definizioni e proprietà.
4. Vertice e intersezioni con l’asse. Il vertice di $y = ax^2 + bx + c$ è $\left(-\frac{b}{2a}, -\frac{\Delta}{4a}\right)$ , il suo punto più basso se $a > 0$ e il più alto se $a < 0$ , e la parabola taglia l’asse $x$ in due punti, in uno o in nessuno a seconda che $\Delta$ sia positivo, nullo o negativo.
  Usa: 12. Parabola e trinomio di secondo grado. Si appoggia su: E (Completamento del quadrato), F (Discriminante). Dimostrato in: Caratterizzazione delle parabole e loro grafici.
5. Equazione ridotta dell’ellisse. Con $b^2 = a^2 - c^2$ , l’ellisse di fuochi $(\pm c, 0)$ e somma delle distanze $2a$ è esattamente la curva $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ , e le distanze di ogni punto dai fuochi sono $a + \frac{c}{a} x$ e $a - \frac{c}{a} x$ .
  Si appoggia su: B (Formula della distanza). Dimostrato in: L’equazione dell’ellisse e della circonferenza.
6. Equazione della circonferenza. La circonferenza di centro $(h, k)$ e raggio $r$ è la curva $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ , ed è l’ellisse i cui due fuochi coincidono con il centro.
  Usa: 15. Equazione ridotta dell’ellisse. Si appoggia su: B (Formula della distanza), G (Traslazione di grafici). Dimostrato in: L’equazione dell’ellisse e della circonferenza.
7. Tangenza all’ellisse. Una retta non verticale è tangente all’ellisse se e solo se il discriminante dell’equazione che risulta dal sostituirla è nullo; se è positivo, la retta la taglia in due punti, e se è negativo, non la tocca. Le uniche tangenti verticali sono $x = a$ e $x = -a$ .
  Usa: 15. Equazione ridotta dell’ellisse. Si appoggia su: F (Discriminante). Dimostrato in: L’equazione dell’ellisse e della circonferenza.
8. Posizione di una retta. Se $\delta$ è la distanza del centro da una retta, questa non tocca la circonferenza se $\delta > r$ , la tocca solo nel piede della perpendicolare se $\delta = r$ e la taglia in due punti se $\delta < r$ .
  Usa: 4. La perpendicolare è il cammino più breve, 16. Equazione della circonferenza. Si appoggia su: A (Geometria euclidea), D (Distanza di un punto da una retta), F (Discriminante). Dimostrato in: La circonferenza: tangenti, posizioni reciproche e potenza.
9. La tangente è perpendicolare al raggio. Una retta che passa per un punto $T$ della circonferenza è tangente se e solo se è perpendicolare al raggio che unisce il centro con $T$ ; per ogni punto passa una sola tangente.
  Usa: 3. Parallele e perpendicolari, 4. La perpendicolare è il cammino più breve, 18. Posizione di una retta. Dimostrato in: La circonferenza: tangenti, posizioni reciproche e potenza.
10. Asse radicale e posizioni reciproche. I punti di uguale potenza rispetto a due circonferenze di centri distinti formano una retta perpendicolare alla retta dei centri, ed entrambe hanno due punti comuni se $\abs{r_1 - r_2} < d < r_1 + r_2$ , uno se $d$ è uguale a uno di quegli estremi, nel qual caso, salvo quello di contatto, i punti della minore restano dentro la maggiore nella tangenza interna e quelli di ciascuna fuori dall’altra in quella esterna, e nessuno negli altri casi.
  Usa: 3. Parallele e perpendicolari, 7. Cauchy-Schwarz e disuguaglianza triangolare, 16. Equazione della circonferenza, 18. Posizione di una retta. Si appoggia su: C (Equazione generale della retta), D (Distanza di un punto da una retta). Dimostrato in: La circonferenza: tangenti, posizioni reciproche e potenza.
11. Potenza di un punto. Se una retta che passa per $P$ taglia la circonferenza in $A$ e $B$ , vale $d(P, A) \cdot d(P, B) = \abs{p}$ , con $p = d^2 - r^2$ ; e da un punto esterno escono esattamente due tangenti, entrambe di lunghezza $\sqrt{p}$ .
  Usa: 18. Posizione di una retta, 19. La tangente è perpendicolare al raggio, 20. Asse radicale e posizioni reciproche. Si appoggia su: A (Geometria euclidea). Dimostrato in: La circonferenza: tangenti, posizioni reciproche e potenza.
12. Equazione dell’iperbole. Con $b^2 = c^2 - a^2$ , l’iperbole di fuochi $(\pm c, 0)$ e differenza delle distanze $2a$ è esattamente la curva $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ , i cui rami si avvicinano agli asintoti $y = \pm \frac{b}{a} x$ .
  Si appoggia su: B (Formula della distanza). Dimostrato in: L’equazione dell’iperbole e la sua deduzione.
13. Iperbole equilatera. Il grafico di $y = \frac{1}{x}$ è l’iperbole di fuochi $(\sqrt{2}, \sqrt{2})$ e $(-\sqrt{2}, -\sqrt{2})$ le cui distanze da essi differiscono di $2\sqrt{2}$ ; è equilatera e i suoi asintoti sono gli assi.
  Usa: 22. Equazione dell’iperbole. Si appoggia su: A (Geometria euclidea), B (Formula della distanza). Dimostrato in: L’equazione dell’iperbole e la sua deduzione.
14. Tangenza all’iperbole. Una retta non parallela agli asintoti è tangente all’iperbole esattamente quando il discriminante è nullo; una parallela a un asintoto, senza coincidere con esso, la taglia in un solo punto e la attraversa; e le uniche tangenti verticali sono $x = a$ e $x = -a$ .
  Usa: 22. Equazione dell’iperbole. Si appoggia su: F (Discriminante). Dimostrato in: L’equazione dell’iperbole e la sua deduzione.
Tratto 3 La teoria unificata e le disuguaglianze
- Classificare le equazioni $Ax^2 + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$ secondo il segno di $AC$ e secondo il secondo membro che lascia il completamento dei quadrati.
- Descrivere l’ellisse, la parabola e l’iperbole come luoghi di un fuoco e di una direttrice, secondo la loro eccentricità.
- Dimostrare che un’espressione lineare conserva il suo segno in ciascuna banda della sua retta e fondare su questo il metodo del punto di prova.
- Provare che le regioni definite da disequazioni lineari sono convesse, estendere il metodo del punto di prova alle coniche e dimostrare che una funzione lineare raggiunge i suoi valori estremi su un poligono convesso limitato in un vertice, e in un vertice anche su una regione illimitata con vertici quando quei valori esistono.
1. Equazione generale di secondo grado. Ogni equazione $Ax^2 + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$ , con $A$ e $C$ non entrambi nulli, rappresenta un’ellisse, un’iperbole o una parabola a seconda che $AC$ sia positivo, negativo o nullo, oppure uno dei loro casi degeneri, tra i quali decide il secondo membro $G$ che lascia il completamento dei quadrati.
  Usa: 11. Equazione della parabola, 15. Equazione ridotta dell’ellisse, 16. Equazione della circonferenza, 22. Equazione dell’iperbole. Si appoggia su: E (Completamento del quadrato), F (Discriminante), G (Traslazione di grafici). Dimostrato in: Le sezioni coniche: caratterizzazione e grafico.
2. Teorema del fuoco e della direttrice. I punti la cui distanza da un fuoco $F$ è $e$ volte la loro distanza da una direttrice $L$ formano un’ellisse se $e < 1$ , una parabola se $e = 1$ e un’iperbole se $e > 1$ .
  Usa: 11. Equazione della parabola, 15. Equazione ridotta dell’ellisse, 22. Equazione dell’iperbole, 25. Equazione generale di secondo grado. Si appoggia su: A (Geometria euclidea), B (Formula della distanza), E (Completamento del quadrato). Dimostrato in: Le sezioni coniche: caratterizzazione e grafico.
3. Direttrici dell’ellisse e dell’iperbole. Nell’ellisse e nell’iperbole di eccentricità $e = \frac{c}{a}$ , la distanza di ogni punto dal fuoco $(c, 0)$ è $e$ volte la sua distanza dalla retta $x = \frac{a}{e}$ ; la circonferenza, invece, non ha direttrice.
  Usa: 15. Equazione ridotta dell’ellisse, 22. Equazione dell’iperbole, 26. Teorema del fuoco e della direttrice. Dimostrato in: Le sezioni coniche: caratterizzazione e grafico.
4. Teorema dei semipiani. L’espressione $Ax + By + C$ è positiva in tutti i punti di una delle bande della retta $Ax + By + C = 0$ e negativa in tutti quelli dell’altra; ne segue il metodo del punto di prova.
  Si appoggia su: C (Equazione generale della retta), H (Regola dei segni). Dimostrato in: Disequazioni nel piano e programmazione lineare.
5. Espressioni lungo un segmento. Sul segmento di estremi $P$ e $Q$ , un’espressione lineare soddisfa $L(P_t) = (1 - t) L(P) + t L(Q)$ , cosicché le regioni delle soluzioni dei sistemi di disequazioni lineari sono convesse; e un’espressione di secondo grado che non si annulla su un segmento vi conserva il suo segno, cosicché ogni conica divide il piano in regioni, due o tre, nelle quali vale il metodo del punto di prova.
  Usa: 2. Equazione della retta, 28. Teorema dei semipiani, 7. Cauchy-Schwarz e disuguaglianza triangolare, 14. Vertice e intersezioni con l’asse. Si appoggia su: F (Discriminante), H (Regola dei segni). Dimostrato in: Disequazioni nel piano e programmazione lineare.
6. Teorema dei vertici. Una funzione $ax + by + c$ raggiunge il suo massimo e il suo minimo sulla regione, non vuota e limitata, di un sistema di disequazioni lineari non strette, e ciascuno in qualcuno dei suoi vertici; se la regione non è limitata ma ha un vertice, cioè se non contiene rette intere, ogni massimo o minimo che sia raggiunto è raggiunto anche in un vertice.
  Usa: 29. Espressioni lungo un segmento. Dimostrato in: Disequazioni nel piano e programmazione lineare.

Verso le funzioni trascendenti. La catena corona lo studio delle curve algebriche di grado uno e due. L’unità che segue esce dalle funzioni algebriche, ma l’iperbole vi ricompare: le aree sotto $y = \frac{1}{x}$ si comportano come logaritmi, e il punto $(\cosh t, \sinh t)$ percorre il ramo destro di $x^2 - y^2 = 1$ .