Español
English
Português
中文 (中国)
हिन्दी
Русский
Français
Deutsch
Ελληνικά
Italiano
日本語
한국어
Latineملخص
يفتتح هذا الدرس الوحدة المخصّصة للهندسة التحليلية في المستوى. فيقترح تقييم الدخول، ويعرض دروسها التسعة والخيط الذي يجمع بينها، من الإحداثيات ومعادلة المستقيم إلى القطوع المخروطية والبرمجة الخطية؛ ويستعرض تاريخ هذه الأفكار، من القطوع المخروطية في الهندسة اليونانية إلى هندسة الإحداثيات عند فيرما وديكارت وتطبيقها في علم الفلك والميكانيكا والاقتصاد؛ ويصوغ المسألة التي نشأت منها، وهي تحويل الخصائص الهندسية إلى معادلات والمعادلات إلى منحنيات، بمثال مضاعفة المكعب، ويشير إلى المواضع التي تُستعمل فيها من جديد في هذه الدورة، وفي دورات أخرى من الموقع، وفي العلم والتقنية.
أهداف التعلم
- وصف تسلسل محتويات الوحدة، وشرح ما يقدّمه كل درس للدروس اللاحقة.
- وضع دراسة القطوع المخروطية، ونشأة هندسة الإحداثيات، والبرمجة الخطية في سياقها التاريخي، مع أبرز أعلامها.
- ترجمة مسألة هندسية كلاسيكية، مثل مضاعفة المكعب، إلى نظام معادلات بين الإحداثيات، وتفسير حلولها بوصفها نقاط تقاطع منحنيات.
- التعرّف في موضوعات أخرى من الدورة وفي تخصصات أخرى على الأدوات التي تبنيها الوحدة.
تقييم الدخول
قبل اجتياز الوحدة يحسن قياس نقطة البداية. وهذا التقييم الذاتي لا تُمنح عليه درجة: إنما يفيد في معرفة المواضع التي ينبغي التوقف عندها. فالأسئلة التسعة الأولى تتناول، واحدًا واحدًا وبالترتيب، دروس المحتوى التسعة في الوحدة؛ والسؤال العاشر يطلب صياغة مسألة في توزيع الموارد وحلّها، وتُقاس هذه المهارات العشر مرة أخرى في النهاية، في درس الخلاصة. أما الأسئلة الثلاثة الأخيرة فتتحقق مما تعدّه الوحدة معلومًا من الوحدات التي سبقتها: إكمال المربع، وجداول الإشارات، والقيمة المطلقة.
قبل أن تبدأ الوحدة، قِس نقطة انطلاقك. إنه تقييم ذاتي قصير: لا يُمنح عليه درجة، وتُحفظ نتيجته في متصفحك فقط.
السؤال 1ما معادلة المستقيم الذي يمرّ بالنقطة ويعامد المستقيم ؟
هذا هو المستقيم الموازي للمستقيم المعطى والمارّ بالنقطة : يحتفظ بالميل بدلًا من أخذ الميل الذي يعطي الجداء .ميله : قُلب الميل دون تغيير إشارته، فصار جداء الميلين لا .الميل صحيح، لكن أُبقي على الحد الثابت للمستقيم المعطى؛ والنقطة لا تحقق هذه المعادلة، لأن .ميل المستقيم المعطى ، وميل العمودي عليه ، لأن جداء الميلين يجب أن يساوي . وتعطي معادلة المستقيم بنقطة وميل ، أي .السؤال 2احسب المسافة بين النقطة والمستقيم .
الإجابة الصحيحة:
بحسب صيغة المسافة بين نقطة ومستقيم، . ومن يحصل على فقد نسي القسمة على نظيم المتجه الناظمي ، ومن يحصل على فقد نسي القيمة المطلقة: فالمسافة لا تكون سالبة.السؤال 3ما معادلة القطع المكافئ الذي بؤرته ومستقيمه الدليل ؟
حدث خلط في دور : إذ أُخذت المسافة بين البؤرة والمستقيم الدليل، وهي ، معاملًا، بدلًا من أربعة أمثال المسافة بين البؤرة والرأس، وهي نصف تلك المسافة.هذا هو القطع المكافئ ذو المحور الأفقي. ولما كان المستقيم الدليل أفقيًا، كان المحور رأسيًا، والمتغير الذي يظهر مربّعًا هو .ينفتح نحو الأسفل، لكن البؤرة تقع فوق المستقيم الدليل، فينفتح القطع المكافئ نحو الأعلى.تكون النقطة على بعدين متساويين من البؤرة ومن المستقيم الدليل إذا كان ، وهو ما يؤول إلى ؛ وهي الصيغة مع البعد البؤري .السؤال 4ما رأس القطع المكافئ ؟
أُخذ دون إشارة الناقص؛ والنقطة ذات الفاصلة تقع على المنحنى، لكنها ليست الرأس.حُسب ، دون العامل في المقام؛ و نظيرة بالنسبة إلى المحور، لا الرأس.الفاصلة صحيحة، لكن ترتيبة الرأس هي قيمة كثيرة الحدود عند ، لا الحد الثابت.بإكمال المربع، ؛ وكذلك و.السؤال 5ما المسافة بين بؤرتي القطع الناقص ؟
الإجابة الصحيحة:
بالقسمة على نحصل على ، مع و؛ ومن يكون ، والبؤرتان تبعد إحداهما عن الأخرى . ومن يحصل على فقد أعطى المسافة بين المركز وإحدى البؤرتين، ومن يستعمل فقد طبّق علاقة القطع الزائد.راجِع: معادلة القطع الناقص والدائرة
السؤال 6كم نقطة مشتركة للدائرتين و؟
تكونان متقاطعتين لو كانت المسافة بين المركزين واقعة تمامًا بين و؛ وهي هنا تساوي المجموع، وهي الحالة الحدّية.تكونان متباعدتين لو زادت المسافة بين المركزين على مجموع نصفي القطرين؛ وهي هنا تساويه، فتتلامسان.التماس الداخلي يقتضي أن تكون المسافة بين المركزين فرق نصفي القطرين، ، لا مجموعهما.نصفا القطرين و، والمسافة بين المركزين ، وهي تساوي مجموع نصفي القطرين: فالدائرتان تتلامسان في نقطة واحدة، وكل منهما خارج الأخرى.السؤال 7ما المقاربان للقطع الزائد ؟
قُلب الخارج: ميل المقاربين هو ، أي نصف المحور المقترن بـ مقسومًا على نصف المحور المقترن بـ.استُعملت المقامات، وهي مربعات نصفي المحورين، بدلًا من نصفي المحورين.هذا هو الاختلاف المركزي ، مع ؛ وليس ميل المقاربين.مع و، المقاربان هما : المستقيمان الناتجان عن مساواة الطرف الأول بالصفر، .السؤال 8ماذا تمثّل المعادلة ؟
إشارة تدل على النوع، لكن يجب إكمال المربعين لرؤية الطرف الثاني: فإذا كان منعدمًا انحلّ المنحنى إلى مستقيمين.معاملا و متعاكسا الإشارة، فلا يمكن أن يكون قطعًا ناقصًا.تظهر نقطة واحدة عندما يكون والطرف الثاني منعدمًا؛ أما مع فإن فرق مربعين منعدمًا يعطي مستقيمين.بإكمال المربعين، : ولما كان والطرف الثاني منعدمًا، فهذه هي الحالة المنحلة للقطع الزائد، أي زوج المستقيمين .راجِع: القطوع المخروطية: توصيف المكافئ والناقص والزائد وتمثيلها البياني
السؤال 9أوجد أكبر قيمة للدالة في المنطقة المعرّفة بـ و و و.
الإجابة الصحيحة:
رؤوس المنطقة هي و و و، وقيم عندها و و و؛ وبحسب مبرهنة الرؤوس، القيمة العظمى ، عند . ومن يحصل على فقد حسب قيمة الدالة عند تقاطع المستقيمين المائلين وحده، وهو ليس دائمًا الرأس الأمثل.السؤال 10تصنع ورشة خياطة قمصانًا وسراويل. يتطلب كل قميص، بالساعات، للقصّ و للخياطة، ويتطلب كل سروال للقصّ و للخياطة. وتتوفر للورشة كل يوم ساعات للقصّ و ساعة للخياطة، وتربح وحدات نقدية عن كل قميص و عن كل سروال. ما أكبر ربح يومي يمكن أن تحققه؟
الإجابة الصحيحة:
مع قميصًا و سروالًا، القيود هي و و و، والربح . والرؤوس هي و و و، والأرباح عندها و و و: فالقيمة العظمى ، مع قمصان و سراويل. ومن يحصل على أو فقد حسب الربح عند نقاط التقاطع مع المحورين وحدها، دون الرأس الذي تنفد فيه ساعات القصّ وساعات الخياطة معًا.السؤال 11من وحدات سابقةما أصغر قيمة تأخذها العبارة عندما يجول في الأعداد الحقيقية؟
الإجابة الصحيحة:
بإكمال المربع، ، ولما كان المربع غير سالب، كانت أصغر قيمة ، عند . ومن يحصل على فقد أخذ القيمة عند ، ومن يحصل على فقد كتب ، ناسيًا الضرب في للحد الذي يتركه إكمال المربع.راجِع: تحليل كثير الحدود التربيعي وثلاثي الحدود من الدرجة 2n
السؤال 12من وحدات سابقةما مجموعة حلول المتراجحة ؟
هذه هي المجموعة التي تكون فيها كثيرة الحدود موجبة: فخارج الجذرين يكون للعاملين الإشارة نفسها.جذرا هما و؛ وقد أُخذا بإشارة معكوسة.تُحلَّل كثيرة الحدود إلى ؛ وبحسب جدول الإشارات، يكون الجداء سالبًا عندما يكون للعاملين إشارتان متعاكستان، أي بين الجذرين.راجِع: جداول الإشارات والمتراجحات
السؤال 13من وحدات سابقةما مجموعة حلول المتراجحة ؟
حُلّت وحدها، مع نسيان أن القيمة المطلقة تحدّ من الأسفل أيضًا: .هذه مجموعة حلول : فالمسافة بين و لا تتجاوز بين الطرفين، لا خارجهما.المتراجحة تعادل ، أي ، ومنه .
جارٍ تحميل المحتوى…