الدوال الجبرية وكثيرات الحدود: الخلاصة والتحديات

ملخص

يختم هذا الدرس الوحدة المخصّصة للدوال الجبرية وكثيرات الحدود. فهو يجمع في سلسلة استنتاجية واحدة ما بُرهن عليه في دروسها التسعة، من مفهوم الدالة وخوارزمية القسمة إلى الدراسة الكاملة للدوال الكسرية والدوال ذات الجذور؛ ويبيّن كيف تستند الوحدة إلى الأعداد الطبيعية والمجموعات العددية في الوحدات السابقة، ويشير بأمانة إلى النتائج التي قُبلت دون برهان، ويشرح كيف ترتبط بالهندسة التحليلية في المستوى. ويُختم بعشرة تحدّيات، أصعب من المسائل المقترحة في الوحدة، تقتضي الجمع بين عدّة دروس والعثور على فكرة.

أهداف التعلم

إعادة بناء سلسلة التعاريف والمبرهنات في الوحدة، مع شرح أيّ نتيجة تستند إلى أيّ نتيجة.
ربط المبرهنات المتعلقة بكثيرات الحدود بنظائرها المتعلقة بالأعداد الصحيحة التي دُرست في الوحدات السابقة.
التمييز بين النتائج التي بُرهن عليها في الوحدة والنتائج التي قُبلت وسيُبرهن عليها في دورات أخرى.
حلّ مسائل تجمع بين عدّة دروس من الوحدة وتقتضي فكرة غير آلية، ومنها صياغة وضعية ملموسة بواسطة كثيرات الحدود.

ما حقّقته الوحدة

الدوال والعمليات عليها

بدأت الوحدة بمفهوم الدالة: قاعدة تقرن بكل عنصر من مجال التعريف صورة واحدة بالضبط. وفي درس الدوال الجبرية ثُبّتت القواعد التي تحدّد مجال تعريف صيغة ما، وبُرهنت توطئة إشارة الجداء، وهي أساس كل الدراسة اللاحقة للإشارات، وصُنّفت الدوال إلى دوال كثيرات حدود ودوال كسرية ودوال جذرية ودوال متسامية؛ أما أن هذا التصنيف، الذي يخصّ الدوال لا صيغها، غير فارغ، فقد بيّنه البرهان على أن الدالة $\frac{1}{x}$ لا تطابق أيّ كثيرة حدود، ثم برهن درس جبر كثيرات الحدود أن $\sqrt{x}$ ليست دالة كسرية. وتناول درس العمليات على الدوال الدوال الحقيقية بوصفها كائنات. فقد ورث من درس المجموعات والعلاقات والدوال في الوحدة الأولى تجميعية التركيب والمبرهنة التي تنصّ على أن للدالة دالة عكسية إذا وفقط إذا كانت تقابلية؛ وأضاف ما يخصّ الدوال الحقيقية: مجال تعريف التركيب، الذي يبقى التركيب معه تجميعيًا لكن غير تبديلي؛ وأن الدالة الرتيبة تمامًا تقابلية على مداها ولها دالة عكسية رتيبة، مما يسمح بعكس الدوال غير التباينية عن طريق التقييد؛ وأن التمثيل البياني للدالة العكسية هو مماثل التمثيل البياني الأصلي بالنسبة إلى المستقيم $y = x$ ؛ وأن كل دالة مجال تعريفها متناظر هي، بطريقة وحيدة، مجموع دالة زوجية ودالة فردية.

كثيرات الحدود وتحليلها إلى عوامل

مركز الوحدة هو نظرية كثيرات الحدود، التي تتطور سلسلةً من المبرهنات تستند كلٌّ منها إلى سابقتها.

خوارزمية القسمة، التي بُرهن عليها في درس جبر كثيرات الحدود، تعطي خارج قسمة وباقيًا وحيدين. وعندما يكون القاسم $x - r$ يكون الباقي $P(r)$ (مبرهنة الباقي)، ومن هنا مبرهنة العامل: يكون $r$ جذرًا إذا وفقط إذا كان $x - r$ يقسم $P$ .
إذا طُبّقت مبرهنة العامل على عدّة جذور أعطت توطئة الجذور المختلفة: لكثيرة حدود غير منعدمة من الدرجة $n$ على الأكثر $n$ من الجذور. ومنها يُستنتج مبدأ تطابق كثيرات الحدود: تعرّف كثيرتا حدود الدالة نفسها إذا وفقط إذا كانت لهما المعاملات نفسها. وبما أن كثيرات الحدود عولجت حتى تلك اللحظة من خلال معاملاتها، فالترتيب ليس دائريًا؛ ومنذ ذلك الحين تُطابَق كل كثيرة حدود مع دالتها، ويمكن مقارنة المعاملات، وكثيرتا الحدود اللتان تتطابقان في عدد لا نهائي من النقاط متساويتان، ويُبرهن أن الجذر التربيعي ليس دالة كسرية.
ولإيجاد الجذور، أتمّ درس تحليل كثير الحدود التربيعي المربع وحصل على صيغة حل المعادلة التربيعية والمميز وعلاقات فييت؛ وأضاف درس جذور كثيرات الحدود من الدرجات العليا القسمة التركيبية ومبرهنة الجذور النسبية والرتبة وحدود الجذور.
وبقبول المبرهنة الأساسية في الجبر، ومع مبرهنة الجذور المترافقة، بُرهن التحليل في مجموعة الأعداد الحقيقية: كل كثيرة حدود حقيقية هي معاملها الرئيسي مضروبًا في عوامل $x - r$ وفي عوامل تربيعية غير قابلة للتحليل.

P(x) = a_n (x - r_1) \cdots (x - r_k) \left( x^2 + p_1 x + s_1 \right) \cdots \left( x^2 + p_m x + s_m \right), \qquad k + 2m = n

من خارج القسمة إلى التمثيل البياني

ومع التحليل إلى عوامل في اليد، درس النصف الثاني من الوحدة خوارج القسمة. فقد بيّن درس الكسور الجبرية أن اختزال عامل مشترك لا يكون مساواة إلا على مجال التعريف الأصلي، ووصف تساوي كسرين، وبرهن وجود التفكيك إلى كسور بسيطة ووحدانيته عندما لا يكون للمقام إلا عوامل خطية: فمع عوامل مختلفة، تُحصَّل المعاملات بحساب قيمة متطابقة عند الجذور، وهي متطابقة تصحّ، بمقتضى مبدأ تطابق كثيرات الحدود، حتى حيث لا تكون الكسور معرّفة؛ ومع عوامل مكررة، تقتضي الوحدانية عزل الحدّ ذي القوة الكبرى عند كل جذر. ومدّ درس جداول الإشارات والمتراجحات قاعدة الإشارات إلى $n$ من العوامل، وقرأ في التحليل إشارة كثيرة حدود أو خارج قسمة: تتغيّر الإشارة عند عبور جذر رتبته فردية، وتبقى عند جذر رتبته زوجية، ولا تُحسب العوامل غير القابلة للتحليل. ومن ذلك نتج حلّ المتراجحات وتحديد مجالات التعريف، والتمييز بين المقاربات العمودية والنقاط القابلة للإزالة.

وجمع الدرسان الأخيران كل الأدوات. ففي درس الدوال الكسرية، تكتب القسمةُ $\frac{P}{Q}$ على صورة كثيرة حدود $C$ زائد كسر فعلي يؤول إلى الصفر، ويكون $C$ هو المقارب الأفقي أو المائل أو المنحني؛ ويقرّر جدول الإشارات إلى أين تهرب الفروع، ويعطي مميزُ المعادلة $y \cdot Q(x) = P(x)$ المدى عندما تكون هذه المعادلة من الدرجة $2$ . وفي درس دوال الجذور، تفرض المساواة $\sqrt{x^2} = \abs{x}$ معالجة القيم الموجبة الكبيرة والقيم السالبة الكبيرة للمتغير كلٍّ على حدة، ويمكن أن يكون للدالة الواحدة مقاربان مختلفان.

ما قُبل دون برهان

كانت الوحدة صريحة بشأن ما لم تبرهن عليه. فقد قُبلت المبرهنة الأساسية في الجبر، التي تقتضي براهينها أدوات من التحليل. واستُعملت بمعنى حدسي أسهم النهايات، التي تُوصف بها المقاربات وسلوك الدالة قرب نقطة أو عند اللانهاية: فما بُرهن عليه هو إشارة الدالة في كل جانب والتفكيك الذي يفصل المقارب، وما وُصف هو الاقتراب نفسه. وقُبل أن الدوال الكسرية والدوال ذات الجذور متصلة على كل فترة من مجال تعريفها، وقُبلت، في صيغتها العامة، مبرهنة القيم الوسطى: الدالة المتصلة على فترة $\icc{a}{b}$ تأخذ كل قيمة محصورة بين $f(a)$ و $f(b)$ ، وتنعدم بوجه خاص إذا كانت إشارتا $f(a)$ و $f(b)$ متعاكستين، وهذه هي مبرهنة بولزانو؛ وبها حُدّدت مواضع أصفار لا يبلغها الجبر وحُسبت مدايات. وقُبل وجود التفكيك إلى كسور بسيطة ووحدانيته عندما توجد عوامل تربيعية غير قابلة للتحليل، وهما يقتضيان متطابقة بيزو بين كثيرات الحدود، وقُبلت وحدانية التحليل في مجموعة الأعداد الحقيقية، التي يتوقف عليها أن يكون المضاعف المشترك الأصغر لعدّة كثيرات حدود محدّدًا بصرف النظر عن عامل ثابت. وأخيرًا، قُبل أن كل دالة معرّفة بعبارة جبرية تحقّق معادلة كثيرة حدود في $x$ و $y$ ، وهي حقيقة لا تتوقف عليها أيّ نتيجة أخرى. وبقيت مفتوحة القيم العظمى والصغرى التي لا يكشفها تحويل جبري. وتُدرس النهايات والاتصال والقيم الوسطى والقيم القصوى وتكامل الكسور البسيطة في دورتي التفاضل والتكامل 1 والتفاضل والتكامل 2؛ أما المبرهنة الأساسية في الجبر فيُبرهن عليها في دورة في التحليل المركب.

يجمع الرسم الآتي المقاطع الثلاثة في سلسلة واحدة. كل عقدة في العمود تعريفٌ أو مبرهنة، مرقّمة بحسب الترتيب المنطقي، وموصولة بقوس بالحلقات السابقة التي يستعملها برهانها؛ وحولها تطفو الدعامات، أي المبادئ والأدوات التي تعود إليها السلسلة مرة بعد مرة، وكلٌّ منها موصول بخط متّصل بالحلقات التي تستند إليها. وكلها تُقبل أو تأتي من الوحدات السابقة، ولذلك تُرسم أطواقًا؛ أما النتائج التي تبرهن عليها الوحدة وتعيد استعمالها، مثل توطئة إشارة الجداء أو مبرهنة العامل، فتظهر حلقاتٍ موصولة بأقواس بالحلقات التي تستعملها. والنقر على دعامة يُبرز كل الحلقات التي تستعملها، وكل حلقة تحيل إلى الدرس الذي يُبرهن عليها فيه.

دعامات السلسلة

Aالاستقراء. الخاصية التي تتحقق في حالة ابتدائية وتنتقل من كل حالة إلى الحالة اللاحقة، أو من كل الحالات السابقة إلى الحالة اللاحقة، تتحقق دائمًا؛ بُرهن عليه في الوحدة المخصّصة للأعداد الطبيعية. يُقبل دون برهان في هذه الوحدة.
Bتوطئة إقليدس. إذا قسم عدد أولي جداء أعداد صحيحة، فإنه يقسم أحد العوامل؛ ويترتب على ذلك أنه إذا قسم عدد صحيح جداءً وكان أوليًا نسبيًا مع أحد العاملين، فإنه يقسم العامل الآخر؛ بُرهن عليها في الوحدة المخصّصة للأعداد الطبيعية. يُقبل دون برهان في هذه الوحدة.
Cالتركيب والدالة العكسية. تركيب الدوال تجميعي ويحافظ على التباين، وللدالة دالة عكسية إذا وفقط إذا كانت تقابلية، وهذه الدالة العكسية وحيدة؛ بُرهن عليه في درس المجموعات والعلاقات والدوال. يُقبل دون برهان في هذه الوحدة.
Dالجذور المترافقة. إذا كان عدد مركب جذرًا لكثيرة حدود ذات معاملات حقيقية، فإن مرافقه جذر لها أيضًا؛ بُرهن عليه في الوحدة المخصّصة للمجموعات العددية. يُقبل دون برهان في هذه الوحدة.
Eالمبرهنة الأساسية في الجبر. لكل كثيرة حدود من الدرجة $n \geq 1$ ذات معاملات مركبة جذر مركب واحد على الأقل؛ تُقبل دون برهان. يُقبل دون برهان في هذه الوحدة.
Fبيزو ووحدانية التحليل. إذا لم يكن لكثيرتي حدود عوامل مشتركة من درجة موجبة، فتوجد كثيرتا حدود $U$ و $V$ تحقّقان $U A + V B = 1$ ؛ وتحليل كثيرة حدود حقيقية إلى عوامل خطية وعوامل تربيعية غير قابلة للتحليل وحيد بصرف النظر عن الترتيب؛ يُقبلان، لأن الدورة لا تطوّر القاسم المشترك الأكبر لكثيرات الحدود. يُقبل دون برهان في هذه الوحدة.
Gالنهايات والاتصال. للسهمين $x \to r$ و $f(x) \to \infty$ معنى حدسي، والدوال الكسرية والدوال ذات الجذور متصلة على كل فترة من مجال تعريفها؛ يُقبل ذلك إلى حين دورة التفاضل والتكامل 1. يُقبل دون برهان في هذه الوحدة.
Hالقيم الوسطى. إذا كانت دالة متصلة على فترة $\icc{a}{b}$ ، فإنها تأخذ فيها كل قيمة محصورة بين $f(a)$ و $f(b)$ ؛ وبوجه خاص، إذا كانت إشارتا $f(a)$ و $f(b)$ متعاكستين، فإنها تنعدم عند نقطة ما من $\ioo{a}{b}$ (مبرهنة بولزانو)؛ يُقبل ذلك إلى حين دورة التفاضل والتكامل 1. يُقبل دون برهان في هذه الوحدة.

المقطع 1 الدوال والعمليات عليها
- تعريف الدالة وتثبيت القواعد التي تحدّد مجال تعريف صيغة ما.
- البرهان على توطئة إشارة الجداء، أساس الدراسة اللاحقة للإشارات.
- تصنيف الدوال الجبرية والبرهان على أن التصنيف غير فارغ.
- معالجة الدوال الحقيقية بوصفها كائنات: مجال تعريف التركيب، والدالة العكسية بالتقييد على مجموعة تكون الدالة فيها رتيبة، والتمثيل البياني للدالة العكسية، والتفكيك إلى جزء زوجي وجزء فردي.
1. الدالة ومجال التعريف. تقرن الدالة بكل عنصر من مجال تعريفها صورة واحدة بالضبط؛ ومجال تعريف صيغة ما يستبعد أصفار المقامات وما تحت الجذر السالب في الجذور ذات الدليل الزوجي.
  يُبرهن في: الدوال الجبرية لمتغير حقيقي.
2. إشارة الجداء. من أجل عددين حقيقيين $a$ و $b$ ، يكون $ab = 0$ إذا وفقط إذا كان $a = 0$ أو $b = 0$ ، ويكون $ab > 0$ إذا وفقط إذا كانا غير منعدمين ومن الإشارة نفسها؛ وإذا كان $b \neq 0$ ، فإن لخارج القسمة $\frac{a}{b}$ إشارة $ab$ .
  يُبرهن في: الدوال الجبرية لمتغير حقيقي.
3. خارج قسمة ليس كثيرة حدود. لا تطابق أيّ دالة كثيرة حدود الدالة $\frac{1}{x}$ في كل الأعداد الحقيقية غير المنعدمة؛ ومن ثمّ توجد دوال كسرية ليست دوال كثيرات حدود.
  تستعمل: 1. الدالة ومجال التعريف. يُبرهن في: الدوال الجبرية لمتغير حقيقي.
4. التمثيلات البيانية للقوى والجذور. من أجل $n \geq 2$ ، تحافظ الدالتان $x^n$ و $\sqrt[n]{x}$ على ترتيب الأعداد الحقيقية غير السالبة، ويكون $x^n < x < \sqrt[n]{x}$ إذا كان $0 < x < 1$ ، وتكون القوة زوجية أو فردية بحسب ما يكون $n$ زوجيًا أو فرديًا.
  تستعمل: 1. الدالة ومجال التعريف. يُبرهن في: الدوال الجبرية لمتغير حقيقي.
5. مجال تعريف التركيب. من أجل الدوال الحقيقية، يتكوّن مجال تعريف $f \circ g$ من قيم $x$ في مجال تعريف $g$ التي تقع صورتها في مجال تعريف $f$ ؛ ومع مجالات التعريف هذه يكون التركيب تجميعيًا، وليس تبديليًا.
  تستعمل: 1. الدالة ومجال التعريف. تستند إلى: C (التركيب والدالة العكسية). يُبرهن في: العمليات على الدوال والدالة العكسية وتحويلات التمثيل البياني.
6. الدوال الرتيبة. كل دالة متزايدة تمامًا أو متناقصة تمامًا تباينية، ومجموع دالتين متزايدتين دالة متزايدة.
  تستعمل: 1. الدالة ومجال التعريف. يُبرهن في: العمليات على الدوال والدالة العكسية وتحويلات التمثيل البياني.
7. الدالة العكسية لدالة رتيبة. الدالة المتزايدة تمامًا على مجموعة $A$ من الأعداد الحقيقية تقابلٌ من $A$ إلى مداها، ودالتها العكسية متزايدة تمامًا؛ ويصحّ الأمر نفسه للدوال المتناقصة تمامًا. وهكذا تُعكس الدوال غير التباينية بتقييد مجال تعريفها.
  تستعمل: 6. الدوال الرتيبة. تستند إلى: C (التركيب والدالة العكسية). يُبرهن في: العمليات على الدوال والدالة العكسية وتحويلات التمثيل البياني.
8. التمثيل البياني للدالة العكسية. تقع النقطة $(a, b)$ على التمثيل البياني لـ $f$ إذا وفقط إذا وقعت $(b, a)$ على التمثيل البياني لـ $f^{-1}$ ؛ ومن ثمّ فالتمثيل البياني للدالة العكسية هو مماثل التمثيل البياني لـ $f$ بالنسبة إلى المستقيم $y = x$ .
  تستعمل: 7. الدالة العكسية لدالة رتيبة. تستند إلى: C (التركيب والدالة العكسية). يُبرهن في: العمليات على الدوال والدالة العكسية وتحويلات التمثيل البياني.
9. الجزءان الزوجي والفردي. جداء دالتين زوجيتين أو دالتين فرديتين زوجي، وجداء دالة زوجية ودالة فردية فردي؛ وكل دالة مجال تعريفها متناظر هي، بطريقة وحيدة، مجموع دالة زوجية ودالة فردية.
  تستعمل: 1. الدالة ومجال التعريف. يُبرهن في: العمليات على الدوال والدالة العكسية وتحويلات التمثيل البياني.
المقطع 2 كثيرات الحدود وتحليلها إلى عوامل
- البرهان على خوارزمية القسمة واستنتاج مبرهنتي الباقي والعامل منها.
- حصر عدد جذور كثيرة حدود والوصول إلى مبدأ تطابق كثيرات الحدود.
- إيجاد الجذور: صيغة حل المعادلة التربيعية، والمميز، وعلاقات فييت، والقسمة التركيبية، والجذور النسبية، والرتبة، والحدود.
- البرهان، بقبول المبرهنة الأساسية في الجبر، على تحليل كل كثيرة حدود حقيقية إلى عوامل خطية وعوامل تربيعية غير قابلة للتحليل.
1. خوارزمية القسمة. إذا أُعطيت كثيرتا حدود $P$ و $Q$ ، مع كون $Q$ غير منعدمة، فيوجد خارج قسمة $C$ وباقٍ $R$ وحيدان بحيث $P = Q \cdot C + R$ ، مع كون $R$ منعدمًا أو من درجة أصغر من درجة $Q$ .
  تستند إلى: A (الاستقراء). يُبرهن في: جبر كثيرات الحدود ذات المعاملات الحقيقية.
2. مبرهنتا الباقي والعامل. باقي قسمة $P$ على $x - r$ هو $P(r)$ ؛ ولذلك يقسم $x - r$ كثيرةَ الحدود $P$ إذا وفقط إذا كان $P(r) = 0$ .
  تستعمل: 10. خوارزمية القسمة. يُبرهن في: جبر كثيرات الحدود ذات المعاملات الحقيقية.
3. توطئة الجذور المختلفة. إذا كانت $r_1, \ldots, r_k$ جذورًا مختلفة لـ $P$ ، فإن $P = (x - r_1) \cdots (x - r_k) \, C$ ؛ ومن ثمّ فلكثيرة حدود غير منعدمة من الدرجة $n$ على الأكثر $n$ من الجذور الحقيقية.
  تستعمل: 2. إشارة الجداء, 11. مبرهنتا الباقي والعامل. تستند إلى: A (الاستقراء). يُبرهن في: جبر كثيرات الحدود ذات المعاملات الحقيقية.
4. مبدأ تطابق كثيرات الحدود. تأخذ كثيرتا حدود القيمة نفسها عند كل عدد حقيقي إذا وفقط إذا كانت لهما المعاملات نفسها، قوةً بقوة؛ ومن ثمّ تُطابَق كل كثيرة حدود مع دالتها، والجذر التربيعي ليس دالة كسرية.
  تستعمل: 12. توطئة الجذور المختلفة. يُبرهن في: جبر كثيرات الحدود ذات المعاملات الحقيقية.
5. صيغة الحل والمميز. بإتمام المربع، جذور $ax^2 + bx + c$ هي $\frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$ ، حيث $\Delta = b^2 - 4ac$ : يوجد جذران إذا كان $\Delta > 0$ ، وجذر واحد إذا كان $\Delta = 0$ ، ولا جذر إذا كان $\Delta < 0$ ، وفي هذه الحالة تكون كثيرة الحدود غير قابلة للتحليل في مجموعة الأعداد الحقيقية.
  تستعمل: 2. إشارة الجداء, 11. مبرهنتا الباقي والعامل. يُبرهن في: تحليل كثير الحدود التربيعي وثلاثي الحدود من الدرجة 2n.
6. التحليل وعلاقات فييت. إذا كان $\Delta \geq 0$ ، فإن $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$ ، حيث $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ و $x_1 x_2 = \frac{c}{a}$ .
  تستعمل: 14. صيغة الحل والمميز, 13. مبدأ تطابق كثيرات الحدود. يُبرهن في: تحليل كثير الحدود التربيعي وثلاثي الحدود من الدرجة 2n.
7. مضاعفة التربيع ذات المميز السالب. إذا كان $b^2 - 4ac < 0$ ، فإن ثلاثية الحدود $ax^4 + bx^2 + c$ تساوي $a$ مضروبًا في جداء كثيرتي حدود حقيقيتين من الدرجة الثانية غير قابلتين للتحليل، هما $x^2 - kx + m$ و $x^2 + kx + m$ .
  تستعمل: 14. صيغة الحل والمميز. يُبرهن في: تحليل كثير الحدود التربيعي وثلاثي الحدود من الدرجة 2n.
8. القسمة التركيبية. تُحصَّل معاملات خارج قسمة $P$ على $x - r$ بإنزال المعامل الرئيسي وإضافة العدد السابق مضروبًا في $r$ إلى كل معامل؛ والعدد الأخير هو الباقي، $P(r)$ .
  تستعمل: 10. خوارزمية القسمة, 13. مبدأ تطابق كثيرات الحدود. يُبرهن في: جذور كثيرات الحدود من الدرجات العليا والقسمة التركيبية.
9. الجذور النسبية. إذا كان الكسر غير القابل للاختزال $\frac{p}{q}$ جذرًا لكثيرة حدود ذات معاملات صحيحة وكان $a_0 \neq 0$ ، فإن $p$ يقسم $a_0$ و $q$ يقسم $a_n$ ؛ ويستعمل البرهان توطئة إقليدس من الوحدة الأولى.
  تستند إلى: B (توطئة إقليدس). يُبرهن في: جذور كثيرات الحدود من الدرجات العليا والقسمة التركيبية.
10. القسمة التركيبية المكررة. للجذر $r$ الرتبة $k$ ، أي $P = (x - r)^k C$ مع $C(r) \neq 0$ ، إذا وفقط إذا كانت البواقي، عند القسمة المتتالية على $x - r$ ، منعدمة في المرات الأولى وعددها $k$ ، والباقي الذي يليها غير منعدم.
  تستعمل: 17. القسمة التركيبية, 10. خوارزمية القسمة, 11. مبرهنتا الباقي والعامل. يُبرهن في: جذور كثيرات الحدود من الدرجات العليا والقسمة التركيبية.
11. حدود الجذور. كل جذر حقيقي يحقّق $\abs{r} < 1 + \frac{M}{\abs{a_n}}$ (حد كوشي)، حيث $M$ أكبر القيم المطلقة لسائر المعاملات، وإذا أعطت القسمة التركيبية على $x - c$ ، حيث $c > 0$ و $a_n > 0$ ، سطرًا خاليًا من الأعداد السالبة، فلا يتجاوز أيّ جذر حقيقي $c$ .
  تستعمل: 17. القسمة التركيبية. يُبرهن في: جذور كثيرات الحدود من الدرجات العليا والقسمة التركيبية.
12. التحليل في مجموعة الأعداد الحقيقية. كل كثيرة حدود حقيقية من الدرجة $n \geq 1$ هي معاملها الرئيسي مضروبًا في عوامل $x - r$ ، حيث $r$ حقيقي، وفي عوامل تربيعية واحدية غير قابلة للتحليل في مجموعة الأعداد الحقيقية.
  تستعمل: 14. صيغة الحل والمميز, 10. خوارزمية القسمة, 17. القسمة التركيبية. تستند إلى: A (الاستقراء), E (المبرهنة الأساسية في الجبر), D (الجذور المترافقة). يُبرهن في: جذور كثيرات الحدود من الدرجات العليا والقسمة التركيبية.
المقطع 3 من خارج القسمة إلى التمثيل البياني
- تحديد متى يكون الاختزال مساواةً ومتى يتساوى كسران جبريان.
- تفكيك كسر فعلي إلى كسور بسيطة.
- قراءة إشارة كثيرة حدود أو خارج قسمة في التحليل إلى عوامل، وحلّ المتراجحات وتحديد مجالات التعريف بذلك.
- دراسة الدوال الكسرية والدوال ذات الجذور: المقاربات العمودية والأفقية والمائلة والمنحنية، وحدود مجال التعريف، والمدى.
1. توطئة الاختزال. عند كل عدد حقيقي لا يعدم $QC$ ، يساوي الكسر $\frac{PC}{QC}$ الكسرَ $\frac{P}{Q}$ ؛ ولا يكونان الدالة نفسها إلا إذا قُيّد الثاني بمجال تعريف الأول.
  تستعمل: 2. إشارة الجداء. يُبرهن في: الكسور الجبرية والكسور الجزئية.
2. تساوي الكسور. كثيرتا الحدود اللتان تتطابقان في كل الأعداد الحقيقية ما عدا عددًا منتهيًا منها متساويتان؛ ويترتب على ذلك أن $\frac{P}{Q}$ و $\frac{R}{S}$ يتطابقان حيث لا ينعدم $QS$ إذا وفقط إذا كان $PS = QR$ .
  تستعمل: 12. توطئة الجذور المختلفة, 13. مبدأ تطابق كثيرات الحدود. يُبرهن في: الكسور الجبرية والكسور الجزئية.
3. الكسور البسيطة. كل كسر فعلي هو، بطريقة وحيدة، مجموع حدود $\frac{A}{(x - r)^j}$ و $\frac{Bx + C}{(x^2 + px + q)^j}$ ، حدٌّ لكل قوة من كل عامل من عوامل مقامه؛ ومع العوامل الخطية، يُحصَّل الوجود بفصل حدّ في كل مرة، والوحدانية بعزل القوة الكبرى عند كل جذر؛ ومع العوامل التربيعية غير القابلة للتحليل، يُقبل الأمران كلاهما.
  تستعمل: 2. إشارة الجداء, 11. مبرهنتا الباقي والعامل, 10. خوارزمية القسمة, 23. تساوي الكسور, 21. التحليل في مجموعة الأعداد الحقيقية. تستند إلى: F (بيزو ووحدانية التحليل). يُبرهن في: الكسور الجبرية والكسور الجزئية.
4. إشارة كثيرة الحدود. جداء $n$ من العوامل غير المنعدمة سالب إذا كان عدد عوامله السالبة فرديًا؛ ولذلك تتغيّر إشارة كثيرة حدود محلّلة عند عبور جذر إذا وفقط إذا كانت رتبته فردية، وتحافظ العوامل غير القابلة للتحليل على إشارة معاملها الرئيسي.
  تستعمل: 2. إشارة الجداء, 14. صيغة الحل والمميز, 19. القسمة التركيبية المكررة. تستند إلى: A (الاستقراء). يُبرهن في: جداول الإشارات والمتراجحات.
5. المقاربات العمودية والنقاط القابلة للإزالة. إذا كان $r$ يعدم مقام $\frac{A}{B}$ وكان $A(r) \neq 0$ ، فإن المستقيم $x = r$ مقارب عمودي؛ وإذا كان $A(r) = 0$ ، فإن العامل المشترك يُختزل، وإذا كان الكسر المختزل معرّفًا عند $r$ ، فهذه نقطة قابلة للإزالة.
  تستعمل: 11. مبرهنتا الباقي والعامل, 22. توطئة الاختزال, 25. إشارة كثيرة الحدود. تستند إلى: G (النهايات والاتصال). يُبرهن في: جداول الإشارات والمتراجحات.
6. مقاربات الدالة الكسرية. إذا كان $P = Q \cdot C + R$ ، فإن الفرق بين $\frac{P}{Q}$ و $C$ هو $\frac{R}{Q}$ ، الذي يؤول إلى $0$ عند الطرفين كليهما: خارج القسمة $C$ هو المقارب الأفقي أو المائل أو المنحني، ويقرّر جدول الإشارات إلى أين تهرب الفروع قرب المقاربات العمودية.
  تستعمل: 10. خوارزمية القسمة, 26. المقاربات العمودية والنقاط القابلة للإزالة. تستند إلى: G (النهايات والاتصال). يُبرهن في: الدوال الكسرية: المقاربات والتمثيل البياني.
7. أصفار الدالة الكسرية ومداها. بمقتضى مبرهنة القيم الوسطى، الدالة الكسرية التي تغيّر إشارتها على فترة من مجال تعريفها تنعدم فيها، والدالة التي تأخذ على فترة من مجال تعريفها قيمًا أكبر وأصغر من أيّ عدد تأخذ هناك كل القيم الحقيقية؛ وإذا كانت المعادلة $y \cdot Q(x) = P(x)$ من الدرجة $2$ ، فإن مميزها يعطي المدى.
  تستعمل: 14. صيغة الحل والمميز, 27. مقاربات الدالة الكسرية. تستند إلى: G (النهايات والاتصال), H (القيم الوسطى). يُبرهن في: الدوال الكسرية: المقاربات والتمثيل البياني.
8. مجال التعريف وحدوده مع الجذور. مجال تعريف دالة ذات جذور هو تقاطع المجموعات التي تعطيها جداول إشارات شروطها؛ وإذا أعدم جذرٌ رتبته فردية ما تحت جذرٍ في البسط، انتهى التمثيل البياني هناك على المحور $x$ ؛ وإذا انعدم مقام مع بسط غير منعدم، فثمة مقارب عمودي؛ وبمقتضى مبرهنة القيم الوسطى، يأخذ كل فرع كل القيم المحصورة بين القيم التي يبلغها أو يقترب منها عند حدوده.
  تستعمل: 25. إشارة كثيرة الحدود, 26. المقاربات العمودية والنقاط القابلة للإزالة. تستند إلى: G (النهايات والاتصال), H (القيم الوسطى). يُبرهن في: دوال الجذور: مجال التعريف والإشارات والتمثيل البياني.
9. المقاربات مع الجذور. بما أن $\sqrt{x^2} = \abs{x}$ ، فإن مقارب دالة ذات جذور يُوجد على حدة عندما $x \to \infty$ وعندما $x \to -\infty$ ، ويمكن أن يختلف عند كل طرف؛ وإذا لم يؤل $\frac{f(x)}{x}$ إلى عدد، فلا يوجد مقارب مستقيم.
  تستعمل: 27. مقاربات الدالة الكسرية. تستند إلى: G (النهايات والاتصال). يُبرهن في: دوال الجذور: مجال التعريف والإشارات والتمثيل البياني.

نحو الهندسة التحليلية. تدرس الوحدة اللاحقة منحنيات المستوى من خلال معادلاتها: المستقيمات، والقطع المكافئ الذي يُوصف بإتمام المربع، والدائرة بوصفها اتحاد التمثيلين البيانيين للدالتين $\pm \sqrt{r^2 - x^2}$ ، والقطع الزائد $y = \frac{1}{x}$ بمقاربيه.

في بقية هذا الدرس

الوحدة داخل الدورة
ما يستند إلى الوحدات السابقة
الصلة بالهندسة التحليلية
تقييم الخروج
التحدّيات
باقٍ لدرجة هائلة
دالة تعود بعد ثلاثة تطبيقات
كثيرة حدود تتبادل مع مربع
كثيرة حدود تحاكي كسرًا
مجاميع على جذور كثيرة حدود من الدرجة الثالثة
جذر تربيعي زائد جذر تكعيبي
جداء تلسكوبي
مفتاح موزّع على ثلاثة أشخاص
كسر محصور بين عددين
جذر بسلوكين عند اللانهاية