代数関数と多項式：まとめと挑戦課題

要約

この課は、代数関数と多項式を扱う単元を締めくくる。単元の九つの課で証明したことを、関数の概念と除法の原理から、有理関数と累乗根を含む関数の完全な解析まで、一本の演繹の鎖にまとめる。さらに、単元が前の単元の自然数と数の集合にどう基づいているかを示し、証明なしに認めた結果を率直に指摘し、平面の解析幾何とどうつながるかを説明する。最後に、単元の練習問題より難しく、いくつもの課を組み合わせ、一つのアイデアを見つけることを求める十の挑戦課題を置く。

学習目標

単元の定義と定理の鎖を再構成し、どの結果がどの結果に基づくかを説明する。
多項式についての定理を、前の単元で学んだ整数についての類似の定理と関連づける。
単元で証明した結果と、認めたうえでほかのコースで証明する結果とを区別する。
単元のいくつもの課を組み合わせ、機械的でないアイデアを要する問題を解く。その中には、具体的な状況を多項式によって定式化することも含まれる。

単元で達成したこと

関数とその演算

単元は関数の概念から始まった。関数とは、定義域の各要素にちょうど一つの像を対応させる規則である。代数関数の課では、式の定義域を定める規則を確立し、その後の符号の研究すべての土台となる積の符号の補題を証明し、関数を多項式関数、有理関数、無理関数、超越関数に分類した。この分類は関数についてのものであって式についてのものではないが、それが空でないことは、 $\frac{1}{x}$ がどの多項式とも一致しないことの証明が示し、さらに多項式の代数の課が、 $\sqrt{x}$ は有理関数でないことを証明した。関数の演算の課は、実関数を対象として扱った。第一単元の集合・関係・関数の課からは、合成の結合法則と、関数が逆関数をもつのは全単射であるときに限るという定理を受け継いだ。そして実関数に固有のことを付け加えた。すなわち、合成の定義域（この定義域のもとで合成は結合法則を満たし続けるが、交換法則は満たさない）。狭義単調な関数はその値域の上への全単射であり、単調な逆関数をもつこと（これにより、単射でない関数も制限によって逆関数をもてる）。逆関数のグラフは直線 $y = x$ に関して対称に移したものであること。そして、対称な定義域をもつすべての関数は、偶関数と奇関数の和としてただ一通りに表されることである。

多項式とその因数分解

単元の中心は多項式の理論であり、それは定理の鎖として展開され、各定理は前の定理に基づく。

多項式の代数の課で証明した除法の原理は、ただ一つの商と余りを与える。割る式が $x - r$ のとき余りは $P(r)$ であり（剰余の定理）、ここから因数定理が得られる。 $r$ が根であるのは、 $x - r$ が $P$ を割り切るときに限る。
いくつもの根に適用すると、因数定理は異なる根の補題を与える。 $n$ 次の零でない多項式は高々 $n$ 個の根をもつ。これから恒等式の性質が導かれる。二つの多項式が同じ関数を定めるのは、係数がすべて等しいときに限る。その時点まで多項式は係数を通して扱われてきたので、この順序は循環していない。そしてそれ以後、各多項式はその関数と同一視され、係数を比較でき、無限個の点で一致する二つの多項式は等しく、平方根が有理関数でないことが証明される。
根を求めるために、二次多項式の因数分解の課は平方完成を行い、解の公式、判別式、解と係数の関係を得た。高次多項式の根の課は、組立除法、有理根定理、重複度、根の上界を付け加えた。
代数学の基本定理を認め、共役な根の定理を用いて、実数の範囲での因数分解を証明した。すべての実多項式は、その最高次の係数に、因数 $x - r$ と既約な 2 次因数とを掛けたものである。

P(x) = a_n (x - r_1) \cdots (x - r_k) \left( x^2 + p_1 x + s_1 \right) \cdots \left( x^2 + p_m x + s_m \right), \qquad k + 2m = n

商からグラフへ

因数分解を手にして、単元の後半は商を調べた。分数式の課は、共通因数の約分がもとの定義域の上でしか等式にならないことを示し、二つの分数式が等しいことを特徴づけ、分母が 1 次因数だけをもつときの部分分数分解の存在と一意性を証明した。因数が異なる場合、係数は根において恒等式の値を求めることで得られ、その恒等式は恒等式の性質により分数式が定義されないところでも成り立つ。因数が重複する場合、一意性のためには各根で最高次の項を分離する必要がある。符号表と不等式の課は、符号の規則を $n$ 個の因数に拡張し、因数分解から多項式や商の符号を読み取った。重複度が奇数の根を通過すると符号は変わり、重複度が偶数の根では保たれ、既約因数は関係しない。ここから、不等式の解法と定義域の求め方、および鉛直漸近線と除去可能な点の区別が得られた。

最後の二つの課は、すべての道具を結集した。有理関数の課では、割り算によって $\frac{P}{Q}$ を多項式 $C$ と零に近づく真分数式の和に書き、 $C$ が水平、斜め、または曲線の漸近線になる。符号表は枝がどちらへ逃げるかを決め、方程式 $y \cdot Q(x) = P(x)$ の判別式は、その方程式の次数が $2$ のとき値域を与える。根号を含む関数の課では、等式 $\sqrt{x^2} = \abs{x}$ のために、変数の大きな正の値と大きな負の値を別々に扱う必要があり、一つの関数が二つの異なる漸近線をもちうる。

証明なしに認めたこと

単元は、証明しなかったことについて明確であった。代数学の基本定理を認めたが、その証明には解析学の道具が必要である。漸近線や、点の近くまたは無限遠での関数の振る舞いを記述する極限の矢印は、直観的な意味で用いた。証明したのは各側での関数の符号と漸近線を分離する分解であり、記述したのは近づくことそのものである。有理関数と累乗根を含む関数が定義域の各区間で連続であること、および一般の形の中間値の定理を認めた。区間 $\icc{a}{b}$ で連続な関数は $f(a)$ と $f(b)$ の間にあるすべての値をとり、とくに $f(a)$ と $f(b)$ が異符号ならば零になる。これがボルツァーノの定理である。これを用いて、代数では届かない零点の位置を突き止め、値域を求めた。既約な 2 次因数があるときの部分分数分解の存在と一意性（これには多項式どうしのベズーの等式が必要である）と、実数の範囲での因数分解の一意性（いくつかの多項式の最小公倍式が定数倍を除いて定まることはこれに依存する）を認めた。最後に、代数式で定義されるすべての関数が $x$ と $y$ についての多項式の方程式を満たすことを認めたが、ほかのどの結果もこの事実には依存しない。そして、代数的な変形では現れない最大値と最小値は未解決のまま残った。極限、連続性、中間値、極値、部分分数の積分は微分積分学 Iと微分積分学 IIのコースで学ぶ。一方、代数学の基本定理は複素解析のコースで証明する。

次の図は、三つの区間を一本の鎖にまとめたものである。列の各節点は定義か定理で、論理的な順序で番号が付き、その証明が用いる前の環と弧で結ばれている。そのまわりに浮かぶのが支え、すなわち鎖が何度も立ち返る原理と道具であり、それぞれは、よりかかる環と実線で結ばれる。支えはすべて認めるものか前の単元から来るものであり、そのため輪として描かれる。単元が証明して繰り返し用いる結果、たとえば積の符号の補題や因数定理は環として現れ、それを用いる環と弧で結ばれる。支えを押すと、それを使うすべての環が強調され、各環はそれが証明される課へのリンクになっている。

鎖の支え

A帰納法. はじめの場合に成り立ち、各場合からその直後の場合へ、あるいはそれより前のすべての場合から直後の場合へと受け継がれる性質は、つねに成り立つ。自然数の単元で証明した。この単元では証明なしに認める。
Bユークリッドの補題. 素数が整数の積を割り切るならば、因数のどれかを割り切る。このことから、整数が積を割り切り、因数の一方と互いに素ならば、もう一方を割り切る。自然数の単元で証明した。この単元では証明なしに認める。
C合成と逆関数. 関数の合成は結合法則を満たし、単射であることを保つ。関数が逆関数をもつのは全単射であるときに限り、その逆関数はただ一つである。集合・関係・関数の課で証明した。この単元では証明なしに認める。
D共役な根. 複素数が実数係数の多項式の根ならば、その共役もその多項式の根である。数の集合の単元で証明した。この単元では証明なしに認める。
E代数学の基本定理. $n \geq 1$ 次の複素数係数の多項式はすべて、少なくとも一つの複素数の根をもつ。証明なしに認める。この単元では証明なしに認める。
Fベズーと因数分解の一意性. 二つの多項式が正の次数の共通因数をもたないならば、多項式 $U$ と $V$ で $U A + V B = 1$ を満たすものが存在する。また、実多項式の 1 次因数と既約な 2 次因数への因数分解は、順序を除いてただ一通りである。コースでは多項式の最大公約式を扱わないため、どちらも認める。この単元では証明なしに認める。
G極限と連続性. 矢印 $x \to r$ と $f(x) \to \infty$ は直観的な意味をもち、有理関数と累乗根を含む関数は定義域の各区間で連続である。微分積分学 I のコースまで認める。この単元では証明なしに認める。
H中間値. 関数が区間 $\icc{a}{b}$ で連続ならば、そこで $f(a)$ と $f(b)$ の間にあるすべての値をとる。とくに $f(a)$ と $f(b)$ が異符号ならば、 $\ioo{a}{b}$ のある点で零になる（ボルツァーノの定理）。微分積分学 I のコースまで認める。この単元では証明なしに認める。

第 1 区間関数とその演算
- 関数を定義し、式の定義域を定める規則を確立する。
- その後の符号の研究の土台となる、積の符号の補題を証明する。
- 代数関数を分類し、その分類が空でないことを証明する。
- 実関数を対象として扱う。合成の定義域、関数が単調になる集合への制限による逆関数、逆関数のグラフ、偶部分と奇部分への分解。
1. 関数と定義域. 関数は定義域の各要素にちょうど一つの像を対応させる。式の定義域からは、分母の零点と、偶数乗根の負の中身とが除かれる。
  証明される授業: 実変数の代数関数.
2. 積の符号. 実数 $a$ 、 $b$ について、 $ab = 0$ となるのは $a = 0$ または $b = 0$ のときに限り、 $ab > 0$ となるのは両方が零でなく同符号のときに限る。 $b \neq 0$ ならば、商 $\frac{a}{b}$ は $ab$ と同じ符号をもつ。
  証明される授業: 実変数の代数関数.
3. 多項式でない商. 零でないすべての実数で $\frac{1}{x}$ と一致する多項式関数は存在しない。したがって、多項式関数でない有理関数が存在する。
  使う結果: 1. 関数と定義域. 証明される授業: 実変数の代数関数.
4. 累乗と累乗根のグラフ. $n \geq 2$ のとき、関数 $x^n$ と $\sqrt[n]{x}$ は負でない実数の順序を保ち、 $x^n < x < \sqrt[n]{x}$ が成り立ち（ただし $0 < x < 1$ のとき）、累乗は $n$ が偶数か奇数かに応じて偶関数か奇関数になる。
  使う結果: 1. 関数と定義域. 証明される授業: 実変数の代数関数.
5. 合成の定義域. 実関数について、 $f \circ g$ の定義域は、 $x$ のうち、 $g$ の定義域に属し、その像が $f$ の定義域に属するものからなる。この定義域のもとで、合成は結合法則を満たし、交換法則は満たさない。
  使う結果: 1. 関数と定義域. 支え: C (合成と逆関数). 証明される授業: 関数の演算、逆関数とグラフの変換.
6. 単調関数. 狭義単調増加または狭義単調減少の関数はすべて単射であり、二つの単調増加関数の和は単調増加である。
  使う結果: 1. 関数と定義域. 証明される授業: 関数の演算、逆関数とグラフの変換.
7. 単調関数の逆関数. 実数の集合 $A$ で狭義単調増加な関数は、 $A$ からその値域への全単射であり、その逆関数は狭義単調増加である。狭義単調減少な関数についても同様である。こうして、単射でない関数も定義域を制限することで逆関数をもつ。
  使う結果: 6. 単調関数. 支え: C (合成と逆関数). 証明される授業: 関数の演算、逆関数とグラフの変換.
8. 逆関数のグラフ. 点 $(a, b)$ が $f$ のグラフ上にあるのは、 $(b, a)$ が $f^{-1}$ のグラフ上にあるときに限る。したがって、逆関数のグラフは $f$ のグラフを直線 $y = x$ に関して対称に移したものである。
  使う結果: 7. 単調関数の逆関数. 支え: C (合成と逆関数). 証明される授業: 関数の演算、逆関数とグラフの変換.
9. 偶部分と奇部分. 二つの偶関数または二つの奇関数の積は偶関数であり、偶関数と奇関数の積は奇関数である。対称な定義域をもつすべての関数は、偶関数と奇関数の和としてただ一通りに表される。
  使う結果: 1. 関数と定義域. 証明される授業: 関数の演算、逆関数とグラフの変換.
第 2 区間多項式とその因数分解
- 除法の原理を証明し、そこから剰余の定理と因数定理を導く。
- 多項式の根の個数を上から抑え、恒等式の性質を得る。
- 根を求める。解の公式、判別式、解と係数の関係、組立除法、有理根、重複度、上界。
- 代数学の基本定理を認めて、すべての実多項式の 1 次因数と既約な 2 次因数への因数分解を証明する。
1. 除法の原理. 二つの多項式 $P$ と $Q$ が与えられ、 $Q$ が零でないとき、ただ一つの商 $C$ と余り $R$ が存在して $P = Q \cdot C + R$ となり、 $R$ は零であるかその次数が $Q$ の次数より小さい。
  支え: A (帰納法). 証明される授業: 実数係数の多項式の代数.
2. 剰余の定理と因数定理. $P$ を $x - r$ で割った余りは $P(r)$ である。したがって、 $x - r$ が $P$ を割り切るのは $P(r) = 0$ のときに限る。
  使う結果: 10. 除法の原理. 証明される授業: 実数係数の多項式の代数.
3. 異なる根の補題. $r_1, \ldots, r_k$ が $P$ の異なる根ならば、 $P = (x - r_1) \cdots (x - r_k) \, C$ である。したがって、 $n$ 次の零でない多項式は高々 $n$ 個の実数の根をもつ。
  使う結果: 2. 積の符号, 11. 剰余の定理と因数定理. 支え: A (帰納法). 証明される授業: 実数係数の多項式の代数.
4. 恒等式の性質. 二つの多項式がすべての実数で同じ値をとるのは、各次数ごとに係数が等しいときに限る。したがって、各多項式はその関数と同一視され、平方根は有理関数でない。
  使う結果: 12. 異なる根の補題. 証明される授業: 実数係数の多項式の代数.
5. 解の公式と判別式. 平方完成により、 $ax^2 + bx + c$ の根は $\frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$ である。ただし $\Delta = b^2 - 4ac$ 。 $\Delta > 0$ ならば二つ、 $\Delta = 0$ ならば一つ、 $\Delta < 0$ ならば一つもなく、この場合その多項式は実数の範囲で既約である。
  使う結果: 2. 積の符号, 11. 剰余の定理と因数定理. 証明される授業: 二次多項式と 2n 次三項式の因数分解.
6. 因数分解と解と係数の関係. $\Delta \geq 0$ ならば $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$ であり、 $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ 、 $x_1 x_2 = \frac{c}{a}$ である。
  使う結果: 14. 解の公式と判別式, 13. 恒等式の性質. 証明される授業: 二次多項式と 2n 次三項式の因数分解.
7. 判別式が負の複二次式. $b^2 - 4ac < 0$ ならば、三項式 $ax^4 + bx^2 + c$ は、 $a$ に二つの既約な実数係数の 2 次多項式の積を掛けたものであり、その二つは $x^2 - kx + m$ と $x^2 + kx + m$ である。
  使う結果: 14. 解の公式と判別式. 証明される授業: 二次多項式と 2n 次三項式の因数分解.
8. 組立除法. $P$ を $x - r$ で割った商の係数は、最高次の係数を下ろし、各係数に直前の数の $r$ 倍を加えることで得られる。最後の数が余り $P(r)$ である。
  使う結果: 10. 除法の原理, 13. 恒等式の性質. 証明される授業: 高次多項式の根と組立除法.
9. 有理根. 既約分数 $\frac{p}{q}$ が整数係数の多項式の根であり、 $a_0 \neq 0$ ならば、 $p$ は $a_0$ を割り切り、 $q$ は $a_n$ を割り切る。証明には第一単元のユークリッドの補題を用いる。
  支え: B (ユークリッドの補題). 証明される授業: 高次多項式の根と組立除法.
10. 繰り返しの組立除法. 根 $r$ の重複度が $k$ である、すなわち $P = (x - r)^k C$ かつ $C(r) \neq 0$ であるのは、 $x - r$ で次々に割ったとき、最初の $k$ 個の余りが零で、その直後の余りが零でないときに限る。
  使う結果: 17. 組立除法, 10. 除法の原理, 11. 剰余の定理と因数定理. 証明される授業: 高次多項式の根と組立除法.
11. 根の上界. 実数の根はすべて $\abs{r} < 1 + \frac{M}{\abs{a_n}}$ を満たし（コーシーの上界。ここで $M$ はほかの係数の絶対値のうち最大のもの）、 $x - c$ による組立除法（ただし $c > 0$ 、 $a_n > 0$ ）で負の数を含まない行が得られれば、どの実数の根も $c$ を超えない。
  使う結果: 17. 組立除法. 証明される授業: 高次多項式の根と組立除法.
12. 実数の範囲での因数分解. $n \geq 1$ 次の実多項式はすべて、その最高次の係数に、因数 $x - r$ （ $r$ は実数）と、実数の範囲で既約なモニックの 2 次因数とを掛けたものである。
  使う結果: 14. 解の公式と判別式, 10. 除法の原理, 17. 組立除法. 支え: A (帰納法), E (代数学の基本定理), D (共役な根). 証明される授業: 高次多項式の根と組立除法.
第 3 区間商からグラフへ
- 約分が等式になるのはいつか、二つの分数式が等しいのはいつかを明確にする。
- 真分数式を部分分数に分解する。
- 因数分解から多項式や商の符号を読み取り、それによって不等式を解き、定義域を求める。
- 有理関数と累乗根を含む関数を解析する。鉛直、水平、斜め、曲線の漸近線、定義域の端、値域。
1. 約分の補題. $QC$ を零にしないすべての実数で、分数式 $\frac{PC}{QC}$ は $\frac{P}{Q}$ と同じ値をとる。両者が同じ関数になるのは、後者を前者の定義域に制限したときだけである。
  使う結果: 2. 積の符号. 証明される授業: 分数式と部分分数分解.
2. 分数式の相等. 有限個を除くすべての実数で一致する二つの多項式は等しい。このことから、 $\frac{P}{Q}$ と $\frac{R}{S}$ が $QS$ が零でないところで一致するのは、 $PS = QR$ のときに限る。
  使う結果: 12. 異なる根の補題, 13. 恒等式の性質. 証明される授業: 分数式と部分分数分解.
3. 部分分数. 真分数式はすべて、 $\frac{A}{(x - r)^j}$ と $\frac{Bx + C}{(x^2 + px + q)^j}$ の形の項の和としてただ一通りに表され、項は分母の各因数の各累乗に一つずつある。1 次因数の場合、存在は項を一つずつ分離することで、一意性は各根で最高次の累乗を分離することで得られる。既約な 2 次因数の場合、どちらも認める。
  使う結果: 2. 積の符号, 11. 剰余の定理と因数定理, 10. 除法の原理, 23. 分数式の相等, 21. 実数の範囲での因数分解. 支え: F (ベズーと因数分解の一意性). 証明される授業: 分数式と部分分数分解.
4. 多項式の符号. 零でない $n$ 個の因数の積は、負の因数が奇数個あれば負である。したがって、因数分解された多項式の符号が根を通過するときに変わるのは、その重複度が奇数のときに限り、既約因数はその最高次の係数の符号を保つ。
  使う結果: 2. 積の符号, 14. 解の公式と判別式, 19. 繰り返しの組立除法. 支え: A (帰納法). 証明される授業: 符号表と不等式.
5. 鉛直漸近線と除去可能な点. $r$ が $\frac{A}{B}$ の分母を零にし、 $A(r) \neq 0$ ならば、直線 $x = r$ は鉛直漸近線である。 $A(r) = 0$ ならば共通因数が約分でき、約分した分数式が $r$ で定義されていれば、そこは除去可能な点である。
  使う結果: 11. 剰余の定理と因数定理, 22. 約分の補題, 25. 多項式の符号. 支え: G (極限と連続性). 証明される授業: 符号表と不等式.
6. 有理関数の漸近線. $P = Q \cdot C + R$ ならば、 $\frac{P}{Q}$ と $C$ の差は $\frac{R}{Q}$ であり、両端で $0$ に近づく。商 $C$ が水平、斜め、または曲線の漸近線であり、鉛直漸近線の近くで枝がどちらへ逃げるかは符号表が決める。
  使う結果: 10. 除法の原理, 26. 鉛直漸近線と除去可能な点. 支え: G (極限と連続性). 証明される授業: 有理関数：漸近線とグラフ.
7. 有理関数の零点と値域. 中間値の定理により、定義域のある区間で符号を変える有理関数はそこで零になり、定義域のある区間でどんな数よりも大きい値と小さい値をとる関数は、そこですべての実数値をとる。方程式 $y \cdot Q(x) = P(x)$ の次数が $2$ ならば、その判別式が値域を与える。
  使う結果: 14. 解の公式と判別式, 27. 有理関数の漸近線. 支え: G (極限と連続性), H (中間値). 証明される授業: 有理関数：漸近線とグラフ.
8. 累乗根を含む場合の定義域と端. 累乗根を含む関数の定義域は、その条件の符号表が与える集合の共通部分である。重複度が奇数の根が分子の根号の中身を零にするならば、グラフはそこで $x$ 軸上で終わる。分子が零でないまま分母が零になるならば、鉛直漸近線がある。そして中間値の定理により、各枝は、その端で到達するか近づく値の間にあるすべての値をとる。
  使う結果: 25. 多項式の符号, 26. 鉛直漸近線と除去可能な点. 支え: G (極限と連続性), H (中間値). 証明される授業: 根号を含む関数：定義域・符号・グラフ.
9. 累乗根を含む場合の漸近線. $\sqrt{x^2} = \abs{x}$ であるから、累乗根を含む関数の漸近線は $x \to \infty$ のときと $x \to -\infty$ のときに別々に求め、両端で異なることがある。 $\frac{f(x)}{x}$ が数に近づかなければ、直線の漸近線はない。
  使う結果: 27. 有理関数の漸近線. 支え: G (極限と連続性). 証明される授業: 根号を含む関数：定義域・符号・グラフ.

解析幾何へ. 次の単元は、平面の曲線をその方程式を通して調べる。直線、平方完成で特徴づけられる放物線、 $\pm \sqrt{r^2 - x^2}$ のグラフの和集合としての円、そして二本の漸近線をもつ双曲線 $y = \frac{1}{x}$ である。