Funzioni algebriche e polinomi: sintesi e sfide

Riepilogo

Questa lezione chiude l’unità sulle funzioni algebriche e i polinomi. Riunisce in un’unica catena deduttiva ciò che è stato dimostrato nelle sue nove lezioni, dal concetto di funzione e dall’algoritmo della divisione fino allo studio completo delle funzioni razionali e delle funzioni con radicali; mostra come l’unità poggi sui numeri naturali e sugli insiemi numerici delle unità precedenti, indica con onestà i risultati che sono stati ammessi senza dimostrazione e spiega come si colleghi alla geometria analitica del piano. Termina con dieci sfide, di difficoltà superiore a quella dei problemi proposti dell’unità, che richiedono di combinare diverse lezioni e di trovare un’idea.

Obiettivi di apprendimento

Ricostruire la catena di definizioni e teoremi dell’unità, spiegando quale risultato poggia su quale.
Mettere in relazione i teoremi sui polinomi con i loro analoghi sui numeri interi studiati nelle unità precedenti.
Distinguere i risultati dimostrati nell’unità da quelli che sono stati ammessi e saranno dimostrati in altri corsi.
Risolvere problemi che combinano diverse lezioni dell’unità e richiedono un’idea non meccanica, tra cui l’impostazione di una situazione concreta per mezzo di polinomi.

Ciò che l’unità ha ottenuto

Le funzioni e le loro operazioni

L’unità è cominciata con il concetto di funzione: una regola che associa a ogni elemento del dominio esattamente un’immagine. Nella lezione sulle funzioni algebriche si sono fissate le regole che determinano il dominio di una formula, si è dimostrato il lemma del segno di un prodotto, base di tutto lo studio successivo dei segni, e si sono classificate le funzioni in polinomiali, razionali, irrazionali e trascendenti; che la classificazione, che riguarda le funzioni e non le loro formule, non è vuota lo ha mostrato la dimostrazione che $\frac{1}{x}$ non coincide con alcun polinomio, e la lezione sull’algebra dei polinomi ha poi dimostrato che $\sqrt{x}$ non è una funzione razionale. La lezione sulle operazioni tra funzioni ha trattato le funzioni reali come oggetti. Dalla lezione su insiemi, relazioni e funzioni della prima unità ha ereditato l’associatività della composizione e il teorema secondo cui una funzione ha inversa se e solo se è biiettiva; ha aggiunto ciò che è proprio delle funzioni reali: il dominio di una composizione, con il quale la composizione resta associativa ma non commutativa; che una funzione strettamente monotona è biiettiva sul suo insieme immagine e ha inversa monotona, il che permette di invertire per restrizione le funzioni che non sono iniettive; che il grafico dell’inversa è il simmetrico rispetto alla retta $y = x$ ; e che ogni funzione di dominio simmetrico è, in un unico modo, somma di una funzione pari e di una dispari.

I polinomi e la loro scomposizione

Il centro dell’unità è la teoria dei polinomi, che si sviluppa come una catena di teoremi, ciascuno appoggiato al precedente.

L’algoritmo della divisione, dimostrato nella lezione sull’algebra dei polinomi, dà un quoziente e un resto unici. Con divisore $x - r$ , il resto è $P(r)$ (teorema del resto), e da qui il teorema del fattore: $r$ è radice se e solo se $x - r$ divide $P$ .
Applicato a più radici, il teorema del fattore dà il lemma delle radici distinte: un polinomio non nullo di grado $n$ ha al più $n$ radici. Da esso si deduce il principio d’identità dei polinomi: due polinomi definiscono la stessa funzione se e solo se hanno gli stessi coefficienti. Poiché fino a quel momento i polinomi erano stati trattati attraverso i loro coefficienti, l’ordine non è circolare; e da allora ogni polinomio si identifica con la sua funzione, si possono confrontare i coefficienti, due polinomi che coincidono in infiniti punti sono uguali e si dimostra che la radice quadrata non è una funzione razionale.
Per trovare le radici, la lezione sulla scomposizione dei trinomi di secondo grado ha completato il quadrato e ha ottenuto la formula risolutiva, il discriminante e le formule di Viète; la lezione sulle radici dei polinomi di grado superiore ha aggiunto la divisione sintetica, il teorema delle radici razionali, la molteplicità e le limitazioni delle radici.
Ammesso il teorema fondamentale dell’algebra, e con il teorema delle radici coniugate, si è dimostrata la fattorizzazione nei reali: ogni polinomio reale è il suo coefficiente direttivo per fattori $x - r$ e per fattori quadratici irriducibili.

P(x) = a_n (x - r_1) \cdots (x - r_k) \left( x^2 + p_1 x + s_1 \right) \cdots \left( x^2 + p_m x + s_m \right), \qquad k + 2m = n

Dal quoziente al grafico

Con la scomposizione in mano, la seconda metà dell’unità ha studiato i quozienti. La lezione sulle frazioni algebriche ha mostrato che semplificare un fattore comune è un’uguaglianza solo sul dominio originario, ha caratterizzato l’uguaglianza di due frazioni e ha dimostrato l’esistenza e l’unicità della decomposizione in fratti semplici quando il denominatore ha solo fattori lineari: con fattori distinti, i coefficienti si ottengono valutando nelle radici un’identità che, per il principio d’identità dei polinomi, vale anche là dove le frazioni non sono definite; con fattori ripetuti, l’unicità richiede di isolare in ogni radice il termine di potenza massima. La lezione sulle tabelle dei segni e disequazioni ha esteso la regola dei segni a $n$ fattori e ha letto nella scomposizione il segno di un polinomio o di un quoziente: il segno cambia attraversando una radice di molteplicità dispari, si conserva in una di molteplicità pari, e i fattori irriducibili non contano. Ne sono seguite la risoluzione di disequazioni e la determinazione di domini e la distinzione tra asintoti verticali e punti di discontinuità eliminabile.

Le ultime due lezioni hanno riunito tutti gli strumenti. Nella lezione sulle funzioni razionali, la divisione scrive $\frac{P}{Q}$ come un polinomio $C$ più una frazione propria che tende a zero, e $C$ è l’asintoto orizzontale, obliquo o curvilineo; la tabella dei segni decide verso dove fuggono i rami, e il discriminante dell’equazione $y \cdot Q(x) = P(x)$ dà l’insieme immagine quando quell’equazione è di grado $2$ . Nella lezione sulle funzioni con radicali, l’uguaglianza $\sqrt{x^2} = \abs{x}$ obbliga a trattare separatamente i valori grandi positivi e negativi della variabile, e una stessa funzione può avere due asintoti distinti.

Ciò che si è ammesso

L’unità è stata esplicita su ciò che non ha dimostrato. Si è ammesso il teorema fondamentale dell’algebra, le cui dimostrazioni richiedono strumenti dell’analisi. Si sono usate con un senso intuitivo le frecce dei limiti, con cui si descrivono gli asintoti e il comportamento di una funzione vicino a un punto o all’infinito: ciò che si è dimostrato è il segno della funzione a destra e a sinistra e la decomposizione che separa l’asintoto, e ciò che si è descritto, l’avvicinamento stesso. Si è ammesso che le funzioni razionali e le funzioni con radicali sono continue in ogni intervallo del loro dominio e, nella sua forma generale, il teorema dei valori intermedi: una funzione continua in un intervallo $\icc{a}{b}$ assume ogni valore compreso tra $f(a)$ e $f(b)$ , e in particolare si annulla se $f(a)$ e $f(b)$ hanno segni opposti, che è il teorema di Bolzano; con esso si sono localizzati zeri che l’algebra non raggiunge e si sono calcolati insiemi immagine. Si sono ammesse l’esistenza e l’unicità della decomposizione in fratti semplici quando ci sono fattori quadratici irriducibili, che richiedono l’identità di Bézout tra polinomi, e l’unicità della fattorizzazione nei reali, da cui dipende che il minimo comune multiplo di più polinomi sia determinato a meno di un fattore costante. Infine, si è ammesso che ogni funzione definita da un’espressione algebrica soddisfa un’equazione polinomiale in $x$ e $y$ , fatto da cui non dipende nessun altro risultato. E sono rimasti aperti i massimi e i minimi che non si rivelano con una trasformazione algebrica. I limiti, la continuità, i valori intermedi, gli estremi e l’integrazione dei fratti semplici si studiano nei corsi di Analisi I e Analisi II; il teorema fondamentale dell’algebra, invece, si dimostra in un corso di analisi complessa.

La figura seguente riunisce i tre tratti in un’unica catena. Ogni nodo della colonna è una definizione o un teorema, numerato secondo l’ordine logico e unito da un arco agli anelli precedenti che la sua dimostrazione usa; intorno fluttuano i sostegni, cioè i principi e gli strumenti a cui la catena ricorre più e più volte, ciascuno unito da una linea continua agli anelli che si appoggiano su di esso. Tutti si ammettono o provengono dalle unità precedenti, e per questo sono disegnati come cerchietti vuoti: i risultati che l’unità dimostra e riutilizza, come il lemma del segno di un prodotto o il teorema del fattore, figurano come anelli, uniti da archi a quelli che li usano. Facendo clic su un sostegno si evidenziano tutti gli anelli che lo usano, e ogni anello rimanda alla lezione in cui viene dimostrato.

Sostegni della catena

AInduzione. Una proprietà che vale in un caso base e passa da ogni caso al successivo, o da tutti i precedenti al successivo, vale sempre; dimostrato nell’unità sui numeri naturali. Ammesso senza dimostrazione in questa unità.
BLemma di Euclide. Se un primo divide un prodotto di interi, divide uno dei fattori; ne segue che, se un intero divide un prodotto ed è coprimo con uno dei fattori, divide l’altro; dimostrato nell’unità sui numeri naturali. Ammesso senza dimostrazione in questa unità.
CComposizione e inversa. La composizione di funzioni è associativa e conserva l’iniettività, e una funzione ha inversa se e solo se è biiettiva, e quell’inversa è unica; dimostrato nella lezione su insiemi, relazioni e funzioni. Ammesso senza dimostrazione in questa unità.
DRadici coniugate. Se un numero complesso è radice di un polinomio a coefficienti reali, lo è anche il suo coniugato; dimostrato nell’unità sugli insiemi numerici. Ammesso senza dimostrazione in questa unità.
ETeorema fondamentale dell’algebra. Ogni polinomio di grado $n \geq 1$ a coefficienti complessi ha almeno una radice complessa; si ammette senza dimostrazione. Ammesso senza dimostrazione in questa unità.
FBézout e unicità della fattorizzazione. Se due polinomi non hanno fattori comuni di grado positivo, esistono polinomi $U$ e $V$ con $U A + V B = 1$ ; e la fattorizzazione di un polinomio reale in fattori lineari e quadratici irriducibili è unica a meno dell’ordine; si ammettono, perché il corso non sviluppa il massimo comune divisore di polinomi. Ammesso senza dimostrazione in questa unità.
GLimiti e continuità. Le frecce $x \to r$ e $f(x) \to \infty$ hanno un senso intuitivo, e le funzioni razionali e le funzioni con radicali sono continue in ogni intervallo del loro dominio; si ammette fino al corso di Analisi I. Ammesso senza dimostrazione in questa unità.
HValori intermedi. Se una funzione è continua in un intervallo $\icc{a}{b}$ , vi assume ogni valore compreso tra $f(a)$ e $f(b)$ ; in particolare, se $f(a)$ e $f(b)$ hanno segni opposti, si annulla in qualche punto di $\ioo{a}{b}$ (teorema di Bolzano); si ammette fino al corso di Analisi I. Ammesso senza dimostrazione in questa unità.

Tratto 1 Le funzioni e le loro operazioni
- Definire la funzione e fissare le regole che determinano il dominio di una formula.
- Dimostrare il lemma del segno di un prodotto, base dello studio successivo dei segni.
- Classificare le funzioni algebriche e dimostrare che la classificazione non è vuota.
- Trattare le funzioni reali come oggetti: dominio della composizione, inversa per restrizione a un insieme in cui la funzione è monotona, grafico dell’inversa e scomposizione in parte pari e parte dispari.
1. Funzione e dominio. Una funzione associa a ogni elemento del suo dominio esattamente un’immagine; il dominio di una formula esclude gli zeri dei denominatori e i radicandi negativi delle radici di indice pari.
  Dimostrato in: Funzioni algebriche di variabile reale.
2. Segno di un prodotto. Per reali $a$ e $b$ , $ab = 0$ se e solo se $a = 0$ o $b = 0$ , e $ab > 0$ se e solo se entrambi sono non nulli e dello stesso segno; se $b \neq 0$ , il quoziente $\frac{a}{b}$ ha il segno di $ab$ .
  Dimostrato in: Funzioni algebriche di variabile reale.
3. Un quoziente che non è un polinomio. Nessuna funzione polinomiale coincide con $\frac{1}{x}$ in tutti i reali non nulli; quindi esistono funzioni razionali che non sono polinomiali.
  Usa: 1. Funzione e dominio. Dimostrato in: Funzioni algebriche di variabile reale.
4. Grafici di potenze e radici. Per $n \geq 2$ , le funzioni $x^n$ e $\sqrt[n]{x}$ conservano l’ordine dei reali non negativi, $x^n < x < \sqrt[n]{x}$ se $0 < x < 1$ , e la potenza è pari o dispari secondo che lo sia $n$ .
  Usa: 1. Funzione e dominio. Dimostrato in: Funzioni algebriche di variabile reale.
5. Dominio della composizione. Per funzioni reali, il dominio di $f \circ g$ è formato dagli $x$ del dominio di $g$ la cui immagine sta nel dominio di $f$ ; con questi domini la composizione è associativa, e non è commutativa.
  Usa: 1. Funzione e dominio. Si appoggia su: C (Composizione e inversa). Dimostrato in: Operazioni tra funzioni, inversa e trasformazioni dei grafici.
6. Funzioni monotone. Ogni funzione strettamente crescente o strettamente decrescente è iniettiva, e la somma di due funzioni crescenti è crescente.
  Usa: 1. Funzione e dominio. Dimostrato in: Operazioni tra funzioni, inversa e trasformazioni dei grafici.
7. Inversa di una funzione monotona. Una funzione strettamente crescente in un insieme $A$ di reali è biiettiva da $A$ nel suo insieme immagine, e la sua inversa è strettamente crescente; lo stesso vale per quelle strettamente decrescenti. Così si invertono, restringendo il dominio, le funzioni che non sono iniettive.
  Usa: 6. Funzioni monotone. Si appoggia su: C (Composizione e inversa). Dimostrato in: Operazioni tra funzioni, inversa e trasformazioni dei grafici.
8. Grafico dell’inversa. Il punto $(a, b)$ sta sul grafico di $f$ se e solo se $(b, a)$ sta su quello di $f^{-1}$ ; quindi il grafico dell’inversa è il simmetrico di quello di $f$ rispetto alla retta $y = x$ .
  Usa: 7. Inversa di una funzione monotona. Si appoggia su: C (Composizione e inversa). Dimostrato in: Operazioni tra funzioni, inversa e trasformazioni dei grafici.
9. Parte pari e parte dispari. Il prodotto di due funzioni pari o di due dispari è pari, e quello di una pari e una dispari è dispari; ogni funzione di dominio simmetrico è, in un unico modo, somma di una funzione pari e di una dispari.
  Usa: 1. Funzione e dominio. Dimostrato in: Operazioni tra funzioni, inversa e trasformazioni dei grafici.
Tratto 2 I polinomi e la loro scomposizione
- Dimostrare l’algoritmo della divisione e dedurne i teoremi del resto e del fattore.
- Limitare il numero di radici di un polinomio e ottenere il principio d’identità dei polinomi.
- Trovare le radici: formula risolutiva, discriminante, formule di Viète, divisione sintetica, radici razionali, molteplicità e limitazioni.
- Dimostrare, ammesso il teorema fondamentale dell’algebra, la fattorizzazione di ogni polinomio reale in fattori lineari e quadratici irriducibili.
1. Algoritmo della divisione. Dati due polinomi $P$ e $Q$ , con $Q$ non nullo, esistono un quoziente $C$ e un resto $R$ unici tali che $P = Q \cdot C + R$ , con $R$ nullo o di grado minore di quello di $Q$ .
  Si appoggia su: A (Induzione). Dimostrato in: Algebra dei polinomi reali.
2. Teoremi del resto e del fattore. Il resto della divisione di $P$ per $x - r$ è $P(r)$ ; pertanto, $x - r$ divide $P$ se e solo se $P(r) = 0$ .
  Usa: 10. Algoritmo della divisione. Dimostrato in: Algebra dei polinomi reali.
3. Lemma delle radici distinte. Se $r_1, \ldots, r_k$ sono radici distinte di $P$ , allora $P = (x - r_1) \cdots (x - r_k) \, C$ ; di conseguenza, un polinomio non nullo di grado $n$ ha al più $n$ radici reali.
  Usa: 2. Segno di un prodotto, 11. Teoremi del resto e del fattore. Si appoggia su: A (Induzione). Dimostrato in: Algebra dei polinomi reali.
4. Principio d’identità dei polinomi. Due polinomi assumono lo stesso valore in ogni reale se e solo se hanno gli stessi coefficienti, potenza per potenza; quindi ogni polinomio si identifica con la sua funzione, e la radice quadrata non è una funzione razionale.
  Usa: 12. Lemma delle radici distinte. Dimostrato in: Algebra dei polinomi reali.
5. Formula risolutiva e discriminante. Completando il quadrato, le radici di $ax^2 + bx + c$ sono $\frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$ , con $\Delta = b^2 - 4ac$ : ce ne sono due se $\Delta > 0$ , una se $\Delta = 0$ , e nessuna se $\Delta < 0$ , caso in cui il trinomio è irriducibile nei reali.
  Usa: 2. Segno di un prodotto, 11. Teoremi del resto e del fattore. Dimostrato in: Scomposizione dei trinomi di secondo grado e di grado 2n.
6. Scomposizione e formule di Viète. Se $\Delta \geq 0$ , allora $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$ , con $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ e $x_1 x_2 = \frac{c}{a}$ .
  Usa: 14. Formula risolutiva e discriminante, 13. Principio d’identità dei polinomi. Dimostrato in: Scomposizione dei trinomi di secondo grado e di grado 2n.
7. Biquadratico con discriminante negativo. Se $b^2 - 4ac < 0$ , il trinomio $ax^4 + bx^2 + c$ è $a$ per il prodotto di due polinomi quadratici reali irriducibili, $x^2 - kx + m$ e $x^2 + kx + m$ .
  Usa: 14. Formula risolutiva e discriminante. Dimostrato in: Scomposizione dei trinomi di secondo grado e di grado 2n.
8. Divisione sintetica. I coefficienti del quoziente di $P$ per $x - r$ si ottengono abbassando il coefficiente direttivo e sommando a ogni coefficiente $r$ volte il numero precedente; l’ultimo numero è il resto, $P(r)$ .
  Usa: 10. Algoritmo della divisione, 13. Principio d’identità dei polinomi. Dimostrato in: Radici dei polinomi di grado superiore e divisione sintetica.
9. Radici razionali. Se la frazione irriducibile $\frac{p}{q}$ è radice di un polinomio a coefficienti interi con $a_0 \neq 0$ , allora $p$ divide $a_0$ e $q$ divide $a_n$ ; la dimostrazione usa il lemma di Euclide della prima unità.
  Si appoggia su: B (Lemma di Euclide). Dimostrato in: Radici dei polinomi di grado superiore e divisione sintetica.
10. Divisione sintetica ripetuta. La radice $r$ ha molteplicità $k$ , cioè $P = (x - r)^k C$ con $C(r) \neq 0$ , se e solo se, dividendo successivamente per $x - r$ , i primi $k$ resti sono nulli e il successivo no.
  Usa: 17. Divisione sintetica, 10. Algoritmo della divisione, 11. Teoremi del resto e del fattore. Dimostrato in: Radici dei polinomi di grado superiore e divisione sintetica.
11. Limitazioni delle radici. Ogni radice reale soddisfa $\abs{r} < 1 + \frac{M}{\abs{a_n}}$ (maggiorante di Cauchy), dove $M$ è il massimo dei valori assoluti degli altri coefficienti, e se la divisione sintetica per $x - c$ , con $c > 0$ e $a_n > 0$ , dà una riga senza numeri negativi, nessuna radice reale supera $c$ .
  Usa: 17. Divisione sintetica. Dimostrato in: Radici dei polinomi di grado superiore e divisione sintetica.
12. Fattorizzazione nei reali. Ogni polinomio reale di grado $n \geq 1$ è il suo coefficiente direttivo per fattori $x - r$ , con $r$ reale, e per fattori quadratici monici irriducibili nei reali.
  Usa: 14. Formula risolutiva e discriminante, 10. Algoritmo della divisione, 17. Divisione sintetica. Si appoggia su: A (Induzione), E (Teorema fondamentale dell’algebra), D (Radici coniugate). Dimostrato in: Radici dei polinomi di grado superiore e divisione sintetica.
Tratto 3 Dal quoziente al grafico
- Precisare quando una semplificazione è un’uguaglianza e quando due frazioni algebriche sono uguali.
- Decomporre una frazione propria in fratti semplici.
- Leggere nella scomposizione il segno di un polinomio o di un quoziente e risolvere con esso disequazioni e domini.
- Studiare le funzioni razionali e le funzioni con radicali: asintoti verticali, orizzontali, obliqui e curvilinei, estremi del dominio e insieme immagine.
1. Lemma di semplificazione. In ogni reale che non annulla $QC$ , la frazione $\frac{PC}{QC}$ vale quanto $\frac{P}{Q}$ ; le due sono la stessa funzione solo se la seconda si restringe al dominio della prima.
  Usa: 2. Segno di un prodotto. Dimostrato in: Frazioni algebriche e fratti semplici.
2. Uguaglianza di frazioni. Due polinomi che coincidono in tutti i reali salvo un numero finito sono uguali; ne segue che $\frac{P}{Q}$ e $\frac{R}{S}$ coincidono dove $QS$ non si annulla se e solo se $PS = QR$ .
  Usa: 12. Lemma delle radici distinte, 13. Principio d’identità dei polinomi. Dimostrato in: Frazioni algebriche e fratti semplici.
3. Fratti semplici. Ogni frazione propria è, in modo unico, somma di termini $\frac{A}{(x - r)^j}$ e $\frac{Bx + C}{(x^2 + px + q)^j}$ , uno per ogni potenza di ogni fattore del suo denominatore; con fattori lineari, l’esistenza si ottiene separando un termine alla volta e l’unicità isolando in ogni radice la potenza massima; con fattori quadratici irriducibili, entrambe si ammettono.
  Usa: 2. Segno di un prodotto, 11. Teoremi del resto e del fattore, 10. Algoritmo della divisione, 23. Uguaglianza di frazioni, 21. Fattorizzazione nei reali. Si appoggia su: F (Bézout e unicità della fattorizzazione). Dimostrato in: Frazioni algebriche e fratti semplici.
4. Segno di un polinomio. Un prodotto di $n$ fattori non nulli è negativo se ha un numero dispari di fattori negativi; pertanto, il segno di un polinomio scomposto cambia attraversando una radice se e solo se la sua molteplicità è dispari, e i fattori irriducibili conservano il segno del loro coefficiente direttivo.
  Usa: 2. Segno di un prodotto, 14. Formula risolutiva e discriminante, 19. Divisione sintetica ripetuta. Si appoggia su: A (Induzione). Dimostrato in: Tabelle dei segni e disequazioni.
5. Asintoti verticali e punti di discontinuità eliminabile. Se $r$ annulla il denominatore di $\frac{A}{B}$ e $A(r) \neq 0$ , la retta $x = r$ è un asintoto verticale; se $A(r) = 0$ , il fattore comune si semplifica e, se la frazione semplificata è definita in $r$ , questo è un punto di discontinuità eliminabile.
  Usa: 11. Teoremi del resto e del fattore, 22. Lemma di semplificazione, 25. Segno di un polinomio. Si appoggia su: G (Limiti e continuità). Dimostrato in: Tabelle dei segni e disequazioni.
6. Asintoti di una funzione razionale. Se $P = Q \cdot C + R$ , la differenza tra $\frac{P}{Q}$ e $C$ è $\frac{R}{Q}$ , che tende a $0$ a entrambi gli estremi: il quoziente $C$ è l’asintoto orizzontale, obliquo o curvilineo, e la tabella dei segni decide verso dove fuggono i rami accanto agli asintoti verticali.
  Usa: 10. Algoritmo della divisione, 26. Asintoti verticali e punti di discontinuità eliminabile. Si appoggia su: G (Limiti e continuità). Dimostrato in: Funzioni razionali: asintoti e grafico.
7. Zeri e insieme immagine di una funzione razionale. Per i valori intermedi, una funzione razionale che cambia segno in un intervallo del suo dominio vi si annulla, e una che in un intervallo del suo dominio assume valori maggiori e minori di qualsiasi numero vi assume tutti i valori reali; se l’equazione $y \cdot Q(x) = P(x)$ è di grado $2$ , il suo discriminante dà l’insieme immagine.
  Usa: 14. Formula risolutiva e discriminante, 27. Asintoti di una funzione razionale. Si appoggia su: G (Limiti e continuità), H (Valori intermedi). Dimostrato in: Funzioni razionali: asintoti e grafico.
8. Dominio ed estremi con radicali. Il dominio di una funzione con radicali è l’intersezione degli insiemi dati dalle tabelle dei segni delle sue condizioni; se una radice di molteplicità dispari annulla un radicando del numeratore, il grafico termina lì sull’asse $x$ ; se si annulla un denominatore con numeratore non nullo, c’è un asintoto verticale; e, per i valori intermedi, ogni ramo assume tutti i valori compresi tra quelli che raggiunge o a cui si avvicina ai suoi estremi.
  Usa: 25. Segno di un polinomio, 26. Asintoti verticali e punti di discontinuità eliminabile. Si appoggia su: G (Limiti e continuità), H (Valori intermedi). Dimostrato in: Funzioni con radicali: dominio, segno e grafico.
9. Asintoti con radicali. Poiché $\sqrt{x^2} = \abs{x}$ , l’asintoto di una funzione con radicali si trova separatamente quando $x \to \infty$ e quando $x \to -\infty$ , e può essere diverso a ciascun estremo; se $\frac{f(x)}{x}$ non tende a un numero, non c’è asintoto rettilineo.
  Usa: 27. Asintoti di una funzione razionale. Si appoggia su: G (Limiti e continuità). Dimostrato in: Funzioni con radicali: dominio, segno e grafico.

Verso la geometria analitica. L’unità successiva studia curve del piano attraverso le loro equazioni: le rette, la parabola, che si caratterizza completando il quadrato, la circonferenza come unione dei grafici di $\pm \sqrt{r^2 - x^2}$ e l’iperbole $y = \frac{1}{x}$ con i suoi due asintoti.

Nel resto di questa lezione

L’unità nel corso
Ciò che poggia sulle unità precedenti
Il legame con la geometria analitica
Valutazione d’uscita
Sfide
Un resto di grado enorme
Una funzione che ritorna dopo tre applicazioni
Un polinomio che commuta con un quadrato
Un polinomio che imita una frazione
Somme sulle radici di una cubica
Una radice quadrata più una radice cubica
Un prodotto telescopico
Una chiave ripartita fra tre persone
Una frazione racchiusa tra due numeri
Una radice con due comportamenti all’infinito