Funzioni con radicali: dominio, segno e grafico

Riepilogo

Questa lezione estende alle funzioni con radicali il metodo delle tabelle dei segni e della divisione tra polinomi: ne determina il dominio quando ci sono radici al numeratore e al denominatore, ne studia il segno e il comportamento agli estremi del dominio, dove il grafico termina in un punto o si avvicina a un asintoto verticale, e ne trova gli asintoti per valori grandi della variabile portando fuori da ogni radice la potenza più alta di $x$ , con attenzione ai casi $x$ positivo e $x$ negativo. Si conclude con l’insieme immagine, che si determina esattamente quando i limiti agli estremi lo permettono, e con lo studio completo di funzioni il cui radicando è un trinomio di grado $8$ .

Obiettivi di apprendimento

Determinare il dominio di una funzione con radicali al numeratore e al denominatore mediante tabelle dei segni e la scomposizione di trinomi di grado $2n$ .
Studiare il segno di una funzione con radicali e il suo comportamento agli estremi del dominio, distinguendo gli estremi in cui il grafico termina dagli asintoti verticali.
Trovare gli asintoti di una funzione con radicali quando $x$ tende a $\infty$ e a $-\infty$ , considerando separatamente i valori positivi e negativi della variabile.
Tracciare il grafico di una funzione con radicali e determinarne l’insieme immagine quando lo studio lo permette, riconoscendo i casi che richiedono le tecniche del calcolo differenziale.
Studiare funzioni con radicali che descrivono grandezze applicate, come la differenza delle distanze da due antenne o il fattore di Lorentz della relatività, e interpretarne nel contesto il dominio, gli asintoti e l’insieme immagine.

Il dominio di una funzione con radicali

Nella lezione sulle funzioni algebriche si sono stabilite le regole che fissano il dominio di una funzione definita da una formula: nessun denominatore può valere zero, e il radicando di una radice di indice pari non può essere negativo. Quando la radice è in un denominatore, le due regole agiscono insieme, e il suo radicando deve essere strettamente positivo; quando è al numeratore, basta che sia non negativo. Le radici di indice dispari non impongono alcuna condizione, salvo quella di non annullarsi se sono in un denominatore.

Se i radicandi sono polinomi di grado maggiore di $1$ , ogni condizione è una disequazione polinomiale, che si risolve scomponendo e costruendo una tabella dei segni, come nella lezione sulle tabelle dei segni e disequazioni. I fattori quadratici si ottengono con la formula risolutiva, e i trinomi della forma $a x^{2n} + b x^n + c$ si riconducono a trinomi di secondo grado con il cambio di variabile $u = x^n$ , come nella lezione sulla scomposizione dei trinomi di secondo grado. Un fattore quadratico con discriminante negativo conserva sempre il segno del suo coefficiente direttivo, sicché non fornisce punti critici e può essere tolto dalla tabella.

Il dominio di una funzione con radicali si ottiene riunendo tutte le condizioni insieme: radicando non negativo per ogni radice di indice pari del numeratore, radicando positivo per ogni radice di indice pari di un denominatore, e denominatori diversi da zero. Ogni condizione si risolve con una tabella dei segni, e il dominio è l’intersezione degli insiemi ottenuti.