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Topos Uranos
中文 (中国)

含根式的函数：定义域、符号与图像

摘要

本课把符号表和多项式除法的方法推广到含根式的函数：当分子和分母中都有根式时确定其定义域，研究其符号以及在定义域端点处的性态（图像在那里终止于一点或趋近一条垂直渐近线），并从每个根式中提出 xx 的最高次幂，求出变量很大时的渐近线，同时注意 xx 为正与 xx 为负两种情形。最后讨论值域（当端点处的极限允许时可以精确确定），并完整分析被开方数为 88 次三项式的函数。

学习目标

  1. 借助符号表和 2n2n 次三项式的因式分解，确定分子和分母中含根式的函数的定义域。
  2. 研究含根式的函数的符号及其在定义域端点处的性态，区分图像终止的端点与垂直渐近线。
  3. 求含根式的函数当 xx 趋于 ∞\infty 和趋于 −∞-\infty 时的渐近线，对变量的正值与负值分别处理。
  4. 画出含根式的函数的图像，并在分析允许时确定其值域，辨认需要微分学方法的情形。
  5. 分析描述应用量的含根式的函数，例如到两座天线的距离之差或相对论中的洛伦兹因子，并结合实际情境解释其定义域、渐近线和值域。

含根式的函数的定义域

在关于代数函数的课中，已经确立了由公式给出的函数的定义域所遵循的规则：任何分母都不能等于零，偶次方根的被开方数不能为负。当根式位于分母中时，两条规则同时起作用，其被开方数必须严格为正；当根式位于分子中时，只需被开方数非负。奇次方根不施加任何条件，只是位于分母中时不能为零。

如果被开方数是次数大于 11 的多项式，那么每个条件都是一个多项式不等式，通过因式分解并构造符号表来求解，如同在关于符号表与不等式的课中那样。二次因式用求根公式求得，形如 ax2n+bxn+ca x^{2n} + b x^n + c 的三项式则通过换元 u=xnu = x^n 化为二次式，如同在关于二次多项式的因式分解的课中那样。判别式为负的二次因式始终保持其首项系数的符号，因此不提供临界点，可以从表中去掉。

含根式的函数的定义域由同时满足所有条件得到：分子中每个偶次方根的被开方数非负，分母中每个偶次方根的被开方数为正，各分母不等于零。每个条件用一张符号表求解，而定义域是所得各集合的交集。