बीजीय फलन और बहुपद: सारांश और चुनौतियाँ

1. खंड 1 फलन और उनकी संक्रियाएँ

   • फलन को परिभाषित करना और वे नियम स्थापित करना जो किसी सूत्र का प्रांत निर्धारित करते हैं।
   • गुणनफल के चिह्न की प्रमेयिका सिद्ध करना, जो चिह्नों के आगे के अध्ययन की नींव है।
   • बीजीय फलनों का वर्गीकरण करना और सिद्ध करना कि वर्गीकरण रिक्त नहीं है।
   • वास्तविक फलनों को वस्तुओं के रूप में बरतना: संघटन का प्रांत, ऐसे समुच्चय पर प्रतिबंधन द्वारा प्रतिलोम जहाँ फलन एकदिष्ट है, प्रतिलोम का आलेख और सम तथा विषम भागों में वियोजन।

   1. फलन और प्रांत. फलन अपने प्रांत के प्रत्येक अवयव को ठीक एक प्रतिबिंब निर्दिष्ट करता है; किसी सूत्र का प्रांत हरों के शून्यकों और सम घातांक वाले मूलों की ऋणात्मक करणीगत राशियों को बाहर रखता है।

      सिद्ध किया गया: वास्तविक चर के बीजीय फलन.

   2. गुणनफल का चिह्न. वास्तविक संख्याओं $a$ और $b$ के लिए, $ab = 0$ यदि और केवल यदि $a = 0$ या $b = 0$, और $ab > 0$ यदि और केवल यदि दोनों शून्येतर हों और उनका चिह्न एक ही हो; यदि $b \neq 0$, तो भागफल $\frac{a}{b}$ का चिह्न वही है जो $ab$ का है।

      सिद्ध किया गया: वास्तविक चर के बीजीय फलन.

   3. एक भागफल जो बहुपद नहीं है. कोई भी बहुपद फलन सभी शून्येतर वास्तविक संख्याओं पर $\frac{1}{x}$ से संपाती नहीं होता; अतः ऐसे परिमेय फलन हैं जो बहुपद फलन नहीं हैं।

      उपयोग करती है: 1. फलन और प्रांत. सिद्ध किया गया: वास्तविक चर के बीजीय फलन.

   4. घातों और मूलों के आलेख. $n \geq 2$ के लिए, फलन $x^n$ और $\sqrt[n]{x}$ ऋणेतर वास्तविक संख्याओं के क्रम को बनाए रखते हैं, $x^n < x < \sqrt[n]{x}$ सत्य है जब $0 < x < 1$, और घात सम या विषम है, इस पर निर्भर करते हुए कि $n$ सम है या विषम।

      उपयोग करती है: 1. फलन और प्रांत. सिद्ध किया गया: वास्तविक चर के बीजीय फलन.

   5. संघटन का प्रांत. वास्तविक फलनों के लिए, $f \circ g$ का प्रांत उन $x$ से बनता है जो $g$ के प्रांत में हैं और जिनका प्रतिबिंब $f$ के प्रांत में है; इन प्रांतों के साथ संघटन साहचर्य है, और क्रमविनिमेय नहीं है।

      उपयोग करती है: 1. फलन और प्रांत. आधार: C (संघटन और प्रतिलोम). सिद्ध किया गया: फलनों पर संक्रियाएँ, प्रतिलोम फलन और आलेखों के रूपांतरण.

   6. एकदिष्ट फलन. प्रत्येक दृढ़तः वर्धमान या दृढ़तः ह्रासमान फलन एकैकी है, और दो वर्धमान फलनों का योग वर्धमान है।

      उपयोग करती है: 1. फलन और प्रांत. सिद्ध किया गया: फलनों पर संक्रियाएँ, प्रतिलोम फलन और आलेखों के रूपांतरण.

   7. एकदिष्ट फलन का प्रतिलोम. वास्तविक संख्याओं के किसी समुच्चय $A$ पर दृढ़तः वर्धमान फलन $A$ से अपने परिसर पर एकैकी आच्छादक है, और उसका प्रतिलोम दृढ़तः वर्धमान है; यही दृढ़तः ह्रासमान फलनों के लिए भी सत्य है। इस प्रकार प्रांत को प्रतिबंधित करके उन फलनों को उलटा जाता है जो एकैकी नहीं हैं।

      उपयोग करती है: 6. एकदिष्ट फलन. आधार: C (संघटन और प्रतिलोम). सिद्ध किया गया: फलनों पर संक्रियाएँ, प्रतिलोम फलन और आलेखों के रूपांतरण.

   8. प्रतिलोम का आलेख. बिंदु $(a, b)$, $f$ के आलेख पर है यदि और केवल यदि $(b, a)$, $f^{-1}$ के आलेख पर है; अतः प्रतिलोम का आलेख $f$ के आलेख का रेखा $y = x$ के सापेक्ष परावर्तन है।

      उपयोग करती है: 7. एकदिष्ट फलन का प्रतिलोम. आधार: C (संघटन और प्रतिलोम). सिद्ध किया गया: फलनों पर संक्रियाएँ, प्रतिलोम फलन और आलेखों के रूपांतरण.

   9. सम और विषम भाग. दो सम या दो विषम फलनों का गुणनफल सम है, और एक सम तथा एक विषम फलन का गुणनफल विषम है; सममित प्रांत वाला प्रत्येक फलन, एक ही प्रकार से, एक सम फलन और एक विषम फलन का योग है।

      उपयोग करती है: 1. फलन और प्रांत. सिद्ध किया गया: फलनों पर संक्रियाएँ, प्रतिलोम फलन और आलेखों के रूपांतरण.

2. खंड 2 बहुपद और उनका गुणनखंडन

   • विभाजन एल्गोरिथ्म सिद्ध करना और उससे शेषफल प्रमेय तथा गुणनखंड प्रमेय निकालना।
   • किसी बहुपद के मूलों की संख्या को परिबद्ध करना और सर्वसमिका सिद्धांत प्राप्त करना।
   • मूल ज्ञात करना: द्विघात सूत्र, विविक्तकर, मूलों और गुणांकों के संबंध, संश्लिष्ट विभाजन, परिमेय मूल, बहुलता और परिबंध।
   • बीजगणित की आधारभूत प्रमेय को स्वीकार करके, प्रत्येक वास्तविक बहुपद का रैखिक और अखंडनीय द्विघात गुणनखंडों में गुणनखंडन सिद्ध करना।

   10. विभाजन एल्गोरिथ्म. दो बहुपद $P$ और $Q$ दिए हों, जिनमें $Q$ शून्येतर है, तो एक अद्वितीय भागफल $C$ और एक अद्वितीय शेषफल $R$ होते हैं कि $P = Q \cdot C + R$, जहाँ $R$ शून्य है या उसकी घात $Q$ की घात से कम है।

       आधार: A (आगमन). सिद्ध किया गया: वास्तविक गुणांकों वाले बहुपदों का बीजगणित.

   11. शेषफल और गुणनखंड प्रमेय. $P$ को $x - r$ से विभाजित करने पर शेषफल $P(r)$ है; अतः $x - r$, $P$ को विभाजित करता है यदि और केवल यदि $P(r) = 0$।

       उपयोग करती है: 10. विभाजन एल्गोरिथ्म. सिद्ध किया गया: वास्तविक गुणांकों वाले बहुपदों का बीजगणित.

   12. अलग-अलग मूलों वाली प्रमेयिका. यदि $r_1, \ldots, r_k$, $P$ के अलग-अलग मूल हैं, तो $P = (x - r_1) \cdots (x - r_k) \, C$; फलतः घात $n$ का शून्येतर बहुपद अधिक से अधिक $n$ वास्तविक मूल रखता है।

       उपयोग करती है: 2. गुणनफल का चिह्न, 11. शेषफल और गुणनखंड प्रमेय. आधार: A (आगमन). सिद्ध किया गया: वास्तविक गुणांकों वाले बहुपदों का बीजगणित.

   13. सर्वसमिका सिद्धांत. दो बहुपद प्रत्येक वास्तविक संख्या पर एक ही मान लेते हैं यदि और केवल यदि उनके गुणांक, घात-दर-घात, समान हैं; अतः हर बहुपद की उसके फलन से पहचान की जाती है, और वर्गमूल परिमेय फलन नहीं है।

       उपयोग करती है: 12. अलग-अलग मूलों वाली प्रमेयिका. सिद्ध किया गया: वास्तविक गुणांकों वाले बहुपदों का बीजगणित.

   14. द्विघात सूत्र और विविक्तकर. वर्ग पूरा करने पर $ax^2 + bx + c$ के मूल $\frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$ हैं, जहाँ $\Delta = b^2 - 4ac$: दो मूल हैं यदि $\Delta > 0$, एक यदि $\Delta = 0$, और कोई नहीं यदि $\Delta < 0$, जिस स्थिति में बहुपद वास्तविक संख्याओं पर अखंडनीय है।

       उपयोग करती है: 2. गुणनफल का चिह्न, 11. शेषफल और गुणनखंड प्रमेय. सिद्ध किया गया: द्विघात बहुपद और घात 2n वाले त्रिपद का गुणनखंडन.

   15. गुणनखंडन और मूलों तथा गुणांकों के संबंध. यदि $\Delta \geq 0$, तो $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$, जहाँ $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ और $x_1 x_2 = \frac{c}{a}$।

       उपयोग करती है: 14. द्विघात सूत्र और विविक्तकर, 13. सर्वसमिका सिद्धांत. सिद्ध किया गया: द्विघात बहुपद और घात 2n वाले त्रिपद का गुणनखंडन.

   16. ऋणात्मक विविक्तकर वाला द्वि-द्विघात. यदि $b^2 - 4ac < 0$, तो त्रिपद $ax^4 + bx^2 + c$, $a$ और दो अखंडनीय वास्तविक द्विघात बहुपदों के गुणनफल का गुणनफल है, जो $x^2 - kx + m$ और $x^2 + kx + m$ हैं।

       उपयोग करती है: 14. द्विघात सूत्र और विविक्तकर. सिद्ध किया गया: द्विघात बहुपद और घात 2n वाले त्रिपद का गुणनखंडन.

   17. संश्लिष्ट विभाजन. $P$ को $x - r$ से विभाजित करने पर भागफल के गुणांक इस प्रकार मिलते हैं: अग्रग गुणांक को नीचे उतारो और हर गुणांक में पिछली संख्या का $r$ गुना जोड़ो; अंतिम संख्या शेषफल $P(r)$ है।

       उपयोग करती है: 10. विभाजन एल्गोरिथ्म, 13. सर्वसमिका सिद्धांत. सिद्ध किया गया: उच्च घात वाले बहुपदों के मूल और संश्लिष्ट विभाजन.

   18. परिमेय मूल. यदि अखंडनीय रूप वाली भिन्न $\frac{p}{q}$ पूर्णांक गुणांकों वाले किसी बहुपद का मूल है और $a_0 \neq 0$, तो $p$, $a_0$ को विभाजित करता है और $q$, $a_n$ को विभाजित करता है; उपपत्ति पहली इकाई की यूक्लिड की प्रमेयिका का उपयोग करती है।

       आधार: B (यूक्लिड की प्रमेयिका). सिद्ध किया गया: उच्च घात वाले बहुपदों के मूल और संश्लिष्ट विभाजन.

   19. बार-बार संश्लिष्ट विभाजन. मूल $r$ की बहुलता $k$ है, अर्थात् $P = (x - r)^k C$ जहाँ $C(r) \neq 0$, यदि और केवल यदि $x - r$ से क्रमशः विभाजित करने पर पहले $k$ शेषफल शून्य हैं और उसके ठीक बाद वाला नहीं।

       उपयोग करती है: 17. संश्लिष्ट विभाजन, 10. विभाजन एल्गोरिथ्म, 11. शेषफल और गुणनखंड प्रमेय. सिद्ध किया गया: उच्च घात वाले बहुपदों के मूल और संश्लिष्ट विभाजन.

   20. मूलों के परिबंध. प्रत्येक वास्तविक मूल $\abs{r} < 1 + \frac{M}{\abs{a_n}}$ को संतुष्ट करता है (कॉशी परिबंध), जहाँ $M$ शेष गुणांकों के निरपेक्ष मानों में सबसे बड़ा है, और यदि $x - c$ से संश्लिष्ट विभाजन, जहाँ $c > 0$ और $a_n > 0$, ऋणात्मक संख्याओं के बिना एक पंक्ति देता है, तो कोई वास्तविक मूल $c$ से अधिक नहीं होता।

       उपयोग करती है: 17. संश्लिष्ट विभाजन. सिद्ध किया गया: उच्च घात वाले बहुपदों के मूल और संश्लिष्ट विभाजन.

   21. वास्तविक संख्याओं पर गुणनखंडन. घात $n \geq 1$ वाला प्रत्येक वास्तविक बहुपद अपने अग्रग गुणांक, $x - r$ प्रकार के गुणनखंडों, जहाँ $r$ वास्तविक है, और वास्तविक संख्याओं पर अखंडनीय मोनिक द्विघात गुणनखंडों का गुणनफल है।

       उपयोग करती है: 14. द्विघात सूत्र और विविक्तकर, 10. विभाजन एल्गोरिथ्म, 17. संश्लिष्ट विभाजन. आधार: A (आगमन), E (बीजगणित की आधारभूत प्रमेय), D (संयुग्मी मूल). सिद्ध किया गया: उच्च घात वाले बहुपदों के मूल और संश्लिष्ट विभाजन.

3. खंड 3 भागफल से आलेख तक

   • स्पष्ट करना कि काटना कब समता है और दो बीजीय भिन्न कब बराबर हैं।
   • किसी उचित भिन्न को आंशिक भिन्नों में वियोजित करना।
   • गुणनखंडन में किसी बहुपद या भागफल का चिह्न पढ़ना और उससे असमिकाएँ हल करना और प्रांत ज्ञात करना।
   • परिमेय फलनों और मूल वाले फलनों का विश्लेषण करना: ऊर्ध्वाधर, क्षैतिज, तिर्यक और वक्र अनंतस्पर्शी, प्रांत के छोर और परिसर।

   22. काटने की प्रमेयिका. हर उस वास्तविक संख्या पर जो $QC$ को शून्य नहीं करती, भिन्न $\frac{PC}{QC}$ का मान वही है जो $\frac{P}{Q}$ का; दोनों एक ही फलन तभी हैं जब दूसरी को पहली के प्रांत पर प्रतिबंधित किया जाए।

       उपयोग करती है: 2. गुणनफल का चिह्न. सिद्ध किया गया: बीजीय भिन्न और आंशिक भिन्न.

   23. भिन्नों की समता. परिमित संख्या को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याओं पर संपाती दो बहुपद बराबर हैं; इससे यह निकलता है कि $\frac{P}{Q}$ और $\frac{R}{S}$ वहाँ संपाती हैं जहाँ $QS$ शून्य नहीं होता, यदि और केवल यदि $PS = QR$।

       उपयोग करती है: 12. अलग-अलग मूलों वाली प्रमेयिका, 13. सर्वसमिका सिद्धांत. सिद्ध किया गया: बीजीय भिन्न और आंशिक भिन्न.

   24. आंशिक भिन्न. प्रत्येक उचित भिन्न, एक ही प्रकार से, $\frac{A}{(x - r)^j}$ और $\frac{Bx + C}{(x^2 + px + q)^j}$ प्रकार के पदों का योग है, अपने हर के हर गुणनखंड की हर घात के लिए एक पद; रैखिक गुणनखंडों के साथ अस्तित्व एक बार में एक पद अलग करके प्राप्त होता है और अद्वितीयता प्रत्येक मूल पर सबसे बड़ी घात को अलग करके; अखंडनीय द्विघात गुणनखंडों के साथ दोनों स्वीकार किए जाते हैं।

       उपयोग करती है: 2. गुणनफल का चिह्न, 11. शेषफल और गुणनखंड प्रमेय, 10. विभाजन एल्गोरिथ्म, 23. भिन्नों की समता, 21. वास्तविक संख्याओं पर गुणनखंडन. आधार: F (बेज़ू और अद्वितीय गुणनखंडन). सिद्ध किया गया: बीजीय भिन्न और आंशिक भिन्न.

   25. बहुपद का चिह्न. $n$ शून्येतर गुणनखंडों का गुणनफल ऋणात्मक है यदि उसमें ऋणात्मक गुणनखंडों की संख्या विषम है; अतः गुणनखंडित बहुपद का चिह्न किसी मूल को पार करने पर बदलता है यदि और केवल यदि उसकी बहुलता विषम है, और अखंडनीय गुणनखंड अपने अग्रग गुणांक का चिह्न बनाए रखते हैं।

       उपयोग करती है: 2. गुणनफल का चिह्न, 14. द्विघात सूत्र और विविक्तकर, 19. बार-बार संश्लिष्ट विभाजन. आधार: A (आगमन). सिद्ध किया गया: चिह्न-सारणियाँ और असमिकाएँ.

   26. ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी और हटाने योग्य बिंदु. यदि $r$, $\frac{A}{B}$ के हर को शून्य करता है और $A(r) \neq 0$, तो रेखा $x = r$ एक ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी है; यदि $A(r) = 0$, तो उभयनिष्ठ गुणनखंड कट जाता है और, यदि सरलीकृत भिन्न $r$ पर परिभाषित है, तो यह एक हटाने योग्य बिंदु है।

       उपयोग करती है: 11. शेषफल और गुणनखंड प्रमेय, 22. काटने की प्रमेयिका, 25. बहुपद का चिह्न. आधार: G (सीमाएँ और सांतत्य). सिद्ध किया गया: चिह्न-सारणियाँ और असमिकाएँ.

   27. परिमेय फलन के अनंतस्पर्शी. यदि $P = Q \cdot C + R$, तो $\frac{P}{Q}$ और $C$ का अंतर $\frac{R}{Q}$ है, जो दोनों छोरों पर $0$ की ओर अग्रसर होता है: भागफल $C$ क्षैतिज, तिर्यक या वक्र अनंतस्पर्शी है, और चिह्न सारणी तय करती है कि ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शियों के पास शाखाएँ किस ओर भागती हैं।

       उपयोग करती है: 10. विभाजन एल्गोरिथ्म, 26. ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी और हटाने योग्य बिंदु. आधार: G (सीमाएँ और सांतत्य). सिद्ध किया गया: परिमेय फलन: अनंतस्पर्शी और आलेख.

   28. परिमेय फलन के शून्यक और परिसर. मध्यवर्ती मान प्रमेय से, जो परिमेय फलन अपने प्रांत के किसी अंतराल में चिह्न बदलता है वह उसमें शून्य होता है, और जो फलन अपने प्रांत के किसी अंतराल में किसी भी संख्या से बड़े और छोटे मान लेता है वह वहाँ सभी वास्तविक मान लेता है; यदि समीकरण $y \cdot Q(x) = P(x)$ की घात $2$ है, तो उसका विविक्तकर परिसर देता है।

       उपयोग करती है: 14. द्विघात सूत्र और विविक्तकर, 27. परिमेय फलन के अनंतस्पर्शी. आधार: G (सीमाएँ और सांतत्य), H (मध्यवर्ती मान). सिद्ध किया गया: परिमेय फलन: अनंतस्पर्शी और आलेख.

   29. मूलों के साथ प्रांत और छोर. मूल वाले फलन का प्रांत उन समुच्चयों का सर्वनिष्ठ है जो उसकी शर्तों की चिह्न सारणियाँ देती हैं; यदि विषम बहुलता वाला कोई मूल अंश की किसी करणीगत राशि को शून्य करता है, तो आलेख वहाँ $x$ अक्ष पर समाप्त होता है; यदि अंश शून्येतर रहते हुए कोई हर शून्य होता है, तो एक ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी है; और मध्यवर्ती मान प्रमेय से, प्रत्येक शाखा उन मानों के बीच के सभी मान लेती है जिन तक वह अपने छोरों पर पहुँचती है या जिनकी ओर बढ़ती है।

       उपयोग करती है: 25. बहुपद का चिह्न, 26. ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी और हटाने योग्य बिंदु. आधार: G (सीमाएँ और सांतत्य), H (मध्यवर्ती मान). सिद्ध किया गया: मूल वाले फलन: प्रांत, चिह्न और आलेख.

   30. मूलों के साथ अनंतस्पर्शी. चूँकि $\sqrt{x^2} = \abs{x}$, मूल वाले फलन का अनंतस्पर्शी अलग-अलग ज्ञात किया जाता है जब $x \to \infty$ और जब $x \to -\infty$, और वह हर छोर पर अलग हो सकता है; यदि $\frac{f(x)}{x}$ किसी संख्या की ओर अग्रसर नहीं होता, तो कोई सरल रेखीय अनंतस्पर्शी नहीं है।

       उपयोग करती है: 27. परिमेय फलन के अनंतस्पर्शी. आधार: G (सीमाएँ और सांतत्य). सिद्ध किया गया: मूल वाले फलन: प्रांत, चिह्न और आलेख.

विश्लेषिक ज्यामिति की ओर. अगली इकाई समतल के वक्रों का अध्ययन उनके समीकरणों के माध्यम से करती है: रेखाएँ, परवलय जिसका अभिलक्षण वर्ग पूरा करके होता है, वृत्त जो $\pm \sqrt{r^2 - x^2}$ के आलेखों का सम्मिलन है, और अतिपरवलय $y = \frac{1}{x}$ अपने दो अनंतस्पर्शियों के साथ।