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Topos Uranos
日本語

実変数の代数関数

要約

この課では、関数の概念をその定義域と値域とともに導入し、一つの実変数の代数関数、すなわち変数から和、差、積、商、累乗、累乗根によって得られる関数を学ぶ。式で定義された関数の定義域を求める方法と、簡単な場合に値域を計算する方法を扱い、累乗と累乗根のグラフを調べ、関数を代数関数と超越関数に、代数関数を多項式関数、有理関数、無理関数に分類する。

学習目標

  1. 関数の定義を述べ、それぞれの場合に定義域、終域、値域を区別する。
  2. 式で定義された代数関数の定義域を求める。
  3. 変数について解くことにより、簡単な代数関数の値域を計算する。
  4. 単調性と偶奇性をもとに、自然数を指数とする累乗と累乗根のグラフをかく。
  5. 関数を多項式関数、有理関数、無理関数、超越関数のいずれかに分類する。

変数と代数式

変数とは、数を書き込むことのできる場所を表す記号である。実数には伝統的に文字 xx、yy、tt が使われ、文字 zz はふつう複素数のためにとっておかれる。多くの変数が必要なときは添字を用いる：x1,x2,…,xnx_1, x_2, \ldots, x_n。

代数式とは、変数と実数から、有限回の和、差、積、商、整数を指数とする累乗、累乗根によって作られる式である。たとえば：

x3+5x+6x,2x+3x−13x^3 + 5x + \frac{6}{\sqrt{x}}, \qquad \frac{2x + 3}{\sqrt[3]{x - 1}}

代数式は変数のすべての値に対して意味をもつとは限らない。たとえば一つ目の式は、xx が負のときには平方根が存在しないので意味をもたず、xx が零のときにも零で割ることになるので意味をもたない。どこで意味をもつかを正確に定めることが、関数の研究が提起する最初の問題である。