有理関数：漸近線とグラフ

要約

有理関数は二つの多項式の商である。この課では、符号表と多項式の割り算という二つの代数的な道具を用いて、有理関数を調べ、そのグラフの概形をかく方法を学ぶ。分母の零点は定義域を定め、そこで分子が零になるかどうかに応じて、除去可能な点または鉛直漸近線を与える。鉛直漸近線の近くでは、曲線がどちらへ逃げていくかを符号表が決める。割り算は関数を多項式と零に近づく分数の和として書き、その多項式が、変数が無限大に近づくときにグラフが近づいていく水平漸近線、斜め漸近線または曲線の漸近線である。座標軸との交点を加えれば概形は完成し、値域は、可能なときは変数について解くことで、そうでないときは枝の振る舞いから得られる。

学習目標

有理関数の定義域を求め、分母の零点のうちで除去可能な点と鉛直漸近線を区別する。
鉛直漸近線の両側での有理関数の振る舞いを、その符号表を用いて記述する。
多項式の割り算を用いて、有理関数の水平漸近線、斜め漸近線または曲線の漸近線と、それに対するグラフの位置を求める。
有理関数のグラフの概形をかき、その値域を求める。方程式 $y = f(x)$ が解けるときは正確に、そうでないときは枝が許す範囲で求める。
電池が供給する電力、生産の平均費用、混合物の濃度のような応用的な状況を有理関数でモデル化し、その漸近線と値域を状況に即して解釈する。

有理関数とその定義域

代数関数の課では、二つの多項式の商であり、分母が零多項式でない関数をすべて有理関数と呼んだ。

f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}

その定義域は、分母を零にしない実数からなる。したがって、定義域を求めるには $Q$ の根を求める必要があり、そのためには解の公式と二次多項式の因数分解の課の技法、さらに多項式の代数の課の剰余の定理と因数定理が役に立つ。こうして、有理関数の調べはすべて、その分母の因数分解から始まる。

ところで、分母の零点がすべて同じ役割を果たすわけではない。符号表と不等式の課で見たように、数 $r$ が $Q$ と $P$ を同時に零にするならば、因数定理により二つの多項式はともに $x - r$ で割り切れ、共通因数は定義域のすべての点で約分される。約分した分数の分母が $r$ でもはや零にならないならば、数 $r$ は除去可能な点である。 $f$ のグラフは、約分した分数のグラフからただ一つの点を除いたものであり、約分した分数の値を割り当てれば、関数は $r$ で定義されることになる。逆に、すべての共通因数を約分したあとでも数 $r$ が分母を零にするならば、直線 $x = r$ は鉛直漸近線である。このことはすぐあとで正確に述べる。それゆえ、分数を調べる前に約分しておくのがよいが、約分された数が依然として定義域の外にあることを忘れてはならない。