符号表と不等式 · Topos Uranos

要約

この課では、多項式と多項式の商の符号を、その因数分解から求める方法を学び、分析を符号表にまとめる。根の重複度と既約な 2 次因数の役割を調べ、分母の零点において鉛直漸近線と除去可能な点を区別し、極限についての最初の直観的な考え方を与える。さらにこの方法を、多項式不等式と有理不等式（狭義のものと広義のもの）を解くことと、商や累乗根を含む関数の定義域を、入れ子になった累乗根も含めて求めることに応用する。これは代数関数の定義域、値域、グラフを扱う三つの課の最初のものである。

学習目標

因数分解された多項式の符号表を、各根の重複度と既約な 2 次因数を考慮してつくる。
多項式の商の符号を求め、分母の零点において鉛直漸近線と除去可能な点を見分ける。
多項式不等式と有理不等式を、狭義のものも広義のものも、符号の分からない式を掛けることなく解く。
商や累乗根を含む関数の定義域を、入れ子になった累乗根も含めて、符号表を用いて求める。
旅の所要時間、薬の効果、容器の設計などの応用問題を不等式に翻訳し、符号表を用いて解く。

多項式の符号

関数についての多くの問いは、ある式がどこで正、負、零になるかを知ることに帰着する。平方根の定義域は根号の中の式が負でないことを要求し、不等式はある式がどこで正になるかを問い、関数のグラフはちょうど関数が正になるところで $x$ 軸より上にある。この問いに答える道具が符号表であり、その素材は二次多項式の因数分解の課で学んだ因数分解である。

1 次因数の符号

1 次因数 $ax + b$ （ただし $a \neq 0$ ）は $x = -\frac{b}{a}$ でのみ零になり、その点の両側それぞれで符号が一定である。 $a > 0$ ならば左側で負、右側で正であり、 $a < 0$ ならばその逆である。たとえば、 $x - 3$ が正であるのはちょうど $x > 3$ のときであり、 $2 - x$ が正であるのはちょうど $x < 2$ のときである：

x - 3 > 0 \leftrightarrow x > 3, \qquad 2 - x > 0 \leftrightarrow x < 2

補題1 次因数の符号

$ax + b$ を次数 $1$ の多項式とし、その根を $r = -\frac{b}{a}$ とする。 $a > 0$ ならば、 $ax + b$ が正であるのはちょうど $x > r$ のとき、負であるのはちょうど $x < r$ のときである。 $a < 0$ ならば、正であるのはちょうど $x < r$ のとき、負であるのはちょうど $x > r$ のときである。

実数直線の課で証明した不等式の計算規則と、代数関数の課の積の符号の補題を用いる。

証明

$ax + b = a\left( x + \frac{b}{a} \right) = \dato{f}{a \, \resaltar{(x - r)}}$
$a$ をくくり出す。1 次因数は $a$ と差 $x - r$ の積であり、この差はちょうど $x > r$ のとき正、 $r$ で零、ちょうど $x < r$ のとき負である。
$a > 0 \rightarrow \left( ax + b > 0 \leftrightarrow \resaltar{x > r} \right)$
積の符号の補題により、 $a(x - r)$ が正であるのはちょうど $a$ と $x - r$ が同符号のときである。 $a > 0$ ならば、それはちょうど $x > r$ のときに起こる。
$a < 0 \rightarrow \left( ax + b > 0 \leftrightarrow \resaltar{x < r} \right)$
$a < 0$ ならば、積が正であるのはちょうど $x - r$ が負のとき、すなわち $x < r$ のときである。また、どちらの場合も、積が負であるのはちょうど符号が反対のときである。

積の符号表

多項式が 1 次因数の積として書かれているとする。いずれかの因数が零になる数を臨界点という。臨界点を小さい順に並べると、実数直線は開区間に分けられる。ところで、これらの区間はどれも、各因数の根に対して完全に同じ側にあるので、1 次因数の符号の補題により、どの因数も区間の内部では符号を変えない。このことから、積も各区間で符号が一定であることが従う。この符号を与えるのが符号の規則であり、これは二つの因数の積の符号の補題を $n$ 個の因数に拡張したものである。その補題は代数関数の課で証明した。この拡張は、総和・数列・帰納法の課と同じように、帰納法で証明する。

補題符号の規則

零でない実数の因数 $n$ 個の積は零と異なる。負の因数の個数が奇数ならば積は負であり、偶数ならば正である。

$c_1, c_2, \ldots, c_n$ を零でない実数とし、 $\Pi_n = c_1 c_2 \cdots c_n$ をその積とする。因数の個数 $n$ についての帰納法で論じる。図は因数を一列に並べ、それぞれの下に、そこまで累積した積の符号を示す。

証明

$\dato{pos}{c > 0 \rightarrow (p \cdot c > 0 \leftrightarrow p > 0)}, \quad \dato{neg}{c < 0 \rightarrow (p \cdot c > 0 \leftrightarrow p < 0)}$
二つの因数の積の符号の補題により、零でない実数 $p$ と零でない実数 $c$ の積は零ではない。 $c$ が正ならば積は $p$ と同じ符号をもち、 $c$ が負ならば反対の符号をもつ。
$\Pi_1 = c_1$
初期値の場合： $n = 1$ ならば、積は因数そのものであり、それが負であるのはちょうど負の因数が一つあるときで、 $1$ は奇数である。
$\dato{h}{\Pi_{n + 1} = \Pi_n \cdot c_{n + 1}}$
帰納法の仮定： $\Pi_n$ は、その負の因数の個数 $k_n$ が奇数ならば負、偶数ならば正である。因数をもう一つ加える。
$c_{n + 1} > 0 \rightarrow \resaltar{k_{n + 1} = k_n}$
$c_{n + 1}$ が正ならば、積の符号は変わらず、負の因数の個数も変わらない。規則は $n + 1$ 個の因数について成り立つ。
$c_{n + 1} < 0 \rightarrow \resaltar{k_{n + 1} = k_n + 1}$
$c_{n + 1}$ が負ならば、符号は反転し、負の因数の個数は一つ増えて、その偶奇が変わる。規則はこの場合も成り立ち、数学的帰納法の原理により、すべての $n$ について成り立つ。

符号表はこの推論を整理したものである。その列は臨界点によって定まる区間であり、因数ごとに一行と、積のための最後の一行がある。積の行は符号の規則によって列ごとに求める。各臨界点では、零になる因数の行と、積の行にも $0$ を記入する。

例積の符号表

多項式 $P(x) = (x + 2)(x - 1)(x - 3)$ の符号を、実数直線の各点で求めよ。

証明

$P(x) = 0 \leftrightarrow x = -2 \vee x = 1 \vee x = 3$
臨界点は三つの因数の根である。それらは直線を四つの区間に分け、それが表の列になる。
$x + 2 > 0 \leftrightarrow x > -2$
因数 $x + 2$ は $-2$ で零になる。その点の左側で負、右側で正である。
$x - 1 > 0 \leftrightarrow x > 1$
因数 $x - 1$ は $1$ で符号を変える。
$x - 3 > 0 \leftrightarrow x > 3$
因数 $x - 3$ は $3$ で符号を変える。
$P(x) < 0 \leftrightarrow x < -2 \vee 1 < x < 3$
各列で負の因数を数えると、三つ、二つ、一つ、なしである。その個数が奇数のとき積は負である。
$P(x) > 0 \leftrightarrow -2 < x < 1 \vee x > 3$
残りの列では積は正で、三つの臨界点で零になる。グラフがこれを裏づける。曲線はちょうどこれらの区間で軸の上にあり、各臨界点で軸を横切る。

重複度と既約因数

すべての多項式が相異なる 1 次因数に分解されるわけではない。高次多項式の根の課で見たように、 $r$ が重複度 $k$ の根であるとは、多項式が $(x - r)^k$ と、 $r$ で零にならない別の多項式との積になることであり、この重複度は組立除法をくり返して求められる。表では、対応する因数は $(x - r)^k$ である。一方、二次多項式の因数分解の課で証明した判別式の符号の定理により、判別式が負の 2 次因数 $ax^2 + bx + c$ は既約で、実数の根をもたない。以下の命題は、それぞれが表の中でどんな役割を果たすかを述べる。

命題符号と重複度

因数分解された多項式の符号が臨界点を通過するときに変わるのは、その根の重複度が奇数であるとき、かつそのときに限る。既約な 2 次因数は符号が一定で、その符号は最高次の係数の符号であり、正であるときは不等式から取り除くことができる。正の数で割っても不等式は保たれるからである。

$r$ を重複度 $k$ の根（多項式 $P$ の根）とする。図は $r = 1$ 、余因数 $x + 2$ の場合に証明をたどり、最後に既約因数 $x^2 + x + 1$ の場合を示す。

証明

$\dato{p}{P(x) = \resaltar{(x - r)^k} C(x), \quad C(r) \neq 0}$
$P$ を、 $r$ に対応する因数を分けて書く。 $r$ と、 $C$ の最も近い臨界点との間では、 $C$ のどの因数も零にならず、符号の規則により、 $C$ は $r$ の両側で符号が一定である。
$k = 2j \rightarrow (x - r)^k = \resaltar{\left( (x - r)^j \right)^2} > 0, \quad x \neq r$
$k$ が偶数ならば、 $(x - r)^k$ は $r$ の両側で零でない数の平方であり、正である。そこでは $P$ は $C$ と同じ符号をもち、その符号は変わらない。
$k = 2j + 1 \rightarrow (x - r)^k = \resaltar{(x - r)} \left( (x - r)^j \right)^2$
$k$ が奇数ならば、 $(x - r)^k$ は $x - r$ と正の平方の積であり、 $x - r$ と同じ符号をもつが、その符号は $r$ で変わる。符号の規則により、 $P$ は $r$ を通過するとき符号を変える。
$ax^2 + bx + c = a \resaltar{\left( \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 + \frac{4ac - b^2}{4a^2} \right)}$
$b^2 - 4ac < 0$ ならば、平方完成形では大かっこの中は平方と正の数の和である。この因数は常に $a$ と同じ符号をもち、臨界点を生じない。また $a > 0$ ならば、それで割っても不等式の向きは保たれる。

例2 重根と既約因数

多項式 $Q(x) = (x + 1)^2 (2 - x)(x^2 + x + 1)$ が正となる範囲と、負でない範囲を求めよ。

証明

$\Delta = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0$
臨界点は 2 重根 $-1$ と $2$ である。2 次因数は臨界点を生じない。判別式が負だからである。
$(x + 1)^2 > 0 \leftrightarrow x \neq -1$
因数 $(x + 1)^2$ は平方である。 $-1$ で零になり、その両側で正である。
$2 - x > 0 \leftrightarrow x < 2$
因数 $2 - x$ は最高次の係数が負である。 $2$ の左側で正である。
$x^2 + x + 1 = \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4} > 0$
既約因数は、平方完成が示すように、すべての列で正である。
$Q(x) \geq 0 \leftrightarrow x \leq 2$
符号の規則により $Q$ の行が得られる。符号は $-1$ （偶数重複度の根）では変わらず、 $2$ で変わる。広義の不等式は二つの零点を含む。
$Q(x) > 0 \leftrightarrow x < 2 \wedge x \neq -1$
狭義の不等式は $Q$ の零点を除外し、 $-1$ の零点も除外する。その両側で多項式は正であるにもかかわらずである。