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LatineRiepilogo
Questa lezione apre l’unità dedicata alla geometria analitica del piano. Propone una valutazione d’ingresso, presenta le sue nove lezioni e il filo che le unisce, dalle coordinate e dall’equazione della retta fino alle coniche e alla programmazione lineare; ripercorre la storia di queste idee, dalle coniche della geometria greca fino alla geometria delle coordinate di Fermat e di Descartes e alla sua applicazione all’astronomia, alla meccanica e all’economia; formula il problema che diede loro origine, quello di convertire le proprietà geometriche in equazioni e le equazioni in curve, con l’esempio della duplicazione del cubo, e indica dove tornano a essere usate in questo corso, in altri corsi del sito e nella scienza e nella tecnica.
Obiettivi di apprendimento
- Descrivere la sequenza dei contenuti dell’unità e spiegare che cosa apporta ciascuna lezione a quelle che vengono dopo.
- Collocare nel suo contesto storico lo studio delle coniche, la nascita della geometria delle coordinate e la programmazione lineare, con i loro principali autori.
- Tradurre un problema geometrico classico, come la duplicazione del cubo, in un sistema di equazioni tra coordinate, e interpretarne le soluzioni come punti di intersezione di curve.
- Riconoscere in altri argomenti del corso e in altre discipline gli strumenti che l’unità costruisce.
Valutazione d’ingresso
Prima di percorrere l’unità conviene misurare il punto di partenza. Questa autovalutazione non dà un voto: serve a sapere dove soffermarsi. Le prime nove domande riguardano, una per una e in ordine, le nove lezioni di contenuto dell’unità; la decima chiede di impostare e risolvere un problema di ripartizione di risorse, e queste dieci abilità si misurano di nuovo alla fine, nella lezione di sintesi. Le ultime tre verificano ciò che l’unità dà per noto dalle unità già svolte: il completamento del quadrato, le tabelle dei segni e il valore assoluto.
Prima di iniziare l’unità, misura il tuo punto di partenza. È un’autovalutazione breve: non riceve voto e il risultato resta solo nel tuo browser.
Domanda 1Qual è l’equazione della retta che passa per ed è perpendicolare alla retta ?
È la retta parallela a quella data che passa per : conserva il coefficiente angolare invece di prendere quello che dà prodotto .Ha coefficiente angolare : si è preso il reciproco del coefficiente angolare senza cambiarne il segno, e il prodotto dei coefficienti angolari è , non .Il coefficiente angolare è corretto, ma si è conservato il termine noto della retta data; il punto non soddisfa questa equazione, perché .La retta data ha coefficiente angolare , e la perpendicolare, coefficiente angolare , perché il prodotto dei coefficienti angolari deve essere . L’equazione punto-pendenza dà , cioè .Domanda 2Calcolare la distanza del punto dalla retta .
Risposta corretta:
Per la formula della distanza di un punto da una retta, . Chi ottiene ha dimenticato di dividere per la norma del vettore normale , e chi ottiene ha dimenticato il valore assoluto: una distanza non è negativa.Ripassare: Vettori nel piano ed equazioni parametriche della retta
Domanda 3Qual è l’equazione della parabola di fuoco e direttrice ?
Si è confuso il ruolo di : si è presa come coefficiente la distanza tra il fuoco e la direttrice, che è , invece del quadruplo della distanza del fuoco dal vertice, che ne è la metà.È la parabola con asse orizzontale. Poiché la direttrice è orizzontale, l’asse è verticale, e la variabile che compare al quadrato è .Si apre verso il basso, ma il fuoco sta sopra la direttrice, cosicché la parabola si apre verso l’alto.Un punto è equidistante dal fuoco e dalla direttrice se , che si riduce a ; è la forma con distanza focale .Ripassare: L’equazione della parabola: definizioni e proprietà
Domanda 4Qual è il vertice della parabola ?
Si è preso senza il segno meno; il punto di ascissa sta sulla curva, ma non è il vertice.Si è calcolato , senza il fattore del denominatore; è il simmetrico di rispetto all’asse, non il vertice.L’ascissa è corretta, ma l’ordinata del vertice è il valore del polinomio in , non il termine noto.Completando il quadrato, ; inoltre e .Domanda 5Qual è la distanza tra i fuochi dell’ellisse ?
Risposta corretta:
Dividendo per si ottiene , con e ; per , si ha , e i fuochi distano . Chi ottiene ha dato la distanza del centro da un fuoco, e chi usa ha applicato la relazione dell’iperbole.Domanda 6Quanti punti comuni hanno le circonferenze e ?
Sarebbero secanti se la distanza tra i centri fosse strettamente compresa tra e ; qui è uguale alla somma, il caso limite.Sarebbero esterne se la distanza tra i centri superasse la somma dei raggi; qui è uguale a essa, e si toccano.La tangenza interna esige che la distanza tra i centri sia la differenza dei raggi, , non la loro somma.I raggi sono e , e la distanza tra i centri è , uguale alla somma dei raggi: si toccano in un unico punto e ciascuna resta fuori dall’altra.Ripassare: La circonferenza: tangenti, posizioni reciproche e potenza
Domanda 7Quali sono gli asintoti dell’iperbole ?
Si è capovolto il quoziente: il coefficiente angolare degli asintoti è , il semiasse associato a diviso per quello associato a .Si sono usati i denominatori, che sono i quadrati dei semiassi, invece dei semiassi.È l’eccentricità , con ; non è il coefficiente angolare degli asintoti.Con e , gli asintoti sono : le rette che risultano dall’uguagliare a zero il primo membro, .Ripassare: L’equazione dell’iperbole e la sua deduzione
Domanda 8Che cosa rappresenta l’equazione ?
Il segno di indica il tipo, ma bisogna completare i quadrati per vedere il secondo membro: se è nullo, la curva degenera in due rette.I coefficienti di e di hanno segni opposti, cosicché non può essere un’ellisse.Un solo punto compare quando e il secondo membro è nullo; con , una differenza di quadrati nulla dà due rette.Completando i quadrati, : poiché e il secondo membro è nullo, è il caso degenere dell’iperbole, la coppia di rette .Domanda 9Trovare il valore massimo di nella regione definita da , , e .
Risposta corretta:
I vertici della regione sono , , e , e in essi vale , , e ; per il teorema dei vertici, il massimo è , in . Chi ottiene ha valutato solo l’intersezione delle due rette oblique, che non sempre è il vertice ottimo.Domanda 10Una sartoria confeziona camicie e pantaloni. Ogni camicia richiede ora di taglio e ore di cucito, e ogni paio di pantaloni, ora di taglio e ora di cucito. Ogni giorno dispone di ore di taglio e di ore di cucito, e guadagna unità monetarie per camicia e per paio di pantaloni. Qual è il massimo guadagno giornaliero che può ottenere?
Risposta corretta:
Con camicie e paia di pantaloni, i vincoli sono , , e , e il guadagno è . I vertici sono , , e , con guadagni , , e : il massimo è , con camicie e paia di pantaloni. Chi ottiene o ha valutato solo le intersezioni con gli assi, senza il vertice in cui si esauriscono insieme le ore di taglio e quelle di cucito.Domanda 11Dalle unità precedentiQual è il valore minimo che assume quando percorre i numeri reali?
Risposta corretta:
Completando il quadrato, , e poiché un quadrato non è negativo, il valore minimo è , in . Chi ottiene ha preso il valore in , e chi ottiene ha scritto , dimenticando di moltiplicare per il termine che lascia il completamento.Ripassare: Scomposizione dei trinomi di secondo grado e di grado 2n
Domanda 12Dalle unità precedentiQual è l’insieme delle soluzioni di ?
È l’insieme in cui il polinomio è positivo: fuori dalle radici i due fattori hanno lo stesso segno.Le radici di sono e ; si sono prese con il segno cambiato.Il polinomio si scompone come ; per la tabella dei segni, il prodotto è negativo quando i fattori hanno segni contrari, cioè tra le radici.Ripassare: Tabelle dei segni e disequazioni
Domanda 13Dalle unità precedentiQual è l’insieme delle soluzioni di ?
Si è risolta solo , dimenticando che il valore assoluto limita anche dal basso: .È l’insieme delle soluzioni di : la distanza di da non supera tra i due estremi, non fuori di essi.La disuguaglianza equivale a , cioè , da cui .Ripassare: La retta reale: ordine, intervalli e valore assoluto
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