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Latineसारांश
यह पाठ समतल की वैश्लेषिक ज्यामिति को समर्पित इकाई का आरंभ करता है। यह एक प्रवेश मूल्यांकन प्रस्तुत करता है, इकाई के नौ पाठों को और उन्हें जोड़ने वाले सूत्र को प्रस्तुत करता है, निर्देशांकों और रेखा के समीकरण से लेकर शंकु परिच्छेदों और रैखिक प्रोग्रामन तक; इन विचारों के इतिहास का अनुसरण करता है, यूनानी ज्यामिति के शंकु परिच्छेदों से लेकर फ़र्मा और देकार्त की निर्देशांक ज्यामिति तक और खगोलविज्ञान, यांत्रिकी तथा अर्थशास्त्र में उसके अनुप्रयोग तक; उस समस्या को सूत्रबद्ध करता है जिससे इनका जन्म हुआ, अर्थात् ज्यामितीय गुणों को समीकरणों में और समीकरणों को वक्रों में बदलना, घन के द्विगुणन के उदाहरण के साथ; और बताता है कि ये इस पाठ्यक्रम में, साइट के अन्य पाठ्यक्रमों में और विज्ञान तथा प्रौद्योगिकी में कहाँ फिर से प्रयुक्त होते हैं।
अधिगम उद्देश्य
- इकाई की विषय-वस्तु के क्रम का वर्णन करना और यह समझाना कि प्रत्येक पाठ बाद के पाठों को क्या देता है।
- शंकु परिच्छेदों के अध्ययन, निर्देशांक ज्यामिति के जन्म और रैखिक प्रोग्रामन को, उनके प्रमुख रचनाकारों के साथ, उनके ऐतिहासिक संदर्भ में रखना।
- किसी शास्त्रीय ज्यामितीय समस्या को, जैसे घन के द्विगुणन को, निर्देशांकों के बीच समीकरणों के निकाय में अनूदित करना और उसके हलों की व्याख्या वक्रों के प्रतिच्छेद बिंदुओं के रूप में करना।
- पाठ्यक्रम के अन्य विषयों में और अन्य अनुशासनों में उन उपकरणों को पहचानना जिन्हें यह इकाई निर्मित करती है।
प्रवेश मूल्यांकन
इकाई शुरू करने से पहले आरंभ-बिंदु को माप लेना उपयोगी है। इस स्व-मूल्यांकन पर अंक नहीं दिए जाते: यह यह जानने के लिए है कि कहाँ रुकना चाहिए। पहले नौ प्रश्न एक-एक करके और क्रम से इकाई के विषय-वस्तु वाले नौ पाठों को छूते हैं; दसवाँ प्रश्न संसाधनों के बँटवारे की एक समस्या को बनाने और हल करने को कहता है, और ये दस कौशल अंत में, सारांश वाले पाठ में, फिर से मापे जाते हैं। अंतिम तीन प्रश्न उसकी जाँच करते हैं जिसे यह इकाई पूर्ववर्ती इकाइयों से ज्ञात मानती है: पूर्ण वर्ग बनाना, चिह्न सारणियाँ और निरपेक्ष मान।
इकाई शुरू करने से पहले अपना आरंभ बिंदु मापें। यह एक छोटा स्व-मूल्यांकन है: इस पर अंक नहीं दिए जाते और इसका परिणाम केवल आपके ब्राउज़र में रहता है।
प्रश्न 1उस रेखा का समीकरण क्या है जो से होकर जाती है और रेखा पर लंब है?
यह वह रेखा है जो दी गई रेखा के समांतर है और से होकर जाती है: यह प्रवणता को बनाए रखती है, उस प्रवणता के स्थान पर जिससे गुणनफल मिलता है।इसकी प्रवणता है: प्रवणता का व्युत्क्रम लिया गया पर उसका चिह्न नहीं बदला गया, और प्रवणताओं का गुणनफल है, नहीं।प्रवणता सही है, पर दी गई रेखा का अचर पद बनाए रखा गया; बिंदु इस समीकरण को संतुष्ट नहीं करता, क्योंकि ।दी गई रेखा की प्रवणता है, और लंब रेखा की प्रवणता , क्योंकि प्रवणताओं का गुणनफल होना चाहिए। बिंदु-प्रवणता रूप से मिलता है, अर्थात् ।प्रश्न 2बिंदु की रेखा से दूरी ज्ञात कीजिए।
सही उत्तर:
बिंदु की रेखा से दूरी के सूत्र से, । प्राप्त होना यह दर्शाता है कि अभिलंब सदिश के परिमाण से भाग नहीं दिया गया, और प्राप्त होना यह कि निरपेक्ष मान छूट गया: दूरी ऋणात्मक नहीं होती।प्रश्न 3उस परवलय का समीकरण क्या है जिसकी नाभि और नियता है?
की भूमिका में भ्रम हुआ: गुणांक के रूप में नाभि और नियता के बीच की दूरी, जो है, ली गई, जबकि नाभि से शीर्ष तक की दूरी का चार गुना लेना था, और नाभि से शीर्ष तक की दूरी उस दूरी की आधी है।यह क्षैतिज अक्ष वाला परवलय है। क्योंकि नियता क्षैतिज है, अक्ष ऊर्ध्वाधर है, और जो चर वर्ग में आता है वह है।यह नीचे की ओर खुलता है, पर नाभि नियता के ऊपर है, इसलिए परवलय ऊपर की ओर खुलता है।बिंदु नाभि और नियता से समान दूरी पर है यदि , जो में सरल हो जाता है; यह रूप है, जिसमें नाभीय दूरी है।प्रश्न 4परवलय का शीर्ष क्या है?
ऋण चिह्न के बिना लिया गया; भुज वाला बिंदु वक्र पर है, पर वह शीर्ष नहीं है।की गणना की गई, हर के गुणक के बिना; , अक्ष के सापेक्ष का सममित बिंदु है, शीर्ष नहीं।भुज सही है, पर शीर्ष की कोटि पर बहुपद का मान है, अचर पद नहीं।पूर्ण वर्ग बनाने पर, ; साथ ही और ।दोहराएँ: परवलयों का अभिलक्षणन और उनके आलेख
प्रश्न 5दीर्घवृत्त की नाभियों के बीच की दूरी क्या है?
सही उत्तर:
से भाग देने पर प्राप्त होता है, जिसमें और ; से है, और नाभियाँ एक दूसरे से की दूरी पर हैं। प्राप्त होना यह दर्शाता है कि केंद्र से एक नाभि तक की दूरी दी गई, और का उपयोग यह कि अतिपरवलय का संबंध लागू किया गया।दोहराएँ: दीर्घवृत्त और वृत्त का समीकरण
प्रश्न 6वृत्तों और के कितने उभयनिष्ठ बिंदु हैं?
वे प्रतिच्छेदी होते यदि केंद्रों के बीच की दूरी दृढ़ अर्थ में और के बीच होती; यहाँ वह योग के बराबर है, जो सीमांत स्थिति है।वे एक दूसरे के बाहर होते यदि केंद्रों के बीच की दूरी त्रिज्याओं के योग से अधिक होती; यहाँ वह उसके बराबर है, और वृत्त छूते हैं।अंतःस्पर्श के लिए आवश्यक है कि केंद्रों के बीच की दूरी त्रिज्याओं का अंतर, , हो, उनका योग नहीं।त्रिज्याएँ और हैं, और केंद्रों के बीच की दूरी है, जो त्रिज्याओं के योग के बराबर है: वृत्त एक ही बिंदु पर छूते हैं और प्रत्येक दूसरे के बाहर रहता है।दोहराएँ: वृत्त: स्पर्श रेखाएँ, सापेक्ष स्थितियाँ और बिंदु की घात
प्रश्न 7अतिपरवलय की अनंतस्पर्शी रेखाएँ कौन-सी हैं?
भागफल उलट दिया गया: अनंतस्पर्शियों की प्रवणता है, अर्थात् से संबद्ध अर्ध-अक्ष को से संबद्ध अर्ध-अक्ष से भाग देने पर प्राप्त राशि।अर्ध-अक्षों के स्थान पर हर लिए गए, जो अर्ध-अक्षों के वर्ग हैं।यह उत्केंद्रता है, जिसमें ; यह अनंतस्पर्शियों की प्रवणता नहीं है।और के साथ, अनंतस्पर्शी हैं: वे रेखाएँ जो बाएँ पक्ष को शून्य के बराबर रखने से मिलती हैं, ।प्रश्न 8समीकरण क्या निरूपित करता है?
का चिह्न प्रकार बताता है, पर दायाँ पक्ष देखने के लिए वर्गों को पूर्ण करना होगा: यदि वह शून्य है, तो वक्र दो रेखाओं में अपभ्रष्ट हो जाता है।और के गुणांकों के चिह्न विपरीत हैं, इसलिए यह दीर्घवृत्त नहीं हो सकता।एक ही बिंदु तब आता है जब और दायाँ पक्ष शून्य हो; होने पर, शून्य के बराबर वर्गों का अंतर दो रेखाएँ देता है।वर्गों को पूर्ण करने पर, : क्योंकि और दायाँ पक्ष शून्य है, यह अतिपरवलय की अपभ्रष्ट स्थिति है, अर्थात् रेखाओं का युग्म ।दोहराएँ: शांकव: परवलय, दीर्घवृत्त और अतिपरवलय का अभिलक्षणन और आलेख
प्रश्न 9 का अधिकतम मान उस प्रदेश में ज्ञात कीजिए जो , , और से परिभाषित है।
सही उत्तर:
प्रदेश के शीर्ष , , और हैं, और उन पर के मान , , और हैं; शीर्षों वाली प्रमेय से, अधिकतम मान है, पर। प्राप्त होना यह दर्शाता है कि केवल दो तिरछी रेखाओं के प्रतिच्छेद बिंदु पर मान निकाला गया, जो सदा इष्टतम शीर्ष नहीं होता।प्रश्न 10एक सिलाई कार्यशाला कमीज़ें और पतलूनें बनाती है। प्रत्येक कमीज़ के लिए घंटा कटाई और घंटे सिलाई चाहिए, और प्रत्येक पतलून के लिए घंटा कटाई और घंटा सिलाई। प्रतिदिन कार्यशाला के पास कटाई के घंटे और सिलाई के घंटे उपलब्ध हैं, और वह प्रति कमीज़ मौद्रिक एकांक और प्रति पतलून एकांक कमाती है। वह अधिकतम कितना दैनिक लाभ प्राप्त कर सकती है?
सही उत्तर:
कमीज़ों और पतलूनों के साथ, व्यवरोध , , और हैं, और लाभ है। शीर्ष , , और हैं, जिन पर लाभ , , और हैं: अधिकतम मान है, कमीज़ों और पतलूनों के साथ। या प्राप्त होना यह दर्शाता है कि केवल अक्षों के साथ प्रतिच्छेद बिंदुओं पर मान निकाला गया, उस शीर्ष के बिना जिस पर कटाई और सिलाई के घंटे एक साथ समाप्त होते हैं।प्रश्न 11पिछली इकाइयों सेवह न्यूनतम मान क्या है जो लेता है जब वास्तविक संख्याओं पर विचरण करता है?
सही उत्तर:
पूर्ण वर्ग बनाने पर, , और क्योंकि वर्ग ऋणात्मक नहीं होता, न्यूनतम मान है, पर। प्राप्त होना यह दर्शाता है कि पर मान लिया गया, और प्राप्त होना यह कि लिखा गया, जिसमें से उस पद का गुणा करना छूट गया जो पूर्ण वर्ग बनाने से बचता है।प्रश्न 12पिछली इकाइयों से का हल समुच्चय क्या है?
यह वह समुच्चय है जिस पर बहुपद धनात्मक है: मूलों के बाहर दोनों गुणनखंडों का चिह्न एक ही होता है।के मूल और हैं; उन्हें बदले हुए चिह्न के साथ लिया गया।बहुपद का गुणनखंडन के रूप में होता है; चिह्न सारणी से, गुणनफल ऋणात्मक है जब गुणनखंडों के चिह्न विपरीत हों, अर्थात् मूलों के बीच।दोहराएँ: चिह्न-सारणियाँ और असमिकाएँ
प्रश्न 13पिछली इकाइयों से का हल समुच्चय क्या है?
केवल हल किया गया, यह भूलकर कि निरपेक्ष मान नीचे से भी परिबद्ध करता है: ।यह का हल समुच्चय है: की से दूरी से अधिक नहीं होती दोनों सिरों के बीच, उनके बाहर नहीं।असमिका के तुल्य है, अर्थात् , जिससे ।
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