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LatineRésumé
Cette leçon ouvre l’unité consacrée à la géométrie analytique du plan. Elle propose une évaluation d’entrée, présente ses neuf leçons et le fil qui les relie, depuis les coordonnées et l’équation de la droite jusqu’aux coniques et à la programmation linéaire ; elle parcourt l’histoire de ces idées, depuis les coniques de la géométrie grecque jusqu’à la géométrie des coordonnées de Fermat et de Descartes et à son application à l’astronomie, à la mécanique et à l’économie ; elle formule le problème qui est à leur origine, celui de convertir les propriétés géométriques en équations et les équations en courbes, avec l’exemple de la duplication du cube, et indique où elles servent de nouveau dans ce cours, dans d’autres cours du site et dans la science et la technique.
Objectifs d’apprentissage
- Décrire la séquence des contenus de l’unité et expliquer ce que chaque leçon apporte à celles qui viennent après elle.
- Situer dans son contexte historique l’étude des coniques, la naissance de la géométrie des coordonnées et la programmation linéaire, avec leurs principaux auteurs.
- Traduire un problème géométrique classique, comme la duplication du cube, en un système d’équations entre coordonnées, et interpréter ses solutions comme des points d’intersection de courbes.
- Reconnaître dans d’autres thèmes du cours et dans d’autres disciplines les instruments que l’unité construit.
Évaluation d’entrée
Avant de parcourir l’unité, il convient de mesurer le point de départ. Cette auto-évaluation n’est pas notée : elle sert à savoir où s’arrêter. Les neuf premières questions portent, une à une et dans l’ordre, sur les neuf leçons de contenu de l’unité ; la dixième demande de poser et de résoudre un problème de répartition de ressources, et ces dix compétences sont mesurées de nouveau à la fin, dans la leçon de synthèse. Les trois dernières vérifient ce que l’unité tient pour acquis des unités antérieures : la complétion du carré, les tableaux de signes et la valeur absolue.
Avant de commencer l’unité, mesurez votre point de départ. C’est une autoévaluation brève : elle n’est pas notée et son résultat n’est conservé que dans votre navigateur.
Question 1Quelle est l’équation de la droite qui passe par et est perpendiculaire à la droite ?
C’est la droite parallèle à la droite donnée qui passe par : elle garde la pente au lieu de prendre celle qui donne le produit .Elle a pour pente : on a renversé la fraction de la pente sans en changer le signe, et le produit des pentes vaut , et non .La pente est correcte, mais on a gardé le terme constant de la droite donnée ; le point ne vérifie pas cette équation, parce que .La droite donnée a pour pente , et la perpendiculaire, pour pente , parce que le produit des pentes doit valoir . L’équation point-pente donne , c’est-à-dire .À revoir : L’équation de la droite et les repères cartésiens
Question 2Calculer la distance du point à la droite .
Bonne réponse :
Par la formule de la distance d’un point à une droite, . Qui obtient a oublié de diviser par la norme du vecteur normal , et qui obtient a oublié la valeur absolue : une distance est toujours positive ou nulle.À revoir : Vecteurs du plan et équations paramétriques de la droite
Question 3Quelle est l’équation de la parabole de foyer et de directrice ?
On a confondu le rôle de : on a pris pour coefficient la distance entre le foyer et la directrice, qui est , au lieu du quadruple de la distance du foyer au sommet, qui en est la moitié.C’est la parabole d’axe horizontal. Comme la directrice est horizontale, l’axe est vertical, et la variable qui apparaît au carré est .Elle s’ouvre vers le bas, mais le foyer est au-dessus de la directrice, de sorte que la parabole s’ouvre vers le haut.Un point est équidistant du foyer et de la directrice si , ce qui se réduit à ; c’est la forme avec la distance focale .À revoir : L’équation de la parabole : définitions et propriétés
Question 4Quel est le sommet de la parabole ?
On a pris sans le signe moins ; le point d’abscisse est sur la courbe, mais ce n’est pas le sommet.On a calculé , sans le facteur du dénominateur ; est le symétrique de par rapport à l’axe, non le sommet.L’abscisse est correcte, mais l’ordonnée du sommet est la valeur du polynôme en , non le terme constant.En complétant le carré, ; on a aussi et .À revoir : Caractérisation et tracé des paraboles
Question 5Quelle est la distance entre les foyers de l’ellipse ?
Bonne réponse :
En divisant par on obtient , avec et ; par , on a , et les foyers sont distants de . Qui obtient a donné la distance du centre à un foyer, et qui utilise a appliqué la relation de l’hyperbole.À revoir : L’équation de l’ellipse et du cercle
Question 6Combien de points communs ont les cercles et ?
Ils seraient sécants si la distance entre les centres était strictement comprise entre et ; ici, elle est égale à la somme, le cas limite.Ils seraient extérieurs l’un à l’autre si la distance entre les centres était strictement supérieure à la somme des rayons ; ici, elle lui est égale, et ils se touchent.La tangence intérieure exige que la distance entre les centres soit la différence des rayons, , et non leur somme.Les rayons sont et , et la distance entre les centres est , égale à la somme des rayons : ils se touchent en un seul point et chacun est à l’extérieur de l’autre.À revoir : Le cercle : tangentes, positions relatives et puissance
Question 7Quelles sont les asymptotes de l’hyperbole ?
On a renversé le quotient : la pente des asymptotes est , le demi-axe associé à sur celui associé à .On a utilisé les dénominateurs, qui sont les carrés des demi-axes, au lieu des demi-axes.C’est l’excentricité , avec ; ce n’est pas la pente des asymptotes.Avec et , les asymptotes sont : les droites qui résultent de l’annulation du premier membre, .À revoir : L’équation de l’hyperbole et sa déduction
Question 8Que représente l’équation ?
Le signe de indique le type, mais il faut compléter les carrés pour voir le second membre : s’il est nul, la courbe dégénère en deux droites.Les coefficients de et de sont de signes opposés, de sorte que ce ne peut pas être une ellipse.Un point unique apparaît quand et que le second membre est nul ; avec , une différence de carrés nulle donne deux droites.En complétant les carrés, : comme et que le second membre est nul, c’est le cas dégénéré de l’hyperbole, la paire de droites .À revoir : Les coniques : caractérisation et tracé
Question 9Trouver la plus grande valeur de sur la région définie par , , et .
Bonne réponse :
Les sommets de la région sont , , et , et en ces points vaut , , et ; par le théorème des sommets, le maximum est , en . Qui obtient n’a évalué que le point d’intersection des deux droites obliques, qui n’est pas toujours le sommet optimal.À revoir : Inéquations dans le plan et programmation linéaire
Question 10Un atelier de couture confectionne des chemises et des pantalons. Chaque chemise demande heure de coupe et heures de couture, et chaque pantalon, heure de coupe et heure de couture. Chaque jour, l’atelier dispose de heures de coupe et de heures de couture, et il gagne unités monétaires par chemise et par pantalon. Quel est le plus grand bénéfice quotidien qu’il peut obtenir ?
Bonne réponse :
Avec chemises et pantalons, les contraintes sont , , et , et le bénéfice est . Les sommets sont , , et , avec des bénéfices , , et : le maximum est , avec chemises et pantalons. Qui obtient ou n’a évalué que les points d’intersection avec les axes, sans le sommet où s’épuisent à la fois les heures de coupe et celles de couture.À revoir : Inéquations dans le plan et programmation linéaire
Question 11Des unités précédentesQuelle est la plus petite valeur que prend quand parcourt les nombres réels ?
Bonne réponse :
En complétant le carré, , et comme un carré est positif ou nul, la plus petite valeur est , en . Qui obtient a pris la valeur en , et qui obtient a écrit , en oubliant de multiplier par le terme que laisse la complétion.À revoir : Factorisation des trinômes du second degré et de degré 2n
Question 12Des unités précédentesQuel est l’ensemble des solutions de ?
C’est l’ensemble où le polynôme est strictement positif : en dehors des racines, les deux facteurs ont le même signe.Les racines de sont et ; on les a prises avec le signe changé.Le polynôme se factorise en ; par le tableau de signes, le produit est strictement négatif quand les facteurs sont de signes contraires, c’est-à-dire entre les racines.À revoir : Tableaux de signes et inéquations
Question 13Des unités précédentesQuel est l’ensemble des solutions de ?
On a résolu seulement , en oubliant que la valeur absolue borne aussi par en bas : .C’est l’ensemble des solutions de : la distance de à ne dépasse pas entre les deux extrémités, et non en dehors d’elles.L’inégalité équivaut à , c’est-à-dire , d’où .À revoir : La droite réelle : ordre, intervalles et valeur absolue
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