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抛物线的刻画及其图像

摘要

刻画一条抛物线，就是从它的方程出发，汇集足以画出它的数据：开口方向、顶点、对称轴、焦点、准线以及与坐标轴的交点。本课说明如何从顶点式和多项式形式得到这些数据，用系数推导顶点、焦点和准线的一般公式，把与 $x$ 轴的交点同判别式联系起来，并利用曲线的对称性简化计算。最后给出画图像草图的一套有序程序。

学习目标

对以顶点式或多项式形式给出的抛物线，求出它的顶点、焦点、准线和轴。
通过配方，推导抛物线 $y = ax^2 + bx + c$ 的各元素的一般公式。
求出与坐标轴的交点，并借助判别式判定抛物线是否与 $x$ 轴相交。
利用关于轴的对称性求顶点，并用所得信息画出图像的草图。

方程的两种形式

在关于抛物线的方程的课中已经看到，轴竖直、顶点在 $(h, k)$ 、焦点为 $(h, k + f)$ 、准线为 $y = k - f$ （其中 $f \neq 0$ ）的抛物线满足这里称为顶点式的方程； $f$ 的绝对值是焦距，它的符号表明曲线朝哪个方向开口：

(x - h)^2 = 4f(y - k)

在二次多项式图像定理中还证明了：从这个方程解出 $y$ ，它就变成一个二次多项式；反过来，每个二次多项式的图像都是轴竖直的抛物线。我们把下面的方程称为多项式形式：

y = ax^2 + bx + c, \quad a \neq 0

两种形式描述的是同一条曲线，但呈现的信息不同：顶点式展示几何（顶点、焦点、准线），而多项式形式展示与 $y$ 轴的交点，即 $(0, c)$ ，并且可以通过解一个二次方程求出与 $x$ 轴的交点。刻画一条抛物线，就是汇集以下数据，并据此画出它的图像的草图：

开口方向：向上或向下。
顶点与对称轴。
焦点与准线。
与 $x$ 轴的交点（如果存在），以及与 $y$ 轴的交点。