Перейти к содержимому
Topos Uranos
Русский

Функции с корнями: область определения, знаки и график

Краткое содержание

Этот урок распространяет на функции с корнями метод таблиц знаков и деления многочленов: он находит их область определения, когда корни есть в числителе и в знаменателе, изучает их знак и поведение на границах области определения, где график заканчивается в точке или приближается к вертикальной асимптоте, и находит их асимптоты при больших значениях переменной, вынося из каждого корня старшую степень xx и обращая внимание на случаи, когда xx положительно и когда xx отрицательно. Завершается он множеством значений, которое находится точно, когда это позволяют пределы на границах, и полным исследованием функций, подкоренное выражение которых есть трёхчлен степени 88.

Цели обучения

  1. Находить область определения функции с корнями в числителе и в знаменателе с помощью таблиц знаков и разложения на множители трёхчленов степени 2n2n.
  2. Исследовать знак функции с корнями и её поведение на границах области определения, отличая концы, в которых график заканчивается, от вертикальных асимптот.
  3. Находить асимптоты функции с корнями, когда xx стремится к ∞\infty и к −∞-\infty, рассматривая отдельно положительные и отрицательные значения переменной.
  4. Строить график функции с корнями и находить её множество значений, когда исследование это позволяет, распознавая случаи, требующие методов дифференциального исчисления.
  5. Исследовать функции с корнями, описывающие прикладные величины, такие как разность расстояний до двух антенн или лоренц-фактор теории относительности, и истолковывать в контексте задачи их область определения, асимптоты и множество значений.

Область определения функции с корнями

В уроке об алгебраических функциях были установлены правила, задающие область определения функции, определённой формулой: ни один знаменатель не может равняться нулю, а подкоренное выражение корня чётной степени не может быть отрицательным. Когда корень стоит в знаменателе, оба правила действуют одновременно, и его подкоренное выражение должно быть строго положительным; когда он стоит в числителе, достаточно, чтобы оно было неотрицательным. Корни нечётной степени не накладывают никакого условия, кроме того, что они не должны обращаться в нуль, если стоят в знаменателе.

Если подкоренные выражения являются многочленами степени больше 11, каждое условие есть неравенство с многочленом, которое решается разложением на множители и построением таблицы знаков, как в уроке о таблицах знаков и неравенствах. Квадратные множители находятся по формуле корней квадратного уравнения, а трёхчлены вида ax2n+bxn+ca x^{2n} + b x^n + c сводятся к квадратным заменой переменной u=xnu = x^n, как в уроке о разложении квадратного трёхчлена. Квадратный множитель с отрицательным дискриминантом всегда сохраняет знак своего старшего коэффициента, так что он не даёт критических точек и его можно убрать из таблицы.

Область определения функции с корнями получается, если учесть все условия одновременно: неотрицательное подкоренное выражение для каждого корня чётной степени в числителе, положительное подкоренное выражение для каждого корня чётной степени в знаменателе и знаменатели, отличные от нуля. Каждое условие решается с помощью таблицы знаков, а область определения есть пересечение полученных множеств.