Перейти к содержимому
Topos Uranos
Русский

Алгебраические функции и многочлены: итоги и задачи

Краткое содержание

Этот урок завершает раздел об алгебраических функциях и многочленах. Он соединяет в одну дедуктивную цепь то, что было доказано в девяти уроках раздела, от понятия функции и деления многочленов с остатком до полного исследования рациональных функций и функций с корнями; показывает, как раздел опирается на натуральные числа и числовые множества предыдущих разделов, честно отмечает результаты, принятые без доказательства, и объясняет, как он связан с аналитической геометрией на плоскости. В конце даны десять задач повышенной трудности, более сложных, чем предложенные задачи раздела, которые требуют сочетать несколько уроков и найти идею.

Цели обучения

  1. Восстанавливать цепь определений и теорем раздела, объясняя, какой результат на какой опирается.
  2. Соотносить теоремы о многочленах с их аналогами для целых чисел, изученными в предыдущих разделах.
  3. Отличать результаты, доказанные в разделе, от тех, которые были приняты и будут доказаны в других курсах.
  4. Решать задачи, которые сочетают несколько уроков раздела и требуют немеханической идеи, в том числе описывать конкретную ситуацию с помощью многочленов.

Чего достиг раздел

Функции и действия с ними

Раздел начался с понятия функции: правила, которое сопоставляет каждому элементу области определения ровно один образ. В уроке об алгебраических функциях были установлены правила, определяющие область определения формулы, доказана лемма о знаке произведения, основа всего дальнейшего изучения знаков, и функции разделены на многочлены, рациональные, иррациональные и трансцендентные; что эта классификация, относящаяся к функциям, а не к их формулам, не пуста, показало доказательство того, что функция 1x\frac{1}{x} не совпадает ни с каким многочленом, а урок об алгебре многочленов затем доказал, что x\sqrt{x} не является рациональной функцией. Урок о действиях с функциями рассматривал действительные функции как объекты. Из урока о множествах, отношениях и функциях первого раздела он унаследовал ассоциативность композиции и теорему, согласно которой функция имеет обратную тогда и только тогда, когда она биективна; он добавил то, что свойственно действительным функциям: область определения композиции, при которой композиция остаётся ассоциативной, но не коммутативной; то, что строго монотонная функция биективна на своё множество значений и имеет монотонную обратную, что позволяет обращать с помощью сужения функции, не являющиеся инъективными; то, что график обратной функции симметричен графику исходной относительно прямой y=xy = x; и то, что всякая функция с симметричной областью определения единственным образом есть сумма чётной и нечётной функций.

Многочлены и их разложение на множители

Центр раздела составляет теория многочленов, которая развивается как цепь теорем, каждая из которых опирается на предыдущую.

  1. Деление многочленов с остатком, доказанное в уроке об алгебре многочленов, даёт единственные частное и остаток. При делителе x−rx - r остаток равен P(r)P(r) (теорема Безу (об остатке)), и отсюда теорема о множителе: rr является корнем тогда и только тогда, когда x−rx - r делит PP.
  2. Применённая к нескольким корням, теорема о множителе даёт лемму о различных корнях: ненулевой многочлен степени nn имеет не более nn корней. Из неё выводится принцип равенства многочленов: два многочлена задают одну и ту же функцию тогда и только тогда, когда у них одинаковые коэффициенты. Поскольку до этого момента многочлены рассматривались через их коэффициенты, порядок изложения не содержит порочного круга; и с этого момента каждый многочлен отождествляется со своей функцией, можно сравнивать коэффициенты, два многочлена, совпадающие в бесконечном числе точек, равны, и доказывается, что квадратный корень не является рациональной функцией.
  3. Для нахождения корней урок о разложении квадратного трёхчлена выделил полный квадрат и получил формулу корней квадратного уравнения, дискриминант и формулы Виета; урок о корнях многочленов высших степеней добавил синтетическое деление, теорему о рациональных корнях, кратность и границы корней.
  4. При принятой основной теореме алгебры и с помощью теоремы о сопряжённых корнях было доказано разложение над полем действительных чисел: всякий действительный многочлен есть произведение его старшего коэффициента на множители x−rx - r и на неприводимые квадратные множители.
P(x)=an(x−r1)⋯(x−rk)(x2+p1x+s1)⋯(x2+pmx+sm),k+2m=nP(x) = a_n (x - r_1) \cdots (x - r_k) \left( x^2 + p_1 x + s_1 \right) \cdots \left( x^2 + p_m x + s_m \right), \qquad k + 2m = n

От частного к графику

С разложением на множители в руках вторая половина раздела изучала частные. Урок об алгебраических дробях показал, что сокращение общего множителя даёт равенство лишь на исходной области определения, охарактеризовал равенство двух дробей и доказал существование и единственность разложения на простейшие дроби, когда знаменатель имеет только линейные множители: при различных множителях коэффициенты получаются подстановкой корней в тождество, которое по принципу равенства многочленов верно и там, где дроби не определены; при кратных множителях единственность требует выделить у каждого корня слагаемое с наибольшей степенью. Урок о таблицах знаков и неравенствах распространил правило знаков на nn множителей и прочитал по разложению на множители знак многочлена или частного: знак меняется при переходе через корень нечётной кратности, сохраняется при переходе через корень чётной кратности, а неприводимые множители не учитываются. Отсюда последовали решение неравенств и нахождение областей определения, а также различение вертикальных асимптот и устранимых точек.

Два последних урока соединили все инструменты. В уроке о рациональных функциях деление записывает PQ\frac{P}{Q} как многочлен CC плюс правильную дробь, стремящуюся к нулю, и CC является горизонтальной, наклонной или криволинейной асимптотой; таблица знаков решает, куда уходят ветви, а дискриминант уравнения y⋅Q(x)=P(x)y \cdot Q(x) = P(x) даёт множество значений, когда это уравнение имеет степень 22. В уроке о функциях с корнями равенство x2=∣x∣\sqrt{x^2} = \abs{x} заставляет рассматривать отдельно большие положительные и большие отрицательные значения переменной, и одна и та же функция может иметь две различные асимптоты.

Что было принято без доказательства

Раздел открыто говорил о том, чего он не доказал. Была принята основная теорема алгебры, доказательства которой требуют средств анализа. Стрелки пределов, которыми описываются асимптоты и поведение функции вблизи точки или на бесконечности, использовались в интуитивном смысле: доказывались знак функции с каждой стороны и разложение, выделяющее асимптоту, а описывалось само приближение. Было принято, что рациональные функции и функции с корнями непрерывны на каждом промежутке своей области определения, и, в общей форме, теорема о промежуточном значении: функция, непрерывная на отрезке [a,b]\icc{a}{b}, принимает всякое значение, заключённое между f(a)f(a) и f(b)f(b), и, в частности, обращается в нуль, если f(a)f(a) и f(b)f(b) имеют противоположные знаки, что составляет теорему Больцано; с её помощью были найдены нули, недоступные алгебре, и вычислены множества значений. Были приняты существование и единственность разложения на простейшие дроби при наличии неприводимых квадратных множителей, которые требуют соотношения Безу для многочленов, и единственность разложения над полем действительных чисел, от которой зависит то, что наименьшее общее кратное нескольких многочленов определено с точностью до постоянного множителя. Наконец, было принято, что всякая функция, заданная алгебраическим выражением, удовлетворяет полиномиальному уравнению относительно xx и yy; от этого факта не зависит никакой другой результат. И открытыми остались максимумы и минимумы, которые не обнаруживаются алгебраическим преобразованием. Пределы, непрерывность, промежуточные значения, экстремумы и интегрирование простейших дробей изучаются в курсах «Математический анализ I» и «Математический анализ II»; основная теорема алгебры, напротив, доказывается в курсе комплексного анализа.

Рисунок ниже соединяет три участка в одну цепь. Каждый узел столбца есть определение или теорема, пронумерованные в логическом порядке и соединённые дугой с предыдущими звеньями, которые использует их доказательство; вокруг расположены опоры, то есть принципы и средства, к которым цепь обращается снова и снова, и каждая соединена сплошной линией со звеньями, которые на неё опираются. Все они принимаются без доказательства или взяты из предыдущих разделов, и поэтому изображены кольцами; результаты, которые раздел доказывает и использует повторно, например лемма о знаке произведения или теорема о множителе, представлены звеньями, соединёнными дугами с теми, которые их используют. Нажатие на опору выделяет все звенья, которые её используют, а каждое звено ведёт к уроку, где оно доказывается.

Опоры цепи

  • AИндукция. Свойство, которое выполняется в начальном случае и переходит от каждого случая к последующему или от всех предшествующих к последующему, выполняется всегда; доказано в разделе о натуральных числах. В этом модуле принимается без доказательства.
  • BЛемма Евклида. Если простое число делит произведение целых чисел, оно делит один из сомножителей; отсюда следует, что если целое число делит произведение и взаимно просто с одним из сомножителей, то оно делит другой; доказано в разделе о натуральных числах. В этом модуле принимается без доказательства.
  • CКомпозиция и обратная функция. Композиция функций ассоциативна и сохраняет инъективность, а функция имеет обратную тогда и только тогда, когда она биективна, и эта обратная единственна; доказано в уроке о множествах, отношениях и функциях. В этом модуле принимается без доказательства.
  • DСопряжённые корни. Если комплексное число является корнем многочлена с действительными коэффициентами, то корнем является и сопряжённое к нему; доказано в разделе о числовых множествах. В этом модуле принимается без доказательства.
  • EОсновная теорема алгебры. Всякий многочлен степени n≥1n \geq 1 с комплексными коэффициентами имеет хотя бы один комплексный корень; принимается без доказательства. В этом модуле принимается без доказательства.
  • FБезу и единственность разложения. Если два многочлена не имеют общих множителей положительной степени, то существуют многочлены UU и VV, для которых UA+VB=1U A + V B = 1; и разложение действительного многочлена на линейные и неприводимые квадратные множители единственно с точностью до порядка; принимаются без доказательства, потому что курс не развивает теорию наибольшего общего делителя многочленов. В этом модуле принимается без доказательства.
  • GПределы и непрерывность. Стрелки x→rx \to r и f(x)→∞f(x) \to \infty имеют интуитивный смысл, а рациональные функции и функции с корнями непрерывны на каждом промежутке своей области определения; принимается до курса «Математический анализ I». В этом модуле принимается без доказательства.
  • HПромежуточное значение. Если функция непрерывна на отрезке [a,b]\icc{a}{b}, то она принимает на нём всякое значение, заключённое между f(a)f(a) и f(b)f(b); в частности, если f(a)f(a) и f(b)f(b) имеют противоположные знаки, она обращается в нуль в некоторой точке интервала (a,b)\ioo{a}{b} (теорема Больцано); принимается до курса «Математический анализ I». В этом модуле принимается без доказательства.

  1. Участок 1 Функции и действия с ними

    • Определить функцию и установить правила, определяющие область определения формулы.
    • Доказать лемму о знаке произведения, основу дальнейшего изучения знаков.
    • Классифицировать алгебраические функции и доказать, что классификация не пуста.
    • Рассматривать действительные функции как объекты: область определения композиции, обратная функция через сужение на множество, где функция монотонна, график обратной функции и разложение на чётную и нечётную части.

    1. Функция и область определения. Функция сопоставляет каждому элементу своей области определения ровно один образ; область определения формулы исключает нули знаменателей и отрицательные подкоренные выражения корней чётной степени.

      Доказывается в уроке: Алгебраические функции действительного переменного.

    2. Знак произведения. Для действительных aa и bb равенство ab=0ab = 0 выполняется тогда и только тогда, когда a=0a = 0 или b=0b = 0, а ab>0ab > 0 тогда и только тогда, когда оба числа ненулевые и одного знака; если b≠0b \neq 0, то частное ab\frac{a}{b} имеет знак произведения abab.

      Доказывается в уроке: Алгебраические функции действительного переменного.

    3. Частное, не являющееся многочленом. Никакой многочлен не совпадает с 1x\frac{1}{x} при всех ненулевых действительных значениях; следовательно, существуют рациональные функции, не являющиеся многочленами.

      Использует: 1. Функция и область определения. Доказывается в уроке: Алгебраические функции действительного переменного.

    4. Графики степеней и корней. При n≥2n \geq 2 функции xnx^n и xn\sqrt[n]{x} сохраняют порядок неотрицательных действительных чисел, xn<x<xnx^n < x < \sqrt[n]{x} при 0<x<10 < x < 1, а степень чётна или нечётна в зависимости от того, чётно или нечётно nn.

      Использует: 1. Функция и область определения. Доказывается в уроке: Алгебраические функции действительного переменного.

    5. Область определения композиции. Для действительных функций область определения композиции f∘gf \circ g состоит из тех xx из области определения gg, образ которых лежит в области определения ff; с такими областями определения композиция ассоциативна и не коммутативна.

      Использует: 1. Функция и область определения. Опирается на: C (Композиция и обратная функция). Доказывается в уроке: Действия с функциями, обратная функция и преобразования графиков.

    6. Монотонные функции. Всякая строго возрастающая или строго убывающая функция инъективна, а сумма двух возрастающих функций есть возрастающая функция.

      Использует: 1. Функция и область определения. Доказывается в уроке: Действия с функциями, обратная функция и преобразования графиков.

    7. Обратная к монотонной функции. Функция, строго возрастающая на множестве AA действительных чисел, есть биекция множества AA на своё множество значений, и обратная к ней строго возрастает; то же верно для строго убывающих функций. Так обращаются, путём сужения области определения, функции, не являющиеся инъективными.

      Использует: 6. Монотонные функции. Опирается на: C (Композиция и обратная функция). Доказывается в уроке: Действия с функциями, обратная функция и преобразования графиков.

    8. График обратной функции. Точка (a,b)(a, b) лежит на графике ff тогда и только тогда, когда (b,a)(b, a) лежит на графике f−1f^{-1}; следовательно, график обратной функции симметричен графику ff относительно прямой y=xy = x.

      Использует: 7. Обратная к монотонной функции. Опирается на: C (Композиция и обратная функция). Доказывается в уроке: Действия с функциями, обратная функция и преобразования графиков.

    9. Чётная и нечётная части. Произведение двух чётных или двух нечётных функций чётно, а произведение чётной и нечётной нечётно; всякая функция с симметричной областью определения единственным образом есть сумма чётной и нечётной функций.

      Использует: 1. Функция и область определения. Доказывается в уроке: Действия с функциями, обратная функция и преобразования графиков.

  2. Участок 2 Многочлены и их разложение на множители

    • Доказать теорему о делении многочленов с остатком и вывести из неё теорему Безу и теорему о множителе.
    • Оценить число корней многочлена и получить принцип равенства многочленов.
    • Находить корни: формула корней квадратного уравнения, дискриминант, формулы Виета, синтетическое деление, рациональные корни, кратность и границы.
    • Доказать, при принятой основной теореме алгебры, разложение всякого действительного многочлена на линейные и неприводимые квадратные множители.

    1. Деление многочленов с остатком. Для двух многочленов PP и QQ, где QQ ненулевой, существуют единственные частное CC и остаток RR, такие что P=Q⋅C+RP = Q \cdot C + R, причём RR нулевой или имеет степень меньше степени QQ.

      Опирается на: A (Индукция). Доказывается в уроке: Алгебра многочленов с действительными коэффициентами.

    2. Теорема Безу и теорема о множителе. Остаток от деления PP на x−rx - r равен P(r)P(r); следовательно, x−rx - r делит PP тогда и только тогда, когда P(r)=0P(r) = 0.

      Использует: 10. Деление многочленов с остатком. Доказывается в уроке: Алгебра многочленов с действительными коэффициентами.

    3. Лемма о различных корнях. Если r1,…,rkr_1, \ldots, r_k являются различными корнями PP, то P=(x−r1)⋯(x−rk) CP = (x - r_1) \cdots (x - r_k) \, C; следовательно, ненулевой многочлен степени nn имеет не более nn действительных корней.

      Использует: 2. Знак произведения, 11. Теорема Безу и теорема о множителе. Опирается на: A (Индукция). Доказывается в уроке: Алгебра многочленов с действительными коэффициентами.

    4. Принцип равенства многочленов. Два многочлена принимают одинаковое значение при всяком действительном значении переменной тогда и только тогда, когда у них одинаковые коэффициенты при каждой степени; следовательно, каждый многочлен отождествляется со своей функцией, а квадратный корень не является рациональной функцией.

      Использует: 12. Лемма о различных корнях. Доказывается в уроке: Алгебра многочленов с действительными коэффициентами.

    5. Формула корней и дискриминант. Выделением полного квадрата находим, что корни трёхчлена ax2+bx+cax^2 + bx + c равны −b±Δ2a\frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}, где Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac: их два, если Δ>0\Delta > 0, один, если Δ=0\Delta = 0, и нет ни одного, если Δ<0\Delta < 0; в этом случае многочлен неприводим над полем действительных чисел.

      Использует: 2. Знак произведения, 11. Теорема Безу и теорема о множителе. Доказывается в уроке: Разложение квадратного трёхчлена и трёхчлена степени 2n.

    6. Разложение и формулы Виета. Если Δ≥0\Delta \geq 0, то ax2+bx+c=a(x−x1)(x−x2)ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2), где x1+x2=−bax_1 + x_2 = -\frac{b}{a} и x1x2=cax_1 x_2 = \frac{c}{a}.

      Использует: 14. Формула корней и дискриминант, 13. Принцип равенства многочленов. Доказывается в уроке: Разложение квадратного трёхчлена и трёхчлена степени 2n.

    7. Биквадратный трёхчлен с отрицательным дискриминантом. Если b2−4ac<0b^2 - 4ac < 0, то трёхчлен ax4+bx2+cax^4 + bx^2 + c есть произведение aa на два неприводимых действительных квадратных многочлена x2−kx+mx^2 - kx + m и x2+kx+mx^2 + kx + m.

      Использует: 14. Формула корней и дискриминант. Доказывается в уроке: Разложение квадратного трёхчлена и трёхчлена степени 2n.

    8. Синтетическое деление. Коэффициенты частного от деления PP на x−rx - r получаются, если снести старший коэффициент и прибавлять к каждому коэффициенту предыдущее число, умноженное на rr; последнее число есть остаток P(r)P(r).

      Использует: 10. Деление многочленов с остатком, 13. Принцип равенства многочленов. Доказывается в уроке: Корни многочленов высших степеней и синтетическое деление.

    9. Рациональные корни. Если несократимая дробь pq\frac{p}{q} является корнем многочлена с целыми коэффициентами и a0≠0a_0 \neq 0, то pp делит a0a_0, а qq делит ana_n; доказательство использует лемму Евклида из первого раздела.

      Опирается на: B (Лемма Евклида). Доказывается в уроке: Корни многочленов высших степеней и синтетическое деление.

    10. Повторное синтетическое деление. Корень rr имеет кратность kk, то есть P=(x−r)kCP = (x - r)^k C при C(r)≠0C(r) \neq 0, тогда и только тогда, когда при последовательном делении на x−rx - r первые kk остатков равны нулю, а следующий за ними нет.

      Использует: 17. Синтетическое деление, 10. Деление многочленов с остатком, 11. Теорема Безу и теорема о множителе. Доказывается в уроке: Корни многочленов высших степеней и синтетическое деление.

    11. Границы корней. Всякий действительный корень удовлетворяет неравенству ∣r∣<1+M∣an∣\abs{r} < 1 + \frac{M}{\abs{a_n}} (граница Коши), где MM есть наибольший из модулей остальных коэффициентов, и если синтетическое деление на x−cx - c, где c>0c > 0 и an>0a_n > 0, даёт строку без отрицательных чисел, то ни один действительный корень не превосходит cc.

      Использует: 17. Синтетическое деление. Доказывается в уроке: Корни многочленов высших степеней и синтетическое деление.

    12. Разложение над полем действительных чисел. Всякий действительный многочлен степени n≥1n \geq 1 есть произведение его старшего коэффициента на множители x−rx - r, где rr действительно, и на приведённые квадратные множители, неприводимые над полем действительных чисел.

      Использует: 14. Формула корней и дискриминант, 10. Деление многочленов с остатком, 17. Синтетическое деление. Опирается на: A (Индукция), E (Основная теорема алгебры), D (Сопряжённые корни). Доказывается в уроке: Корни многочленов высших степеней и синтетическое деление.

  3. Участок 3 От частного к графику

    • Уточнить, когда сокращение даёт равенство и когда две алгебраические дроби равны.
    • Раскладывать правильную дробь на простейшие дроби.
    • Читать по разложению на множители знак многочлена или частного и решать с его помощью неравенства и находить области определения.
    • Исследовать рациональные функции и функции с корнями: вертикальные, горизонтальные, наклонные и криволинейные асимптоты, границы области определения и множество значений.

    1. Лемма о сокращении. При всяком действительном значении, не обращающем в нуль QCQC, дробь PCQC\frac{PC}{QC} принимает то же значение, что и PQ\frac{P}{Q}; обе дроби являются одной и той же функцией, только если вторую сузить на область определения первой.

      Использует: 2. Знак произведения. Доказывается в уроке: Алгебраические дроби и разложение на простейшие дроби.

    2. Равенство дробей. Два многочлена, совпадающие при всех действительных значениях, кроме конечного их числа, равны; отсюда следует, что PQ\frac{P}{Q} и RS\frac{R}{S} совпадают там, где QSQS не обращается в нуль, тогда и только тогда, когда PS=QRPS = QR.

      Использует: 12. Лемма о различных корнях, 13. Принцип равенства многочленов. Доказывается в уроке: Алгебраические дроби и разложение на простейшие дроби.

    3. Простейшие дроби. Всякая правильная дробь единственным образом есть сумма слагаемых A(x−r)j\frac{A}{(x - r)^j} и Bx+C(x2+px+q)j\frac{Bx + C}{(x^2 + px + q)^j}, по одному на каждую степень каждого множителя её знаменателя; при линейных множителях существование получается отделением по одному слагаемому, а единственность выделением у каждого корня наибольшей степени; при неприводимых квадратных множителях оба утверждения принимаются без доказательства.

      Использует: 2. Знак произведения, 11. Теорема Безу и теорема о множителе, 10. Деление многочленов с остатком, 23. Равенство дробей, 21. Разложение над полем действительных чисел. Опирается на: F (Безу и единственность разложения). Доказывается в уроке: Алгебраические дроби и разложение на простейшие дроби.

    4. Знак многочлена. Произведение nn ненулевых множителей отрицательно, если среди них нечётное число отрицательных; следовательно, знак разложенного на множители многочлена меняется при переходе через корень тогда и только тогда, когда его кратность нечётна, а неприводимые множители сохраняют знак своего старшего коэффициента.

      Использует: 2. Знак произведения, 14. Формула корней и дискриминант, 19. Повторное синтетическое деление. Опирается на: A (Индукция). Доказывается в уроке: Таблицы знаков и неравенства.

    5. Вертикальные асимптоты и устранимые точки. Если rr обращает в нуль знаменатель дроби AB\frac{A}{B} и A(r)≠0A(r) \neq 0, то прямая x=rx = r является вертикальной асимптотой; если A(r)=0A(r) = 0, то общий множитель сокращается, и если сокращённая дробь определена в точке rr, то эта точка устранимая.

      Использует: 11. Теорема Безу и теорема о множителе, 22. Лемма о сокращении, 25. Знак многочлена. Опирается на: G (Пределы и непрерывность). Доказывается в уроке: Таблицы знаков и неравенства.

    6. Асимптоты рациональной функции. Если P=Q⋅C+RP = Q \cdot C + R, то разность между PQ\frac{P}{Q} и CC равна RQ\frac{R}{Q} и стремится к 00 на обоих концах: частное CC является горизонтальной, наклонной или криволинейной асимптотой, а таблица знаков решает, куда уходят ветви вблизи вертикальных асимптот.

      Использует: 10. Деление многочленов с остатком, 26. Вертикальные асимптоты и устранимые точки. Опирается на: G (Пределы и непрерывность). Доказывается в уроке: Рациональные функции: асимптоты и график.

    7. Нули и множество значений рациональной функции. По теореме о промежуточном значении рациональная функция, меняющая знак на промежутке своей области определения, обращается на нём в нуль, а функция, которая на промежутке своей области определения принимает значения больше и меньше любого числа, принимает там все действительные значения; если уравнение y⋅Q(x)=P(x)y \cdot Q(x) = P(x) имеет степень 22, его дискриминант даёт множество значений.

      Использует: 14. Формула корней и дискриминант, 27. Асимптоты рациональной функции. Опирается на: G (Пределы и непрерывность), H (Промежуточное значение). Доказывается в уроке: Рациональные функции: асимптоты и график.

    8. Область определения и её границы для функций с корнями. Область определения функции с корнями есть пересечение множеств, которые дают таблицы знаков её условий; если корень нечётной кратности обращает в нуль подкоренное выражение числителя, график заканчивается в этой точке на оси xx; если обращается в нуль знаменатель при ненулевом числителе, имеется вертикальная асимптота; и, по теореме о промежуточном значении, каждая ветвь принимает все значения, заключённые между теми, которых она достигает или к которым приближается на своих границах.

      Использует: 25. Знак многочлена, 26. Вертикальные асимптоты и устранимые точки. Опирается на: G (Пределы и непрерывность), H (Промежуточное значение). Доказывается в уроке: Функции с корнями: область определения, знаки и график.

    9. Асимптоты функций с корнями. Поскольку x2=∣x∣\sqrt{x^2} = \abs{x}, асимптоту функции с корнями находят отдельно при x→∞x \to \infty и при x→−∞x \to -\infty, и на каждом конце она может быть своей; если f(x)x\frac{f(x)}{x} не стремится к числу, прямолинейной асимптоты нет.

      Использует: 27. Асимптоты рациональной функции. Опирается на: G (Пределы и непрерывность). Доказывается в уроке: Функции с корнями: область определения, знаки и график.

К аналитической геометрии. Следующий раздел изучает кривые на плоскости через их уравнения: прямые, параболу, которая характеризуется выделением полного квадрата, окружность как объединение графиков функций ±r2−x2\pm \sqrt{r^2 - x^2} и гиперболу y=1xy = \frac{1}{x} с её двумя асимптотами.