Перейти к содержимому
Topos Uranos
Русский

Таблицы знаков и неравенства

Краткое содержание

В этом уроке мы учимся определять знак многочлена и частного многочленов по их разложению на множители, оформляя исследование в виде таблицы знаков. Урок изучает роль кратности корней и неприводимых квадратных множителей, различает среди нулей знаменателя вертикальные асимптоты и устранимые точки, давая первое интуитивное представление о пределе, и применяет метод к решению многочленных и рациональных неравенств, строгих и нестрогих, а также к нахождению областей определения функций с частными и корнями, включая вложенные корни. Это первый из трёх уроков, посвящённых области определения, множеству значений и графику алгебраических функций.

Цели обучения

  1. Строить таблицу знаков разложенного на множители многочлена с учётом кратности каждого корня и неприводимых квадратных множителей.
  2. Определять знак частного многочленов и распознавать среди нулей знаменателя вертикальные асимптоты и устранимые точки.
  3. Решать многочленные и рациональные неравенства, строгие и нестрогие, не умножая на выражения неизвестного знака.
  4. Находить область определения функций с частными и корнями, включая вложенные корни, с помощью таблиц знаков.
  5. Сводить к неравенствам прикладные задачи, например о продолжительности поездки, о действии лекарства или о конструкции упаковки, и решать их с помощью таблиц знаков.

Знак многочлена

Многие вопросы о функции сводятся к тому, чтобы знать, где выражение положительно, отрицательно или равно нулю: область определения квадратного корня требует неотрицательного подкоренного выражения, неравенство спрашивает, где выражение положительно, а график функции лежит выше оси xx в точности там, где функция положительна. Инструмент, отвечающий на этот вопрос, называется таблицей знаков, а исходным материалом для неё служит разложение на множители, изученное в уроке о разложении квадратного трёхчлена.

Знак линейного множителя

Линейный множитель ax+bax + b, где a≠0a \neq 0, обращается в нуль только при x=−bax = -\frac{b}{a} и имеет постоянный знак по каждую сторону от этой точки. Если a>0a > 0, он отрицателен слева и положителен справа; если a<0a < 0, наоборот. Например, x−3x - 3 положительно в точности тогда, когда x>3x > 3, а 2−x2 - x в точности тогда, когда x<2x < 2:

x−3>0↔x>3,2−x>0↔x<2x - 3 > 0 \leftrightarrow x > 3, \qquad 2 - x > 0 \leftrightarrow x < 2
ЛеммаЗнак линейного множителя

Пусть ax+bax + b есть многочлен степени 11 с корнем r=−bar = -\frac{b}{a}. Если a>0a > 0, то ax+bax + b положителен в точности тогда, когда x>rx > r, и отрицателен в точности тогда, когда x<rx < r; если a<0a < 0, он положителен в точности тогда, когда x<rx < r, и отрицателен в точности тогда, когда x>rx > r.

Используются правила действий с неравенствами, доказанные в уроке о числовой прямой, и лемма о знаке произведения из урока об алгебраических функциях.

Доказательство

  1. ax+b=a(x+ba)=a (x−r)ax + b = a\left( x + \frac{b}{a} \right) = \dato{f}{a \, \resaltar{(x - r)}}

    Выносим aa за скобки: линейный множитель равен aa, умноженному на разность x−rx - r, которая положительна в точности тогда, когда x>rx > r, равна нулю при rr и отрицательна в точности тогда, когда x<rx < r.

  2. a>0→(ax+b>0↔x>r)a > 0 \rightarrow \left( ax + b > 0 \leftrightarrow \resaltar{x > r} \right)

    По лемме о знаке произведения a(x−r)a(x - r) положительно в точности тогда, когда aa и x−rx - r имеют один и тот же знак. Если a>0a > 0, это происходит в точности тогда, когда x>rx > r.

  3. a<0→(ax+b>0↔x<r)a < 0 \rightarrow \left( ax + b > 0 \leftrightarrow \resaltar{x < r} \right)

    Если a<0a < 0, произведение положительно в точности тогда, когда x−rx - r отрицательно, то есть когда x<rx < r; и в обоих случаях произведение отрицательно в точности тогда, когда знаки противоположны.

Таблица знаков произведения

Предположим, что многочлен записан в виде произведения линейных множителей. Числа, в которых обращается в нуль какой-либо множитель, называются критическими точками; упорядоченные от меньшего к большему, они разбивают числовую прямую на открытые промежутки. Но каждый из этих промежутков целиком лежит по одну сторону от корня каждого множителя, так что, по лемме о знаке линейного множителя, ни один множитель не меняет знака внутри него; отсюда следует, что и произведение имеет постоянный знак на каждом промежутке. Этот знак даёт правило знаков, которое распространяет на nn множителей лемму о знаке произведения двух множителей, доказанную в уроке об алгебраических функциях. Это обобщение доказывается по индукции, как в уроке о суммах, прогрессиях и индукции.

ЛеммаПравило знаков

Произведение nn ненулевых действительных множителей отлично от нуля; оно отрицательно, если число его отрицательных множителей нечётно, и положительно, если чётно.

Пусть c1,c2,…,cnc_1, c_2, \ldots, c_n есть ненулевые действительные числа и Πn=c1c2⋯cn\Pi_n = c_1 c_2 \cdots c_n есть их произведение. Рассуждаем по индукции по числу nn множителей. Рисунок показывает множители в один ряд и под каждым из них знак произведения, накопленного до него.

Доказательство

  1. c>0→(p⋅c>0↔p>0),c<0→(p⋅c>0↔p<0)\dato{pos}{c > 0 \rightarrow (p \cdot c > 0 \leftrightarrow p > 0)}, \quad \dato{neg}{c < 0 \rightarrow (p \cdot c > 0 \leftrightarrow p < 0)}

    По лемме о знаке произведения двух множителей произведение ненулевого действительного числа pp на ненулевое действительное число cc не равно нулю; если cc положительно, оно имеет знак pp, а если cc отрицательно, противоположный знак.

  2. Π1=c1\Pi_1 = c_1

    Базовый случай: если n=1n = 1, произведение есть сам множитель, который отрицателен в точности тогда, когда имеется один отрицательный множитель, а 11 нечётно.

  3. Πn+1=Πn⋅cn+1\dato{h}{\Pi_{n + 1} = \Pi_n \cdot c_{n + 1}}

    Предположение индукции: Πn\Pi_n отрицательно, если число knk_n его отрицательных множителей нечётно, и положительно, если чётно. Добавим ещё один множитель.

  4. cn+1>0→kn+1=knc_{n + 1} > 0 \rightarrow \resaltar{k_{n + 1} = k_n}

    Если cn+1c_{n + 1} положительно, знак произведения не меняется, и число отрицательных множителей не меняется: правило выполняется для n+1n + 1 множителей.

  5. cn+1<0→kn+1=kn+1c_{n + 1} < 0 \rightarrow \resaltar{k_{n + 1} = k_n + 1}

    Если cn+1c_{n + 1} отрицательно, знак меняется на противоположный, а число отрицательных множителей увеличивается на единицу, что меняет его чётность. Правило также выполняется, и по принципу математической индукции оно верно для всякого nn.

Таблица знаков упорядочивает это рассуждение. Её столбцы суть промежутки, определяемые критическими точками; в ней есть по одной строке для каждого множителя и последняя строка для произведения, которая заполняется столбец за столбцом по правилу знаков. В каждой критической точке ставится 00 в строках тех множителей, которые обращаются в нуль, а также в строке произведения.

ПримерТаблица знаков произведения

Определить знак многочлена P(x)=(x+2)(x−1)(x−3)P(x) = (x + 2)(x - 1)(x - 3) в каждой точке числовой прямой.

Доказательство

  1. P(x)=0↔x=−2∨x=1∨x=3P(x) = 0 \leftrightarrow x = -2 \vee x = 1 \vee x = 3

    Критические точки суть корни трёх множителей. Они разбивают прямую на четыре промежутка, которые и являются столбцами таблицы.

  2. x+2>0↔x>−2x + 2 > 0 \leftrightarrow x > -2

    Множитель x+2x + 2 обращается в нуль при −2-2; он отрицателен слева от этой точки и положителен справа.

  3. x−1>0↔x>1x - 1 > 0 \leftrightarrow x > 1

    Множитель x−1x - 1 меняет знак в точке 11.

  4. x−3>0↔x>3x - 3 > 0 \leftrightarrow x > 3

    Множитель x−3x - 3 меняет знак в точке 33.

  5. P(x)<0↔x<−2∨1<x<3P(x) < 0 \leftrightarrow x < -2 \vee 1 < x < 3

    В каждом столбце считаем отрицательные множители: три, два, один и ни одного. Произведение отрицательно, когда их число нечётно.

  6. P(x)>0↔−2<x<1∨x>3P(x) > 0 \leftrightarrow -2 < x < 1 \vee x > 3

    В остальных столбцах произведение положительно, а в трёх критических точках обращается в нуль. График это подтверждает: кривая лежит выше оси в точности на этих промежутках и пересекает её в каждой критической точке.

Кратность и неприводимые множители

Не всякий многочлен раскладывается на различные линейные множители. Как было показано в уроке о корнях многочленов высших степеней, rr есть корень кратности kk, если многочлен равен (x−r)k(x - r)^k, умноженному на другой многочлен, не обращающийся в нуль в точке rr, и эта кратность определяется повторным синтетическим делением; в таблице соответствующим множителем является (x−r)k(x - r)^k. С другой стороны, по теореме о знаке дискриминанта, доказанной в уроке о разложении квадратного трёхчлена, квадратный множитель ax2+bx+cax^2 + bx + c с отрицательным дискриминантом неприводим и не имеет действительных корней. Предложение, приведённое ниже, говорит, какую роль каждый из них играет в таблице.

УтверждениеЗнак и кратность

Знак разложенного на множители многочлена меняется при переходе через критическую точку тогда и только тогда, когда кратность этого корня нечётна. Неприводимые квадратные множители имеют постоянный знак, совпадающий со знаком их старшего коэффициента, и их можно отбросить в неравенстве, когда они положительны, поскольку деление на положительное число сохраняет неравенство.

Пусть rr есть корень кратности kk многочлена PP. Рисунок сопровождает доказательство при r=1r = 1 и дополнительном множителе x+2x + 2, а в конце с неприводимым множителем x2+x+1x^2 + x + 1.

Доказательство

  1. P(x)=(x−r)kC(x),C(r)≠0\dato{p}{P(x) = \resaltar{(x - r)^k} C(x), \quad C(r) \neq 0}

    Запишем PP, выделив множитель, соответствующий rr. Между rr и ближайшей критической точкой многочлена CC ни один множитель CC не обращается в нуль, и по правилу знаков CC имеет постоянный знак по обе стороны от rr.

  2. k=2j→(x−r)k=((x−r)j)2>0,x≠rk = 2j \rightarrow (x - r)^k = \resaltar{\left( (x - r)^j \right)^2} > 0, \quad x \neq r

    Если kk чётно, (x−r)k(x - r)^k есть квадрат ненулевого числа по обе стороны от rr и потому положительно: PP имеет там знак CC, который не меняется.

  3. k=2j+1→(x−r)k=(x−r)((x−r)j)2k = 2j + 1 \rightarrow (x - r)^k = \resaltar{(x - r)} \left( (x - r)^j \right)^2

    Если kk нечётно, (x−r)k(x - r)^k есть x−rx - r, умноженное на положительный квадрат, и имеет знак x−rx - r, который меняется в точке rr: по правилу знаков PP меняет знак при переходе через rr.

  4. ax2+bx+c=a((x+b2a)2+4ac−b24a2)ax^2 + bx + c = a \resaltar{\left( \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 + \frac{4ac - b^2}{4a^2} \right)}

    Если b2−4ac<0b^2 - 4ac < 0, то в форме с выделенным полным квадратом квадратные скобки содержат квадрат плюс положительное число: множитель всегда имеет знак aa, не даёт критических точек, и если a>0a > 0, деление на него сохраняет направление неравенства.

ПримерДвукратный корень и неприводимый множитель

Определить, где положителен и где неотрицателен многочлен Q(x)=(x+1)2(2−x)(x2+x+1)Q(x) = (x + 1)^2 (2 - x)(x^2 + x + 1).

Доказательство

  1. Δ=12−4⋅1⋅1=−3<0\Delta = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0

    Критические точки суть −1-1, двукратный корень, и 22. Квадратный множитель не даёт ни одной, поскольку его дискриминант отрицателен.

  2. (x+1)2>0↔x≠−1(x + 1)^2 > 0 \leftrightarrow x \neq -1

    Множитель (x+1)2(x + 1)^2 есть квадрат: он обращается в нуль при −1-1 и положителен по обе стороны.

  3. 2−x>0↔x<22 - x > 0 \leftrightarrow x < 2

    Множитель 2−x2 - x имеет отрицательный старший коэффициент: он положителен слева от 22.

  4. x2+x+1=(x+12)2+34>0x^2 + x + 1 = \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4} > 0

    Неприводимый множитель положителен во всех столбцах, как показывает выделенный полный квадрат.

  5. Q(x)≥0↔x≤2Q(x) \geq 0 \leftrightarrow x \leq 2

    По правилу знаков получаем строку QQ: знак не меняется в точке −1-1, корне чётной кратности, и меняется в точке 22. Нестрогое неравенство включает оба нуля.

  6. Q(x)>0↔x<2∧x≠−1Q(x) > 0 \leftrightarrow x < 2 \wedge x \neq -1

    Строгое неравенство исключает нули QQ, в том числе нуль в точке −1-1, хотя по обе стороны от него многочлен положителен.