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LatineRésumé
Cette leçon ouvre l’unité consacrée aux fonctions algébriques et aux polynômes. Elle présente ses neuf leçons et le fil qui les relie, à savoir la factorisation : d’elle dépendent les racines, le signe, les inéquations, les ensembles de définition, les asymptotes et les courbes. Elle parcourt ensuite le contexte historique de ces idées, depuis les problèmes du second degré des tablettes babyloniennes et l’algèbre d’al-Khwârizmî jusqu’aux formules italiennes du XVIe siècle, à la notation de Viète et de Descartes et au concept de fonction d’Euler et de Dirichlet ; elle formule avec précision les deux problèmes qui sont à leur origine, résoudre une équation polynomiale et décrire une fonction, et montre sur un exemple comment la factorisation les résout tous deux à la fois. Elle se termine en indiquant où ces idées servent dans la suite du cours, dans d’autres cours du site et dans la science et la technique.
Objectifs d’apprentissage
- Décrire le contenu de chaque leçon de l’unité et expliquer le rôle que joue la factorisation des polynômes dans l’ensemble.
- Situer dans leur contexte historique les principaux résultats de l’unité, en nommant leurs protagonistes et le problème que chacun cherchait à résoudre.
- Formuler le problème de la résolution d’une équation polynomiale et celui de la description d’une fonction algébrique, et reconnaître sur un exemple comment une seule factorisation répond aux deux.
- Repérer où ces idées réapparaissent dans les unités ultérieures, dans d’autres cours et dans des applications scientifiques et techniques.
Évaluation d’entrée
Avant de parcourir l’unité, il convient de mesurer le point de départ. Cette auto-évaluation n’est pas notée : les neuf premières questions portent, une à une, sur les neuf leçons de l’unité, et la dixième demande de mettre en équation une situation concrète sous la forme d’une fonction ; les mêmes compétences sont mesurées de nouveau à la fin, dans la leçon de synthèse. Les trois dernières vérifient ce que l’unité tient pour acquis de l’unité sur les ensembles de nombres. Chaque réponse erronée indique la leçon sur laquelle il convient de s’arrêter.
Avant de commencer l’unité, mesurez votre point de départ. C’est une autoévaluation brève : elle n’est pas notée et son résultat n’est conservé que dans votre navigateur.
Question 1Quel est l’ensemble de définition de la fonction ?
On a exclu , comme si la racine de n’existait pas. Une racine d’indice pair exige un radicande positif ou nul, et non strictement positif, lorsqu’elle est au numérateur.Il manque la condition sur le dénominateur : en le quotient divise par zéro et n’est pas défini.On a inversé l’inégalité en la résolvant : équivaut à , car en faisant passer dans l’autre membre il reste .Le radicande doit être positif ou nul, , c’est-à-dire ; et le dénominateur ne peut pas s’annuler, ce qui exclut . En la racine vaut et le quotient est défini.À revoir : Fonctions algébriques d’une variable réelle
Question 2La fonction , restreinte à , est une bijection de cet intervalle sur . Quelle est sa réciproque ?
C’est la réciproque de l’autre moitié de la parabole, la restriction à : elle prend des valeurs inférieures ou égales à , dont seul appartient à l’ensemble de définition de la restriction donnée.On a défait les opérations en changeant le signe du décalage : pour revenir de à , il faut ajouter , et non le soustraire. Par exemple, , mais cette formule donne en .C’est l’inverse, et non la fonction réciproque : l’exposant de n’est qu’une notation pour la fonction qui défait .En isolant le carré, ; comme sur la restriction , le nombre est la racine principale de , et non son opposé. On vérifie que .À revoir : Opérations sur les fonctions, réciproque et transformations
Question 3Pour quelle valeur de le polynôme est-il divisible par ?
Bonne réponse :
Par le théorème du facteur, divise le polynôme si et seulement si celui-ci s’annule en : , d’où . Qui obtient a évalué en , qui est la racine de , et non celle de .À revoir : Algèbre des polynômes réels
Question 4Si et sont les racines de , que vaut ?
Bonne réponse :
Par les relations de Viète, et ; donc . Qui obtient a confondu avec , et qui obtient a ajouté au lieu de le soustraire.À revoir : Factorisation des trinômes du second degré et de degré 2n
Question 5Soient et des entiers. D’après le théorème des racines rationnelles, lequel des nombres ci-dessous ne peut pas être racine de ?
Ce nombre est bien un candidat : divise et divise . On a peut-être interverti les rôles du terme constant et du coefficient dominant.C’est un candidat : divise et divise . Le théorème n’exclut pas les signes négatifs, car un entier en divise un autre exactement lorsque son opposé le divise.C’est un candidat entier : divise , et son dénominateur est , qui divise tout entier. Qu’il soit racine dépendra de et de .Une racine rationnelle irréductible vérifie que divise le terme constant, , et que divise le coefficient dominant, . Pour , le numérateur ne divise pas et le dénominateur ne divise pas .À revoir : Racines des polynômes de degré supérieur et division synthétique
Question 6Quels nombres et vérifient pour tout réel différent de et de ?
Ce sont les valeurs du numérateur aux racines, sans diviser par la valeur de l’autre facteur. Quand on masque , le facteur reste lui aussi visible, et il s’évalue avec le numérateur.On a perdu le signe du dénominateur en évaluant en : le facteur y vaut , et le quotient de par est strictement positif.On a réparti les coefficients du numérateur entre les fractions. La somme a pour numérateur , et non .Par la méthode de masquage, est la valeur en de , qui est , et est la valeur en de , qui est . En les deux membres valent .À revoir : Fractions rationnelles et décomposition en éléments simples
Question 7Quel est l’ensemble des solutions de l’inéquation ?
Il faut encore exclure : en ce point le facteur s’annule et le quotient vaut , qui n’est pas strictement négatif. La racine double ne change pas le signe, mais elle reste un zéro.On a traité la racine double comme si elle changeait le signe. Un facteur d’exposant pair est strictement positif des deux côtés de sa racine, et le signe ne change pas quand on traverse .Ce sont les points où le quotient est strictement positif : on a inversé le sens de l’inégalité en lisant le tableau de signes.Le quotient a le signe de hors de , car le facteur y est strictement positif ; ce quotient est strictement négatif entre et . En le numérateur s’annule, et l’inégalité stricte l’exclut.À revoir : Tableaux de signes et inéquations
Question 8Quelle est l’asymptote oblique de la courbe représentative de ?
On a divisé par seulement les deux premiers termes du numérateur, comme si le dénominateur était . Il faut diviser par , et le terme du diviseur modifie le quotient.C’est le quotient des coefficients dominants, qui donne une asymptote horizontale seulement lorsque les degrés sont égaux. Ici le numérateur a un degré de plus, et l’asymptote est oblique.C’est l’asymptote verticale, qui correspond au zéro du dénominateur. L’asymptote oblique décrit la fonction lorsque tend vers ou vers .La division donne , de sorte que , et la fraction tend vers aux deux extrémités.À revoir : Fonctions rationnelles : asymptotes et courbe représentative
Question 9Quelle est l’asymptote de la courbe de lorsque tend vers ?
C’est l’asymptote lorsque tend vers . Pour strictement négatif et grand en valeur absolue, ; de plus, une racine n’est jamais strictement négative, et la droite l’est pour .On a changé le signe de sans changer celui du terme constant. La valeur absolue change le signe de toute l’expression .Il manque le terme constant, qui provient de la complétion du carré ; la différence entre la fonction et tend vers , et non vers .En complétant le carré, , et la racine se rapproche de , qui pour vaut . La différence vaut , qui tend vers .À revoir : Fonctions avec radicaux : ensemble de définition, signe, courbe
Question 10Un réservoir contient litres d’eau à grammes de sucre par litre. À partir d’un instant donné, on y ajoute, sans que du liquide en sorte, litres par minute d’un sirop à grammes de sucre par litre, qui se mélange immédiatement. Quelles valeurs prend la concentration en sucre, en grammes par litre, à partir de cet instant ?
La droite est une asymptote horizontale : la fraction ne vaut jamais , de sorte que le mélange n’atteint jamais la concentration du sirop qui entre.On a oublié le sucre que le réservoir contenait au départ, comme s’il s’agissait d’eau pure : à l’instant initial la concentration vaut , et non , et elle croît à partir de là.On a fait la moyenne des deux concentrations, et , comme si l’on mélangeait des volumes égaux. Le volume de sirop ajouté croît sans borne, et sa concentration finit par dominer le mélange.Au bout de minutes, il y a grammes de sucre dans litres : . La fraction décroît de vers sans jamais s’annuler : la concentration croît depuis et s’approche de , celle du sirop qui entre, sans l’atteindre.À revoir : Fonctions rationnelles : asymptotes et courbe représentative
Question 11Des unités précédentesQuel est l’ensemble des solutions de l’inéquation ?
On a résolu seulement , en oubliant que la valeur absolue exige aussi .C’est la solution de . Une valeur absolue strictement inférieure à décrit les points proches de , qui forment un intervalle.L’inégalité équivaut à ; en ajoutant et en divisant par , on obtient .À revoir : La droite réelle : ordre, intervalles et valeur absolue
Question 12Des unités précédentesCalculer .
Bonne réponse :
Par définition, , et l’exposant négatif indique l’inverse : . Qui obtient a lu le signe de l’exposant comme le signe du résultat.À revoir : Puissances à exposant rationnel et radicaux
Question 13Des unités précédentesQuel est l’ensemble des solutions de l’inéquation ?
En divisant par le nombre strictement négatif , il faut renverser le sens de l’inégalité, et ici on l’a conservé.Le signe moins qui précède la seconde fraction porte sur tout son numérateur : , et non .En multipliant par , qui est strictement positif, , c’est-à-dire ; en divisant par , on renverse le sens : .À revoir : Équations et inéquations du premier degré, systèmes linéaires
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