Les ensembles de nombres : synthèse et défis

Résumé

Cette leçon clôt l’unité sur les ensembles de nombres. Elle réunit en une seule chaîne déductive ce que les leçons de l’unité ont démontré : la construction des entiers relatifs, des rationnels et des complexes à partir de l’ensemble précédent, les axiomes de corps ordonné complet que l’on admet pour les réels, avec la complétude comme trait propre, et les conséquences de chaque propriété pour le calcul avec des inégalités, des décimaux, des radicaux, des équations et des nombres complexes. Elle explique comment cette chaîne s’appuie sur l’arithmétique des entiers naturels de l’unité précédente et comment elle prépare l’étude des fonctions et des polynômes de l’unité suivante. Elle se termine par une évaluation de sortie, parallèle à celle d’entrée, et par dix défis, plus difficiles que les problèmes des leçons, dont chacun combine des résultats de plusieurs d’entre elles.

Objectifs d’apprentissage

Exposer dans l’ordre logique les définitions et les théorèmes principaux de l’unité, en indiquant de quels résultats antérieurs dépend chacun d’eux.
Expliquer quelle propriété gagne et laquelle perd chaque extension numérique, et pourquoi la complétude ne peut pas s’obtenir par des moyens algébriques.
Relier les résultats de l’unité à l’arithmétique des entiers naturels et à l’étude des fonctions algébriques et des polynômes.
Résoudre des problèmes non routiniers qui exigent de combiner l’arithmétique des fractions, l’ordre des réels, le calcul avec les radicaux, les systèmes linéaires et les nombres complexes.

L’acquis de l’unité

L’unité a pris pour point de départ une lacune et un principe. La lacune : dans les entiers naturels, on ne peut pas toujours soustraire, diviser ni extraire des racines. Le principe, énoncé dans la leçon sur les ensembles de nombres : chaque nouvel ensemble conserve les opérations et les propriétés du précédent et ajoute les éléments nécessaires pour qu’une opération réciproque, jusque-là restreinte, soit définie. Le résultat est la chaîne d’inclusions qui organise toute l’unité :

\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}

Les constructions

Trois des quatre extensions ont été faites avec des couples d’éléments de l’ensemble précédent, et deux d’entre elles, celle des entiers relatifs et celle des rationnels, par un même procédé, qu’il convient de reconnaître comme tel. On déclare quand deux couples représentent le même nombre et l’on démontre que cette déclaration se comporte comme une égalité, c’est-à-dire qu’elle est une relation d’équivalence ; ses classes forment alors une partition, comme il a été démontré dans la leçon sur les ensembles, les relations et les fonctions, et le nouvel ensemble est l’ensemble quotient ; ensuite on définit les opérations à l’aide de représentants et l’on démontre que le résultat ne dépend pas des représentants choisis. Dans les entiers relatifs, le couple d’entiers naturels $(a, b)$ représente la soustraction $a - b$ , et deux couples sont équivalents lorsque $a + d = b + c$ ; dans les nombres rationnels, la fraction $\frac{p}{q}$ représente un quotient, et deux fractions sont équivalentes lorsque $ps = qr$ ; dans les nombres complexes, le couple de réels $(a, b)$ est déjà le nombre, avec un produit défini de sorte que $(0, 1)^2 = (-1, 0)$ . Dans les trois cas, l’ensemble précédent réapparaît à l’intérieur du nouveau grâce à une correspondance qui respecte les opérations, et ce qui, dans la présentation intuitive, était des conventions devient théorème : la règle des signes, l’absence de diviseurs de zéro, la simplification dans les produits, l’unicité de la fraction irréductible et l’égalité $i^2 = -1$ .

L’ordre et la complétude

La quatrième extension est d’une autre nature, et elle ne s’est pas faite par construction. Les rationnels permettent déjà d’additionner, de soustraire, de multiplier et de diviser, et ils ont un ordre compatible avec ces opérations, dense et archimédien ; mais l’ensemble des rationnels dont le carré est strictement inférieur à $2$ est borné et n’a pas de borne supérieure rationnelle. Comme la construction des réels à partir des rationnels dépasse le cadre du cours, la leçon sur les ensembles de nombres les a admis comme un corps ordonné complet : un ensemble qui contient les rationnels et vérifie les axiomes de corps, ceux d’ordre et celui de complétude, selon lequel toute partie non vide et majorée possède une borne supérieure. Les deux premiers groupes sont vérifiés aussi par les rationnels ; le troisième est celui qui caractérise les réels. De la complétude ont été déduites, dans la leçon sur le développement décimal des nombres rationnels, la propriété d’Archimède des réels et la valeur de tout développement décimal infini, avec la caractérisation des rationnels comme les nombres à développement fini ou périodique ; et, dans la leçon sur la droite réelle, l’existence de la racine $n$ -ième de tout réel positif ou nul, la densité des rationnels dans la droite et la caractérisation des intervalles comme les ensembles sans trous. Aucune de ces propriétés ne s’obtient avec des sommes et des produits : la complétude est une propriété de l’ordre, et c’est pourquoi les réels ne peuvent pas être construits en ajoutant aux rationnels les solutions de certaines équations.

Le calcul

Sur ces fondements reposent les techniques de calcul de l’unité. La leçon sur les puissances à exposant rationnel et les radicaux a utilisé l’unicité de la racine principale pour démontrer que $a^{\frac{p}{q}}$ ne dépend pas de la fraction choisie et que les règles de calcul sur les puissances sont valables, et elle a établi les règles de calcul sur les radicaux avec leurs hypothèses de signe, parmi lesquelles $\sqrt{a^2} = \abs{a}$ . La leçon sur les équations et inéquations du premier degré a converti les propriétés des corps et de l’ordre en règles pour transformer équations et inéquations sans perdre ni ajouter de solutions, et elle a classé les systèmes de deux équations au moyen de leur déterminant. Enfin, les complexes ont complété l’algèbre : toute équation du second degré à coefficients réels y a une solution, et lorsque son discriminant est strictement négatif elle en a exactement deux, conjuguées l’une de l’autre ; et la géométrie du plan s’est traduite en opérations sur le conjugué et le module. Le prix a été l’ordre : dans $\mathbb{C}$ il n’en existe aucun qui soit compatible avec les opérations, et la taille d’un nombre se mesure par son module.

Ce que l’on gagne et ce que l’on perd

Le bilan de l’unité peut se résumer ainsi :

De $\mathbb{N}$ à $\mathbb{Z}$ , on gagne l’opposé, et avec lui la soustraction ; on perd le bon ordre, car les entiers relatifs n’ont pas de plus petit élément.
De $\mathbb{Z}$ à $\mathbb{Q}$ , on gagne l’inverse de tout nombre non nul, et avec lui la division ; on perd le successeur, car entre deux rationnels il y en a toujours un autre.
De $\mathbb{Q}$ à $\mathbb{R}$ , on gagne la complétude, et avec elle les racines des nombres positifs ou nuls et la mesure de tout segment ; on perd le développement fini ou périodique de tous les nombres.
De $\mathbb{R}$ à $\mathbb{C}$ , on gagne la solution de toute équation du second degré et, selon le théorème fondamental de l’algèbre, de toute équation polynomiale non constante ; on perd l’ordre compatible avec les opérations.

La figure suivante réunit les trois tronçons en une seule chaîne. Chaque nœud de la colonne est une définition ou un théorème, numéroté selon l’ordre logique et relié par un arc aux maillons antérieurs qu’utilise sa démonstration ; autour flottent les appuis, c’est-à-dire les principes et les outils auxquels la chaîne recourt sans cesse, chacun relié par un trait plein aux maillons qui reposent sur lui et par un trait pointillé au maillon où il est établi, sauf ceux qui sont admis ou qui proviennent de l’unité précédente, qui sont dessinés comme des anneaux. Un clic sur un appui met en évidence tous les maillons qui l’utilisent, et chaque maillon renvoie à la leçon où il est démontré.

Appuis de la chaîne

APrincipe des extensions. Chaque nouvel ensemble de nombres conserve les opérations et les propriétés du précédent, et ajoute les éléments nécessaires pour qu’une opération réciproque, jusque-là restreinte, soit définie ; il est adopté comme fil conducteur de toute l’unité. Admis sans démonstration dans cette unité.
BArithmétique des entiers naturels. Les propriétés de l’addition, de la multiplication et de l’ordre des entiers naturels, la récurrence, le bon ordre et la somme des suites, démontrés dans l’unité sur les entiers naturels. Admis sans démonstration dans cette unité.
CDivision euclidienne. Pour tout entier relatif $a$ et tout entier naturel $b$ , il existe un unique quotient $q$ et un unique reste $r$ tels que $a = bq + r$ et $0 \leq r < b$ ; démontré dans l’unité sur les entiers naturels, avec les règles des entiers relatifs que démontre la leçon sur les entiers relatifs. Admis sans démonstration dans cette unité.
DBézout et Euclide. Si $\operatorname{pgcd}(a, b) = 1$ , il existe des entiers $x$ et $y$ tels que $ax + by = 1$ , et un nombre premier qui divise un produit divise l’un des facteurs ; démontré dans l’unité sur les entiers naturels. Admis sans démonstration dans cette unité.
EConstruction par classes. On prend des couples de l’ensemble précédent, on démontre que la condition qui identifie deux couples est une relation d’équivalence, on prend comme nouvel ensemble le quotient, dont les classes forment une partition des couples, et l’on définit les opérations à l’aide de représentants, en prouvant que le résultat ne dépend pas de ceux qui ont été choisis. Établi dans: 2. Construction des entiers relatifs.
FAxiomes de corps ordonné complet. On admet que les réels forment un corps ordonné complet contenant les rationnels : l’addition et la multiplication vérifient les axiomes de corps ; les nombres strictement positifs vérifient la trichotomie et sont stables par addition et par multiplication ; et toute partie non vide et majorée des réels possède une borne supérieure, ce qui est l’axiome qui caractérise les réels. Admis sans démonstration dans cette unité.
GUnicité de la racine. Deux réels positifs ou nuls ayant la même puissance $n$ -ième sont égaux ; c’est pourquoi il suffit d’exhiber un nombre positif ou nul dont la puissance est celle qui est donnée pour savoir qu’il est la racine principale. Établi dans: 11. Unicité de la racine principale.
HPropriété d’Archimède. Pour tout réel, il existe un entier naturel strictement supérieur à lui ; par conséquent, un réel $d$ tel que $0 \leq d \leq \frac{1}{10^n}$ pour tout entier naturel $n$ est nul. Établi dans: 13. Propriété d’Archimède.

Tronçon 1 Les constructions
- Construire les entiers relatifs comme classes de couples d’entiers naturels et les rationnels comme classes de fractions, avec des opérations bien définies.
- Transformer en théorèmes la règle des signes, l’absence de diviseurs de zéro et la simplification dans les produits.
- Démontrer que tout rationnel a une unique fraction irréductible, et que l’ordre des rationnels est dense et archimédien.
- Construire les complexes comme couples de réels, avec un produit qui donne $i^2 = -1$ .
1. Unicité de l’élément neutre et de l’opposé. L’élément neutre de l’addition est unique et chaque nombre a un unique opposé, de sorte que $-(-c) = c$ ; de même, chaque nombre non nul a un unique inverse.
  Démontré dans: Ensembles de nombres : des entiers naturels aux complexes.
2. Construction des entiers relatifs. La relation qui rend équivalents les couples d’entiers naturels $(a, b)$ et $(c, d)$ lorsque $a + d = b + c$ est une relation d’équivalence ; ses classes sont les entiers relatifs, munis d’une addition et d’une multiplication bien définies, commutatives, associatives et distributives, avec les éléments neutres $C(1, 1)$ et $C(2, 1)$ et l’opposé $-C(a, b) = C(b, a)$ .
  Repose sur: B (Arithmétique des entiers naturels). Démontré dans: Les entiers relatifs : construction, signes et ordre.
3. Trichotomie des entiers relatifs. En identifiant l’entier naturel $n$ à la classe $C(n + 1, 1)$ , on conserve l’addition et la multiplication, et tout entier relatif est exactement l’une de ces choses : un entier naturel, le zéro ou l’opposé d’un entier naturel.
  Utilise: 2. Construction des entiers relatifs. Repose sur: B (Arithmétique des entiers naturels), A (Principe des extensions). Démontré dans: Les entiers relatifs : construction, signes et ordre.
4. Règle des signes. Pour tous les entiers relatifs, on a $a \cdot 0 = 0$ , $(-a) b = -(ab)$ et $(-a)(-b) = ab$ ; de plus, si $ab = 0$ , l’un des facteurs est nul, et un facteur non nul commun à deux produits égaux se simplifie.
  Utilise: 1. Unicité de l’élément neutre et de l’opposé, 2. Construction des entiers relatifs, 3. Trichotomie des entiers relatifs. Démontré dans: Les entiers relatifs : construction, signes et ordre.
5. Ordre des entiers relatifs. Si $a < b$ signifie que $b - a$ est un entier naturel, ajouter un même entier conserve l’ordre, multiplier par un nombre strictement positif le conserve et par un nombre strictement négatif le renverse ; et la division euclidienne d’un dividende strictement négatif se ramène à celle d’un dividende naturel.
  Utilise: 1. Unicité de l’élément neutre et de l’opposé, 3. Trichotomie des entiers relatifs, 4. Règle des signes. Repose sur: C (Division euclidienne). Démontré dans: Les entiers relatifs : construction, signes et ordre.
6. Construction des rationnels. La relation qui rend équivalentes les fractions $\frac{p}{q}$ et $\frac{r}{s}$ lorsque $ps = qr$ est une relation d’équivalence ; ses classes sont les rationnels, munis d’une addition et d’une multiplication bien définies, et tout rationnel non nul $\frac{p}{q}$ a pour inverse $\frac{q}{p}$ .
  Utilise: 1. Unicité de l’élément neutre et de l’opposé, 4. Règle des signes. Repose sur: E (Construction par classes), A (Principe des extensions). Démontré dans: Les nombres rationnels : les fractions et leurs opérations.
7. Fraction irréductible. Tout nombre rationnel est représenté par une fraction irréductible de dénominateur entier naturel, et par une seule.
  Utilise: 4. Règle des signes, 6. Construction des rationnels. Repose sur: D (Bézout et Euclide). Démontré dans: Les nombres rationnels : les fractions et leurs opérations.
8. Ordre des rationnels. Avec des dénominateurs entiers naturels, $\frac{p}{q} < \frac{r}{s}$ lorsque $ps < qr$ ; cet ordre ne dépend pas des fractions choisies, prolonge celui des entiers relatifs et est compatible avec les opérations, et il est dense et archimédien : entre deux rationnels il y en a une infinité, et tout rationnel est strictement inférieur à un entier naturel.
  Utilise: 5. Ordre des entiers relatifs, 6. Construction des rationnels. Démontré dans: Les nombres rationnels : les fractions et leurs opérations.
9. Construction des complexes. Avec $(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)$ et $(a, b)(c, d) = (ac - bd, ad + bc)$ , les couples de réels forment les complexes : leurs opérations sont commutatives, associatives et distributives, les couples $(a, 0)$ se comportent comme les réels, $i = (0, 1)$ vérifie $i^2 = -1$ et chaque complexe s’écrit d’une unique manière sous la forme $a + bi$ .
  Repose sur: A (Principe des extensions), F (Axiomes de corps ordonné complet). Démontré dans: Les nombres complexes : opérations et équations.
Tronçon 2 L’ordre et la complétude
- Déduire des axiomes de l’ordre les règles de calcul sur les inégalités et l’unicité de la racine principale.
- Démontrer que les rationnels ne sont pas complets, car l’ensemble des rationnels de carré strictement inférieur à $2$ n’a pas de borne supérieure rationnelle.
- Déduire de la complétude la propriété d’Archimède, la valeur de tout développement décimal infini et la caractérisation des rationnels par leurs développements finis ou périodiques.
- Déduire de la complétude la densité des rationnels dans la droite, l’existence des racines et la caractérisation des intervalles, et opérer avec la valeur absolue.
1. Ordre des réels. Si les nombres strictement positifs vérifient la trichotomie et sont stables par addition et par multiplication, l’ordre des réels est transitif, il se conserve quand on ajoute et quand on multiplie par un nombre strictement positif, il se renverse quand on multiplie par un nombre strictement négatif, et prendre les inverses de deux nombres strictement positifs renverse leur ordre.
  Utilise: 4. Règle des signes. Repose sur: F (Axiomes de corps ordonné complet). Démontré dans: Ensembles de nombres : des entiers naturels aux complexes.
2. Unicité de la racine principale. Si $p$ et $r$ sont positifs ou nuls et $p^n = r^n$ , alors $p = r$ ; si $n$ est impair, chaque réel a au plus une racine $n$ -ième, qui est strictement négative lorsque le nombre l’est.
  Utilise: 4. Règle des signes, 10. Ordre des réels. Repose sur: B (Arithmétique des entiers naturels). Démontré dans: Ensembles de nombres : des entiers naturels aux complexes.
3. Les rationnels ne sont pas complets. La racine carrée de $2$ n’est pas rationnelle ; par conséquent, l’ensemble des rationnels dont le carré est strictement inférieur à $2$ est majoré, mais aucun de ses majorants rationnels n’est le plus petit.
  Utilise: 8. Ordre des rationnels, 11. Unicité de la racine principale. Repose sur: D (Bézout et Euclide). Démontré dans: Ensembles de nombres : des entiers naturels aux complexes.
4. Propriété d’Archimède. Pour tout réel $x$ , il existe un entier naturel strictement supérieur à $x$ ; par conséquent, si $0 \leq d \leq \frac{1}{10^n}$ pour tout entier naturel $n$ , alors $d = 0$ .
  Utilise: 10. Ordre des réels. Repose sur: F (Axiomes de corps ordonné complet), B (Arithmétique des entiers naturels). Démontré dans: Le développement décimal des nombres rationnels.
5. Valeur d’un développement décimal. La division posée de $p$ par $q$ donne des chiffres dont les troncatures sont à une distance de $\frac{p}{q}$ strictement inférieure à $\frac{1}{10^n}$ ; et tout développement décimal infini représente un unique nombre réel, qui pour la division posée est $\frac{p}{q}$ ; un réel strictement positif a deux développements seulement lorsque l’un est fini et l’autre se termine par des neuf.
  Utilise: 6. Construction des rationnels, 10. Ordre des réels. Repose sur: B (Arithmétique des entiers naturels), C (Division euclidienne), F (Axiomes de corps ordonné complet), H (Propriété d’Archimède). Démontré dans: Le développement décimal des nombres rationnels.
6. Développements finis. Le développement décimal d’une fraction irréductible $\frac{p}{q}$ est fini si et seulement si $q = 2^a 5^b$ avec $a$ et $b$ entiers positifs ou nuls.
  Utilise: 7. Fraction irréductible, 14. Valeur d’un développement décimal. Repose sur: D (Bézout et Euclide). Démontré dans: Le développement décimal des nombres rationnels.
7. Développements des rationnels. Le développement décimal de tout rationnel strictement positif $\frac{p}{q}$ est fini ou périodique, et la longueur de sa période est au plus $q - 1$ .
  Utilise: 14. Valeur d’un développement décimal. Repose sur: B (Arithmétique des entiers naturels), C (Division euclidienne). Démontré dans: Le développement décimal des nombres rationnels.
8. Fraction génératrice. Tout développement décimal périodique représente un rationnel, et le développement périodique pur de période $A$ , à $k$ chiffres, représente $\frac{A}{10^k - 1}$ ; d’où un réel est rationnel si et seulement si son développement est fini ou périodique.
  Utilise: 14. Valeur d’un développement décimal, 16. Développements des rationnels. Repose sur: B (Arithmétique des entiers naturels), H (Propriété d’Archimède). Démontré dans: Le développement décimal des nombres rationnels.
9. Densité des rationnels. Entre deux réels distincts il y a toujours un nombre rationnel, et par conséquent une infinité.
  Utilise: 10. Ordre des réels. Repose sur: B (Arithmétique des entiers naturels), H (Propriété d’Archimède). Démontré dans: La droite réelle : ordre, intervalles et valeur absolue.
10. Existence de la racine. Pour tout entier naturel $n \geq 2$ et tout réel $a \geq 0$ , il existe un réel $s \geq 0$ tel que $s^n = a$ , qui est la racine $n$ -ième principale de $a$ .
  Utilise: 10. Ordre des réels. Repose sur: F (Axiomes de corps ordonné complet), G (Unicité de la racine). Démontré dans: La droite réelle : ordre, intervalles et valeur absolue.
11. Caractérisation des intervalles. Un ensemble de réels ayant au moins deux éléments est un intervalle si et seulement s’il contient tous les nombres compris entre deux quelconques de ses éléments.
  Utilise: 10. Ordre des réels. Repose sur: F (Axiomes de corps ordonné complet). Démontré dans: La droite réelle : ordre, intervalles et valeur absolue.
12. Valeur absolue. On a $\sqrt{x^2} = \abs{x}$ et $\abs{xy} = \abs{x} \abs{y}$ ; la condition $\abs{x - a} < r$ équivaut à $a - r < x < a + r$ , et l’inégalité triangulaire $\abs{x + y} \leq \abs{x} + \abs{y}$ est vraie.
  Utilise: 4. Règle des signes, 10. Ordre des réels. Repose sur: G (Unicité de la racine). Démontré dans: La droite réelle : ordre, intervalles et valeur absolue.
Tronçon 3 Le calcul
- Définir les puissances à exposant rationnel, prouver qu’elles ne dépendent pas de la fraction choisie et en déduire les règles de calcul sur les puissances.
- Établir les règles de calcul sur les radicaux avec leurs hypothèses de signe, parmi lesquelles $\sqrt{a^2} = \abs{a}$ .
- Transformer équations et inéquations sans perdre ni ajouter de solutions, et classer les systèmes de deux équations au moyen de leur déterminant.
- Opérer avec le conjugué et le module, résoudre dans $\mathbb{C}$ toute équation du second degré à coefficients réels et reconnaître que $\mathbb{C}$ n’admet pas d’ordre compatible avec ses opérations.
1. Règles de calcul sur les puissances. Pour $a > 0$ , la puissance $a^{\frac{p}{q}}$ , racine $q$ -ième principale de $a^p$ , ne dépend pas de la fraction choisie, et l’on a $a^x a^y = a^{x + y}$ , $(a^x)^y = a^{xy}$ et $(ab)^x = a^x b^x$ ; si $a > 1$ , elle croît avec l’exposant.
  Utilise: 6. Construction des rationnels, 19. Existence de la racine. Repose sur: G (Unicité de la racine). Démontré dans: Puissances à exposant rationnel et radicaux.
2. Règles de calcul sur les radicaux. Pour des radicandes positifs ou nuls, la racine d’un produit est le produit des racines et la racine d’une racine est la racine d’indice produit ; $\sqrt[n]{a^n}$ vaut $\abs{a}$ si $n$ est pair, et $\sqrt{a + b} \leq \sqrt{a} + \sqrt{b}$ , avec égalité seulement si $ab = 0$ .
  Utilise: 19. Existence de la racine, 21. Valeur absolue. Repose sur: G (Unicité de la racine). Démontré dans: Puissances à exposant rationnel et radicaux.
3. Équations équivalentes. Ajouter une même expression aux deux membres ou les multiplier par un nombre non nul conserve les solutions d’une équation ; dans une inéquation, multiplier par un nombre strictement positif conserve le sens et par un nombre strictement négatif le change ; et élever au carré peut ajouter les solutions de $A = -B$ .
  Utilise: 1. Unicité de l’élément neutre et de l’opposé, 10. Ordre des réels. Démontré dans: Équations et inéquations du premier degré, systèmes linéaires.
4. Systèmes de deux équations. Si le déterminant $D$ du système n’est pas nul, l’unique solution est $x = \frac{D_x}{D}$ , $y = \frac{D_y}{D}$ ; si $D = 0$ et si chaque équation a au moins un coefficient non nul, le système a une infinité de solutions lorsque $D_x = D_y = 0$ , et aucune dans le cas contraire.
  Utilise: 24. Équations équivalentes. Démontré dans: Équations et inéquations du premier degré, systèmes linéaires.
5. Conjugué et module. Le conjugué d’une somme ou d’un produit est la somme ou le produit des conjugués, $z \conj{z} = \abs{z}^2$ , $\abs{zw} = \abs{z} \abs{w}$ et $\abs{z + w} \leq \abs{z} + \abs{w}$ .
  Utilise: 9. Construction des complexes, 21. Valeur absolue. Repose sur: G (Unicité de la racine). Démontré dans: Les nombres complexes : opérations et équations.
6. Inverse d’un complexe. Tout complexe $z$ non nul a un unique inverse, $\frac{\conj{z}}{\abs{z}^2}$ ; par conséquent, on peut diviser par tout complexe non nul, et un produit de complexes n’est nul que si l’un de ses facteurs est nul.
  Utilise: 1. Unicité de l’élément neutre et de l’opposé, 26. Conjugué et module. Démontré dans: Les nombres complexes : opérations et équations.
7. Équation du second degré. Si $a$ , $b$ et $c$ sont réels, $a \neq 0$ et $\Delta = b^2 - 4ac < 0$ , l’équation $az^2 + bz + c = 0$ a dans $\mathbb{C}$ exactement deux solutions, $\frac{-b \pm i \sqrt{-\Delta}}{2a}$ , qui sont conjuguées et non réelles.
  Utilise: 19. Existence de la racine, 27. Inverse d’un complexe. Démontré dans: Les nombres complexes : opérations et équations.
8. Racines conjuguées. Si un polynôme à coefficients réels s’annule en $z_0$ , il s’annule aussi en $\conj{z_0}$ ; de sorte que ses racines non réelles se présentent par couples de conjugués.
  Utilise: 26. Conjugué et module. Démontré dans: Les nombres complexes : opérations et équations.
9. Les complexes ne s’ordonnent pas. Dans $\mathbb{C}$ il n’existe pas d’ordre compatible avec les opérations : le carré de tout nombre non nul serait strictement positif, et alors $1$ et $i^2 = -1$ seraient strictement positifs, ainsi que leur somme, qui est $0$ .
  Utilise: 4. Règle des signes, 9. Construction des complexes. Démontré dans: Ensembles de nombres : des entiers naturels aux complexes.

Vers les fonctions algébriques. La chaîne s’arrête là où les nombres cessent d’être étudiés isolément : l’unité suivante étudie des règles qui associent des nombres à des nombres, avec des ensembles de définition qui sont des intervalles, des radicandes positifs ou nuls, des tableaux de signes et le théorème des racines conjuguées pour factoriser les polynômes à coefficients réels.