المجموعات العددية: الخلاصة والتحديات

ملخص

يختم هذا الدرس الوحدة المخصّصة للمجموعات العددية. فهو يجمع في سلسلة استنتاجية واحدة ما برهنت عليه دروس الوحدة: بناء الأعداد الصحيحة والنسبية والمركبة انطلاقًا من المجموعة السابقة، ومسلّمات الحقل المرتب التام التي تُقبل للأعداد الحقيقية، مع التمام بوصفه سمتها الخاصة، ونتائج كل خاصية في الحساب بالمتباينات والأعداد العشرية والجذور والمعادلات والأعداد المركبة. ويشرح كيف تستند هذه السلسلة إلى حساب الأعداد الطبيعية في الوحدة السابقة، وكيف تمهّد لدراسة الدوال وكثيرات الحدود في الوحدة اللاحقة. ويُختم بتقييم الخروج، الموازي لتقييم الدخول، وبعشرة تحدّيات أصعب من مسائل الدروس، يجمع كلٌّ منها بين نتائج عدّة منها.

أهداف التعلم

عرض تعاريف الوحدة ومبرهناتها الرئيسية بترتيب منطقي، مع بيان النتائج السابقة التي يتوقف عليها كلٌّ منها.
شرح الخاصية التي يكسبها كل توسيع عددي والخاصية التي يفقدها، ولماذا لا يمكن الحصول على التمام بوسائل جبرية.
ربط نتائج الوحدة بحساب الأعداد الطبيعية وبدراسة الدوال الجبرية وكثيرات الحدود.
حلّ مسائل غير مألوفة تقتضي الجمع بين حساب الكسور وترتيب الأعداد الحقيقية والحساب بالجذور والأنظمة الخطية والأعداد المركبة.

ما حقّقته الوحدة

انطلقت الوحدة من نقص ومن مبدأ. أما النقص: ففي الأعداد الطبيعية لا يمكن دائمًا الطرح ولا القسمة ولا استخراج الجذور. وأما المبدأ، الذي صيغ في الدرس الخاص بـالمجموعات العددية، فهو أن كل مجموعة جديدة تحافظ على عمليات المجموعة السابقة وخواصها، وتضيف العناصر اللازمة لكي تصبح عملية عكسية، كانت مقيّدة من قبل، معرّفة. والنتيجة هي سلسلة الاحتواءات التي تنظّم الوحدة كلها:

\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}

الإنشاءات

أُنجزت ثلاثة من التوسيعات الأربعة بأزواج من عناصر المجموعة السابقة، واثنان منها، توسيع الأعداد الصحيحة وتوسيع الأعداد النسبية، بطريقة واحدة يحسن التعرّف إليها بوصفها كذلك. يُعلن متى يمثّل زوجان العدد نفسه، ويُبرهن على أن هذا الإعلان يسلك سلوك المساواة، أي أنه علاقة تكافؤ؛ فتشكّل أصنافه عندئذ تجزئة، كما بُرهن في الدرس الخاص بـالمجموعات والعلاقات والدوال، وتكون المجموعة الجديدة مجموعة خارج القسمة؛ ثم تُعرّف العمليات بالممثلين ويُبرهن على أن النتيجة لا تتوقف على الممثلين المختارين. ففي الأعداد الصحيحة يمثّل زوج الأعداد الطبيعية $(a, b)$ الفرق $a - b$ ، ويكون زوجان متكافئين عندما $a + d = b + c$ ؛ وفي الأعداد النسبية يمثّل الكسر $\frac{p}{q}$ خارج قسمة، ويكون كسران متكافئين عندما $ps = qr$ ؛ وفي الأعداد المركبة يكون زوج الأعداد الحقيقية $(a, b)$ هو العدد نفسه، مع جداء معرَّف بحيث $(0, 1)^2 = (-1, 0)$ . وفي الحالات الثلاث تعود المجموعة السابقة إلى الظهور داخل الجديدة عبر تقابل يحترم العمليات، وما كان في العرض الحدسي اصطلاحات يصير مبرهنات: قاعدة الإشارات، وانعدام قواسم الصفر، وقانون الاختزال للجداء، ووحدانية الكسر غير القابل للاختزال، والمساواة $i^2 = -1$ .

الترتيب والتمام

التوسيع الرابع من طبيعة أخرى، ولم يُنجز بالإنشاء. فالأعداد النسبية تتيح بالفعل الجمع والطرح والضرب والقسمة، ولها ترتيب متوافق مع هذه العمليات، كثيف وأرخميدي؛ لكن مجموعة الأعداد النسبية التي مربعها أصغر من $2$ محدودة وليس لها حد أعلى أصغر نسبي. ولمّا كان بناء الأعداد الحقيقية انطلاقًا من الأعداد النسبية يتجاوز الدورة، فقد قبلها الدرس الخاص بـالمجموعات العددية حقلًا مرتبًا تامًا: مجموعة تحتوي الأعداد النسبية وتحقّق مسلّمات الحقل ومسلّمات الترتيب ومسلّمة التمام، التي بموجبها يكون لكل مجموعة غير خالية ومحدودة من الأعلى حد أعلى أصغر. والمجموعتان الأوليان من المسلّمات تحقّقهما الأعداد النسبية أيضًا؛ أما الثالثة فهي التي تميّز الأعداد الحقيقية. ومن التمام استُنتجت، في الدرس الخاص بـالتمثيل العشري، خاصية أرخميدس للأعداد الحقيقية وقيمة كل تمثيل عشري غير منته، مع توصيف الأعداد النسبية بأنها الأعداد ذات التمثيل المنتهي أو الدوري؛ وفي الدرس الخاص بـالمستقيم الحقيقي، وجود الجذر ذي الدليل $n$ لكل عدد حقيقي غير سالب، وكثافة الأعداد النسبية في المستقيم، وتوصيف الفترات بأنها المجموعات التي لا ثغرات فيها. ولا تُحصَّل أيٌّ من هذه الخواص بالمجاميع والجداءات: فالتمام خاصية للترتيب، ولهذا لا يمكن بناء الأعداد الحقيقية بإضافة حلول بعض المعادلات إلى الأعداد النسبية.

الحساب

على هذه الأسس تقوم تقنيات الحساب في الوحدة. فقد استعمل الدرس الخاص بـالقوى ذات الأسس النسبية وحدانية الجذر الرئيسي ليبرهن على أن $a^{\frac{p}{q}}$ لا تتوقف على الكسر المختار وعلى صحة قوانين الأسس، وأرسى قوانين الجذور مع الفروض المتعلقة بالإشارة فيها، ومنها $\sqrt{a^2} = \abs{a}$ . وحوّل الدرس الخاص بـالمعادلات والمتراجحات من الدرجة الأولى خواص الحقول والترتيب إلى قواعد لتحويل المعادلات والمتراجحات دون فقدان حلول ولا إضافتها، وصنّف أنظمة المعادلتين بواسطة محددها. وأخيرًا أتمّت الأعداد المركبة الجبر: فلكل معادلة من الدرجة الثانية ذات معاملات حقيقية حلٌّ فيها، وعندما يكون مميزها سالبًا يكون لها حلّان بالضبط، مترافقان؛ وتُرجمت هندسة المستوى إلى عمليات بالمرافق والمقياس. وكان الثمن هو الترتيب: ففي $\mathbb{C}$ لا يوجد أي ترتيب متوافق مع العمليات، ويُقاس حجم العدد بمقياسه.

ما يُكسب وما يُفقد

يمكن تلخيص حصيلة الوحدة على النحو الآتي:

من $\mathbb{N}$ إلى $\mathbb{Z}$ يُكسب المعاكس، ومعه الطرح؛ ويُفقد الترتيب الحسن، لأن الأعداد الصحيحة ليس لها عنصر أصغر.
من $\mathbb{Z}$ إلى $\mathbb{Q}$ يُكسب مقلوب كل عدد غير منعدم، ومعه القسمة؛ ويُفقد التالي، لأن بين كل عددين نسبيين يوجد دائمًا عدد نسبي آخر.
من $\mathbb{Q}$ إلى $\mathbb{R}$ يُكسب التمام، ومعه جذور الأعداد غير السالبة وقياس كل قطعة مستقيمة؛ ويُفقد التمثيل المنتهي أو الدوري لجميع الأعداد.
من $\mathbb{R}$ إلى $\mathbb{C}$ يُكسب حلّ كل معادلة من الدرجة الثانية، وبحسب المبرهنة الأساسية في الجبر حلّ كل معادلة كثيرة حدود غير ثابتة؛ ويُفقد الترتيب المتوافق مع العمليات.

يجمع الرسم الآتي المقاطع الثلاثة في سلسلة واحدة. كل عقدة في العمود تعريفٌ أو مبرهنة، مرقّمة بحسب الترتيب المنطقي، وموصولة بقوس بالحلقات السابقة التي يستعملها برهانها؛ وحولها تطفو الدعامات، أي المبادئ والأدوات التي تعود إليها السلسلة مرة بعد مرة، وكلٌّ منها موصول بخط متّصل بالحلقات التي تستند إليها وبخط منقّط بالحلقة التي يُرسى فيها، إلا ما يُقبل أو يأتي من الوحدة السابقة، فيُرسم أطواقًا. والنقر على دعامة يُبرز كل الحلقات التي تستعملها، وكل حلقة تحيل إلى الدرس الذي يُبرهن عليها فيه.

دعامات السلسلة

Aمبدأ التوسيعات. كل مجموعة عددية جديدة تحافظ على عمليات المجموعة السابقة وخواصها، وتضيف العناصر اللازمة لكي تصبح عملية عكسية، كانت مقيّدة من قبل، معرّفة؛ ويُعتمد دليلًا للوحدة كلها. يُقبل دون برهان في هذه الوحدة.
Bحساب الأعداد الطبيعية. خواص الجمع والضرب والترتيب في الأعداد الطبيعية، والاستقراء، والترتيب الحسن، ومجموع المتتاليات، وقد بُرهن عليها في الوحدة الخاصة بالأعداد الطبيعية. يُقبل دون برهان في هذه الوحدة.
Cالقسمة مع الباقي. لكل عدد صحيح $a$ ولكل عدد طبيعي $b$ يوجد خارج قسمة وحيد $q$ وباقٍ وحيد $r$ بحيث $a = bq + r$ و $0 \leq r < b$ ؛ وقد بُرهن على ذلك في الوحدة الخاصة بالأعداد الطبيعية، مع قواعد الأعداد الصحيحة التي يبرهن عليها الدرس الخاص بالأعداد الصحيحة. يُقبل دون برهان في هذه الوحدة.
Dبيزو وإقليدس. إذا كان $\operatorname{gcd}(a, b) = 1$ فإنه يوجد عددان صحيحان $x$ و $y$ بحيث $ax + by = 1$ ، وكل عدد أولي يقسم جداءً يقسم أحد العاملين؛ وقد بُرهن على ذلك في الوحدة الخاصة بالأعداد الطبيعية. يُقبل دون برهان في هذه الوحدة.
Eالبناء بالأصناف. تؤخذ أزواج من المجموعة السابقة، ويُبرهن على أن الشرط الذي يطابق بين زوجين علاقة تكافؤ، وتؤخذ مجموعة خارج القسمة مجموعةً جديدة، وأصنافها تشكّل تجزئة لمجموعة الأزواج، وتُعرّف العمليات بالممثلين، مع البرهان على أن النتيجة لا تتوقف على الممثلين المختارين. تثبت في: 2. بناء الأعداد الصحيحة.
Fمسلّمات الحقل المرتب التام. يُقبل أن الأعداد الحقيقية تشكّل حقلًا مرتبًا تامًا يحتوي الأعداد النسبية: فالجمع والضرب يحقّقان مسلّمات الحقل؛ والأعداد الموجبة تحقّق التثليث وهي مغلقة بالنسبة إلى الجمع والضرب؛ ولكل مجموعة غير خالية من الأعداد الحقيقية محدودة من الأعلى حد أعلى أصغر، وهي المسلّمة التي تميّز الأعداد الحقيقية. يُقبل دون برهان في هذه الوحدة.
Gوحدانية الجذر. كل عددين حقيقيين غير سالبين لهما القوة نفسها ذات الأس $n$ متساويان؛ ولذلك يكفي إظهار عدد غير سالب قوّته هي القوة المعطاة لمعرفة أنه الجذر الرئيسي. تثبت في: 11. وحدانية الجذر الرئيسي.
Hخاصية أرخميدس. لكل عدد حقيقي يوجد عدد طبيعي أكبر منه؛ وبالتالي فإن العدد الحقيقي $d$ الذي يحقّق $0 \leq d \leq \frac{1}{10^n}$ لكل عدد طبيعي $n$ منعدم. تثبت في: 13. خاصية أرخميدس.

المقطع 1 الإنشاءات
- إنشاء الأعداد الصحيحة أصنافًا لأزواج من الأعداد الطبيعية، والأعداد النسبية أصنافًا للكسور، بعمليات معرّفة جيدًا.
- تحويل قاعدة الإشارات وانعدام قواسم الصفر وقانون الاختزال للجداء إلى مبرهنات.
- البرهان على أن لكل عدد نسبي كسرًا وحيدًا غير قابل للاختزال، وعلى أن ترتيب الأعداد النسبية كثيف وأرخميدي.
- إنشاء الأعداد المركبة أزواجًا من الأعداد الحقيقية، بجداء يعطي $i^2 = -1$ .
1. وحدانية العنصر المحايد والمعاكس. العنصر المحايد للجمع وحيد، ولكل عدد معاكس وحيد، بحيث $-(-c) = c$ ؛ وبالمثل، لكل عدد غير منعدم مقلوب وحيد.
  يُبرهن في: المجموعات العددية: من الأعداد الطبيعية إلى الأعداد المركبة.
2. بناء الأعداد الصحيحة. العلاقة التي تجعل زوجي الأعداد الطبيعية $(a, b)$ و $(c, d)$ متكافئين عندما $a + d = b + c$ علاقة تكافؤ؛ وأصنافها هي الأعداد الصحيحة، بجمع وضرب معرّفين جيدًا، تبديليين وتجميعيين وتوزيعيين، والعنصران المحايدان هما $C(1, 1)$ و $C(2, 1)$ ، والمعاكس هو $-C(a, b) = C(b, a)$ .
  تستند إلى: B (حساب الأعداد الطبيعية). يُبرهن في: الأعداد الصحيحة: البناء والإشارات والترتيب.
3. تثليث الأعداد الصحيحة. عند مطابقة العدد الطبيعي $n$ بالصنف $C(n + 1, 1)$ يُحافظ على الجمع والضرب، وكل عدد صحيح هو بالضبط واحد مما يأتي: عدد طبيعي، أو الصفر، أو معاكس عدد طبيعي.
  تستعمل: 2. بناء الأعداد الصحيحة. تستند إلى: B (حساب الأعداد الطبيعية), A (مبدأ التوسيعات). يُبرهن في: الأعداد الصحيحة: البناء والإشارات والترتيب.
4. قاعدة الإشارات. لكل الأعداد الصحيحة تتحقّق $a \cdot 0 = 0$ و $(-a) b = -(ab)$ و $(-a)(-b) = ab$ ؛ وفضلًا عن ذلك، إذا كان $ab = 0$ فإن أحد العاملين منعدم، والعامل غير المنعدم المشترك بين جداءين متساويين يُختزل.
  تستعمل: 1. وحدانية العنصر المحايد والمعاكس, 2. بناء الأعداد الصحيحة, 3. تثليث الأعداد الصحيحة. يُبرهن في: الأعداد الصحيحة: البناء والإشارات والترتيب.
5. ترتيب الأعداد الصحيحة. إذا كان $a < b$ يعني أن $b - a$ عدد طبيعي، فإن إضافة العدد الصحيح نفسه تحافظ على الترتيب، والضرب في عدد موجب يحافظ عليه وفي عدد سالب يعكسه؛ والقسمة مع الباقي لمقسوم سالب تُردّ إلى القسمة لمقسوم طبيعي.
  تستعمل: 1. وحدانية العنصر المحايد والمعاكس, 3. تثليث الأعداد الصحيحة, 4. قاعدة الإشارات. تستند إلى: C (القسمة مع الباقي). يُبرهن في: الأعداد الصحيحة: البناء والإشارات والترتيب.
6. بناء الأعداد النسبية. العلاقة التي تجعل الكسرين $\frac{p}{q}$ و $\frac{r}{s}$ متكافئين عندما $ps = qr$ علاقة تكافؤ؛ وأصنافها هي الأعداد النسبية، بجمع وضرب معرّفين جيدًا، ولكل عدد نسبي غير منعدم $\frac{p}{q}$ مقلوبٌ هو $\frac{q}{p}$ .
  تستعمل: 1. وحدانية العنصر المحايد والمعاكس, 4. قاعدة الإشارات. تستند إلى: E (البناء بالأصناف), A (مبدأ التوسيعات). يُبرهن في: الأعداد النسبية: الكسور والعمليات عليها.
7. الكسر غير القابل للاختزال. كل عدد نسبي يُمثَّل بكسر غير قابل للاختزال مقامه عدد طبيعي، وبكسر واحد فقط.
  تستعمل: 4. قاعدة الإشارات, 6. بناء الأعداد النسبية. تستند إلى: D (بيزو وإقليدس). يُبرهن في: الأعداد النسبية: الكسور والعمليات عليها.
8. ترتيب الأعداد النسبية. مع مقامات طبيعية، يكون $\frac{p}{q} < \frac{r}{s}$ عندما $ps < qr$ ؛ وهذا الترتيب لا يتوقف على الكسور المختارة، ويمدّد ترتيب الأعداد الصحيحة ويتوافق مع العمليات، وهو كثيف وأرخميدي: بين كل عددين نسبيين ما لا نهاية له من الأعداد النسبية، وكل عدد نسبي يتجاوزه عدد طبيعي.
  تستعمل: 5. ترتيب الأعداد الصحيحة, 6. بناء الأعداد النسبية. يُبرهن في: الأعداد النسبية: الكسور والعمليات عليها.
9. بناء الأعداد المركبة. مع $(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)$ و $(a, b)(c, d) = (ac - bd, ad + bc)$ تشكّل أزواج الأعداد الحقيقية الأعداد المركبة: عملياتها تبديلية وتجميعية وتوزيعية، والأزواج $(a, 0)$ تعمل عمل الأعداد الحقيقية، و $i = (0, 1)$ يحقّق $i^2 = -1$ ، وكل عدد مركب يُكتب بطريقة وحيدة على الشكل $a + bi$ .
  تستند إلى: A (مبدأ التوسيعات), F (مسلّمات الحقل المرتب التام). يُبرهن في: الأعداد المركبة: العمليات والمعادلات.
المقطع 2 الترتيب والتمام
- استنتاج قواعد العمليات على المتباينات ووحدانية الجذر الرئيسي من مسلّمات الترتيب.
- البرهان على أن الأعداد النسبية ليست تامة، لأن مجموعة الأعداد النسبية التي مربعها أصغر من $2$ ليس لها حد أعلى أصغر نسبي.
- استنتاج خاصية أرخميدس وقيمة كل تمثيل عشري غير منته وتوصيف الأعداد النسبية بتمثيلاتها المنتهية أو الدورية من التمام.
- استنتاج كثافة الأعداد النسبية في المستقيم ووجود الجذور وتوصيف الفترات من التمام، وإجراء العمليات بالقيمة المطلقة.
1. ترتيب الأعداد الحقيقية. إذا كانت الأعداد الموجبة تحقّق التثليث وكانت مغلقة بالنسبة إلى الجمع والضرب، فإن ترتيب الأعداد الحقيقية متعدٍّ، ويُحافظ عليه عند الجمع وعند الضرب في عدد موجب، وينعكس عند الضرب في عدد سالب، وأخذ مقلوبي عددين موجبين يعكس ترتيبهما.
  تستعمل: 4. قاعدة الإشارات. تستند إلى: F (مسلّمات الحقل المرتب التام). يُبرهن في: المجموعات العددية: من الأعداد الطبيعية إلى الأعداد المركبة.
2. وحدانية الجذر الرئيسي. إذا كان $p$ و $r$ غير سالبين و $p^n = r^n$ فإن $p = r$ ؛ وإذا كان $n$ فرديًا فلكل عدد حقيقي جذر واحد على الأكثر ذو الدليل $n$ ، وهو سالب عندما يكون العدد سالبًا.
  تستعمل: 4. قاعدة الإشارات, 10. ترتيب الأعداد الحقيقية. تستند إلى: B (حساب الأعداد الطبيعية). يُبرهن في: المجموعات العددية: من الأعداد الطبيعية إلى الأعداد المركبة.
3. الأعداد النسبية ليست تامة. الجذر التربيعي لـ $2$ ليس نسبيًا؛ ولذلك فإن مجموعة الأعداد النسبية التي مربعها أصغر من $2$ محدودة من الأعلى، لكن لا أحد من حدودها العليا النسبية هو الأصغر.
  تستعمل: 8. ترتيب الأعداد النسبية, 11. وحدانية الجذر الرئيسي. تستند إلى: D (بيزو وإقليدس). يُبرهن في: المجموعات العددية: من الأعداد الطبيعية إلى الأعداد المركبة.
4. خاصية أرخميدس. لكل عدد حقيقي $x$ يوجد عدد طبيعي أكبر من $x$ ؛ وبالتالي، إذا كان $0 \leq d \leq \frac{1}{10^n}$ لكل عدد طبيعي $n$ فإن $d = 0$ .
  تستعمل: 10. ترتيب الأعداد الحقيقية. تستند إلى: F (مسلّمات الحقل المرتب التام), B (حساب الأعداد الطبيعية). يُبرهن في: التمثيل العشري للأعداد النسبية.
5. قيمة تمثيل عشري. القسمة المطولة لـ $p$ على $q$ تعطي أرقامًا يبعد بترها عن $\frac{p}{q}$ بأقل من $\frac{1}{10^n}$ ؛ وكل تمثيل عشري غير منته يمثّل عددًا حقيقيًا وحيدًا، هو بالنسبة إلى القسمة المطولة $\frac{p}{q}$ ؛ وللعدد الحقيقي الموجب تمثيلان فقط عندما يكون أحدهما منتهيًا والآخر منتهيًا بتسعات.
  تستعمل: 6. بناء الأعداد النسبية, 10. ترتيب الأعداد الحقيقية. تستند إلى: B (حساب الأعداد الطبيعية), C (القسمة مع الباقي), F (مسلّمات الحقل المرتب التام), H (خاصية أرخميدس). يُبرهن في: التمثيل العشري للأعداد النسبية.
6. التمثيلات المنتهية. يكون التمثيل العشري لكسر غير قابل للاختزال $\frac{p}{q}$ منتهيًا إذا وفقط إذا كان $q = 2^a 5^b$ ، حيث $a$ و $b$ عددان صحيحان غير سالبين.
  تستعمل: 7. الكسر غير القابل للاختزال, 14. قيمة تمثيل عشري. تستند إلى: D (بيزو وإقليدس). يُبرهن في: التمثيل العشري للأعداد النسبية.
7. تمثيلات الأعداد النسبية. التمثيل العشري لكل عدد نسبي موجب $\frac{p}{q}$ منته أو دوري، وطول دوره لا يتجاوز $q - 1$ .
  تستعمل: 14. قيمة تمثيل عشري. تستند إلى: B (حساب الأعداد الطبيعية), C (القسمة مع الباقي). يُبرهن في: التمثيل العشري للأعداد النسبية.
8. الكسر المولِّد. كل تمثيل عشري دوري يمثّل عددًا نسبيًا، والتمثيل الدوري البحت ذو الدور $A$ ، المؤلف من $k$ أرقام، يمثّل $\frac{A}{10^k - 1}$ ؛ ومن ثَمّ يكون العدد الحقيقي نسبيًا إذا وفقط إذا كان تمثيله منتهيًا أو دوريًا.
  تستعمل: 14. قيمة تمثيل عشري, 16. تمثيلات الأعداد النسبية. تستند إلى: B (حساب الأعداد الطبيعية), H (خاصية أرخميدس). يُبرهن في: التمثيل العشري للأعداد النسبية.
9. كثافة الأعداد النسبية. بين كل عددين حقيقيين مختلفين يوجد دائمًا عدد نسبي، ومن ثَمّ ما لا نهاية له منها.
  تستعمل: 10. ترتيب الأعداد الحقيقية. تستند إلى: B (حساب الأعداد الطبيعية), H (خاصية أرخميدس). يُبرهن في: المستقيم الحقيقي: الترتيب والفترات والقيمة المطلقة.
10. وجود الجذر. لكل عدد طبيعي $n \geq 2$ ولكل عدد حقيقي $a \geq 0$ يوجد عدد حقيقي $s \geq 0$ بحيث $s^n = a$ ، وهو الجذر الرئيسي ذو الدليل $n$ للعدد $a$ .
  تستعمل: 10. ترتيب الأعداد الحقيقية. تستند إلى: F (مسلّمات الحقل المرتب التام), G (وحدانية الجذر). يُبرهن في: المستقيم الحقيقي: الترتيب والفترات والقيمة المطلقة.
11. توصيف الفترات. مجموعة من الأعداد الحقيقية فيها عنصران على الأقل تكون فترة إذا وفقط إذا احتوت كل الأعداد الواقعة بين أي عنصرين من عناصرها.
  تستعمل: 10. ترتيب الأعداد الحقيقية. تستند إلى: F (مسلّمات الحقل المرتب التام). يُبرهن في: المستقيم الحقيقي: الترتيب والفترات والقيمة المطلقة.
12. القيمة المطلقة. تتحقّق $\sqrt{x^2} = \abs{x}$ و $\abs{xy} = \abs{x} \abs{y}$ ؛ والشرط $\abs{x - a} < r$ يكافئ $a - r < x < a + r$ ، وتصحّ متباينة المثلث $\abs{x + y} \leq \abs{x} + \abs{y}$ .
  تستعمل: 4. قاعدة الإشارات, 10. ترتيب الأعداد الحقيقية. تستند إلى: G (وحدانية الجذر). يُبرهن في: المستقيم الحقيقي: الترتيب والفترات والقيمة المطلقة.
المقطع 3 الحساب
- تعريف القوى ذات الأسس النسبية، والبرهان على أنها لا تتوقف على الكسر المختار، واستنتاج قوانين الأسس.
- إرساء قوانين الجذور مع الفروض المتعلقة بالإشارة فيها، ومنها $\sqrt{a^2} = \abs{a}$ .
- تحويل المعادلات والمتراجحات دون فقدان حلول ولا إضافتها، وتصنيف أنظمة المعادلتين بواسطة محددها.
- إجراء العمليات بالمرافق والمقياس، وحلّ كل معادلة من الدرجة الثانية ذات معاملات حقيقية في $\mathbb{C}$ ، وإدراك أن $\mathbb{C}$ لا تقبل ترتيبًا متوافقًا مع عملياتها.
1. قوانين الأسس. من أجل $a > 0$ ، القوة $a^{\frac{p}{q}}$ ، وهي الجذر الرئيسي ذو الدليل $q$ للعدد $a^p$ ، لا تتوقف على الكسر المختار، وتتحقّق $a^x a^y = a^{x + y}$ و $(a^x)^y = a^{xy}$ و $(ab)^x = a^x b^x$ ؛ وإذا كان $a > 1$ فإنها تتزايد مع الأس.
  تستعمل: 6. بناء الأعداد النسبية, 19. وجود الجذر. تستند إلى: G (وحدانية الجذر). يُبرهن في: القوى ذات الأسس النسبية والجذور.
2. قوانين الجذور. إذا كان ما تحت الجذر غير سالب، فإن جذر الجداء هو جداء الجذور، وجذر الجذر هو الجذر الذي دليله جداء الدليلين؛ و $\sqrt[n]{a^n}$ يساوي $\abs{a}$ إذا كان $n$ زوجيًا، و $\sqrt{a + b} \leq \sqrt{a} + \sqrt{b}$ ، والمساواة لا تتحقّق إلا إذا كان $ab = 0$ .
  تستعمل: 19. وجود الجذر, 21. القيمة المطلقة. تستند إلى: G (وحدانية الجذر). يُبرهن في: القوى ذات الأسس النسبية والجذور.
3. المعادلات المتكافئة. إضافة العبارة نفسها إلى الطرفين أو ضربهما في عدد غير منعدم يحافظ على حلول المعادلة؛ وفي المتراجحة، الضرب في عدد موجب يحافظ على الاتجاه وفي عدد سالب يعكسه؛ والتربيع قد يضيف حلول $A = -B$ .
  تستعمل: 1. وحدانية العنصر المحايد والمعاكس, 10. ترتيب الأعداد الحقيقية. يُبرهن في: المعادلات والمتراجحات من الدرجة الأولى والأنظمة الخطية.
4. أنظمة المعادلتين. إذا كان محدد النظام $D$ غير منعدم فإن الحل الوحيد هو $x = \frac{D_x}{D}$ ، $y = \frac{D_y}{D}$ ؛ وإذا كان $D = 0$ وكان لكل معادلة معامل غير منعدم واحد على الأقل، فللنظام ما لا نهاية له من الحلول عندما $D_x = D_y = 0$ ، ولا حل له في غير ذلك.
  تستعمل: 24. المعادلات المتكافئة. يُبرهن في: المعادلات والمتراجحات من الدرجة الأولى والأنظمة الخطية.
5. المرافق والمقياس. مرافق مجموع أو جداء هو مجموع المرافقات أو جداؤها، و $z \conj{z} = \abs{z}^2$ و $\abs{zw} = \abs{z} \abs{w}$ و $\abs{z + w} \leq \abs{z} + \abs{w}$ .
  تستعمل: 9. بناء الأعداد المركبة, 21. القيمة المطلقة. تستند إلى: G (وحدانية الجذر). يُبرهن في: الأعداد المركبة: العمليات والمعادلات.
6. مقلوب عدد مركب. لكل عدد مركب $z$ غير منعدم مقلوب وحيد، هو $\frac{\conj{z}}{\abs{z}^2}$ ؛ ولذلك يمكن القسمة على كل عدد مركب غير منعدم، ولا ينعدم جداء أعداد مركبة إلا إذا انعدم أحد عوامله.
  تستعمل: 1. وحدانية العنصر المحايد والمعاكس, 26. المرافق والمقياس. يُبرهن في: الأعداد المركبة: العمليات والمعادلات.
7. المعادلة من الدرجة الثانية. إذا كانت $a$ و $b$ و $c$ أعدادًا حقيقية، و $a \neq 0$ و $\Delta = b^2 - 4ac < 0$ ، فإن للمعادلة $az^2 + bz + c = 0$ في $\mathbb{C}$ حلّين بالضبط، هما $\frac{-b \pm i \sqrt{-\Delta}}{2a}$ ، وهما مترافقان وغير حقيقيين.
  تستعمل: 19. وجود الجذر, 27. مقلوب عدد مركب. يُبرهن في: الأعداد المركبة: العمليات والمعادلات.
8. الجذور المترافقة. إذا انعدمت كثيرة حدود ذات معاملات حقيقية عند $z_0$ فإنها تنعدم أيضًا عند $\conj{z_0}$ ؛ وهكذا تأتي جذورها غير الحقيقية أزواجًا من المترافقات.
  تستعمل: 26. المرافق والمقياس. يُبرهن في: الأعداد المركبة: العمليات والمعادلات.
9. الأعداد المركبة لا تُرتَّب. لا يوجد في $\mathbb{C}$ ترتيب متوافق مع العمليات: إذ يكون مربع كل عدد غير منعدم موجبًا، ومن ثَمّ يكون $1$ و $i^2 = -1$ موجبين، وكذلك مجموعهما، وهو $0$ .
  تستعمل: 4. قاعدة الإشارات, 9. بناء الأعداد المركبة. يُبرهن في: المجموعات العددية: من الأعداد الطبيعية إلى الأعداد المركبة.

نحو الدوال الجبرية. تتوقف السلسلة حيث تكفّ الأعداد عن أن تُدرس منفردةً: فالوحدة اللاحقة تدرس قواعد تقرن أعدادًا بأعداد، بمجالات تعريف هي فترات، وبما تحت جذر غير سالب، وبجداول الإشارات، وبمبرهنة الجذور المترافقة لتحليل كثيرات الحدود ذات المعاملات الحقيقية إلى عوامل.

في بقية هذا الدرس

الوحدة داخل الدورة
تقييم الخروج
التحدّيات
أعداد إذا أُضيفت إلى مقلوبها أعطت عددًا صحيحًا
كسر لا يكاد يُختزل أبدًا
ثلاث مقاومات تُقاس مثنى مثنى
فترة داخل فترة أخرى
الحلول الصحيحة لنظام ذي وسيط
حين يكون مجموع جذرين نسبيًا
القوة العشرون لخارج قسمة
خارج قسمة حقيقي دائمًا
الجزء الصحيح لمجموع جذور
دور جزء من تسعة وأربعين