Genera nvmerorvm: synthesis et provocationes

Svmmarivm

Haec lectio partem de generibvs nvmerorvm conclvdit. In vnam catenam dedvctivam colligit qvae lectiones partis demonstravervnt: constrvctionem nvmerorvm integrorvm, rationalivm et complexorvm ex genere priore, axiomata corporis ordinati completi qvae de nvmeris realibvs admittvntvr, cvm completvdine vt nota eorvm propria, et consectaria vnivscvivsqve proprietatis ad calcvlvm inaeqvalitatvm, nvmerorvm decimalivm, radicalivm, aeqvationvm et nvmerorvm complexorvm. Explicat qvomodo haec catena arithmetica nvmerorvm natvralivm partis prioris nitatvr et qvomodo stvdivm fvnctionvm et polynomiorvm partis seqventis praeparet. Probatione finali finitvr, qvae probationi initiali respondet, et decem provocationibvs, difficilioribvs qvam problemata lectionvm, qvarvm vnaqvaeqve effectvs plvrivm earvm conivngit.

Proposita discendi

Definitiones et theoremata praecipva partis ordine logico exponere, indicando ex qvibvs effectibvs prioribvs vnvmqvodqve pendeat.
Explicare qvam proprietatem vnaqvaeqve amplificatio nvmerorvm adipiscatvr et qvam amittat, et cvr completvdo instrvmentis algebraicis obtineri non possit.
Effectvs partis cvm arithmetica nvmerorvm natvralivm et cvm stvdio fvnctionvm algebraicarvm et polynomiorvm conferre.
Problemata non vsitata solvere qvae postvlant vt arithmetica fractionvm, ordo nvmerorvm realivm, calcvlvs radicalivm, systemata linearia et nvmeri complexi conivngantvr.

Qvae vnitas consecvta est

Pars a defectv et a principio profecta est. Defectvs: in nvmeris natvralibvs non semper svbtrahere, dividere avt radices extrahere licet. Principivm, in lectione de generibvs nvmerorvm envntiatvm: qvodqve novvm genvs operationes et proprietates prioris servat et elementa addit qvae necessaria svnt vt operatio inversa, antea restricta, definiatvr. Effectvs est catena inclvsionvm qvae totam partem ordinat:

\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}

Constrvctiones

Tres ex qvattvor amplificationibvs paribvs elementorvm generis prioris factae svnt, et dvae earvm, integrorvm et rationalivm, vna eademqve ratione, qvam vt talem agnoscere expedit. Statvitvr qvando dvo paria evndem nvmervm repraesentent, et ostenditvr hanc statvtionem vt aeqvalitatem se gerere, id est relationem aeqvivalentiae esse; eivs classes tvm partitionem efficivnt, vt in lectione de copiis, relationibvs et fvnctionibvs demonstratvm est, et nova copia est copia qvotiens; deinde operationes per repraesentantes definivntvr et ostenditvr effectvm a repraesentantibvs electis non pendere. In nvmeris integris par nvmerorvm natvralivm $(a, b)$ svbtractionem $a - b$ repraesentat, et dvo paria aeqvivalentia svnt cvm $a + d = b + c$ ; in nvmeris rationalibvs fractio $\frac{p}{q}$ qvotientem repraesentat, et dvae fractiones aeqvivalentes svnt cvm $ps = qr$ ; in nvmeris complexis par nvmerorvm realivm $(a, b)$ iam ipse nvmervs est, prodvcto ita definito vt $(0, 1)^2 = (-1, 0)$ . In tribvs casibvs genvs privs intra novvm rvrsvs apparet per correspondentiam qvae operationes servat, et qvae in expositione intvitiva conventiones erant theoremata fivnt: regvla signorvm, defectvs divisorvm nihili, simplificatio prodvcti, vnicitas fractionis irredvcibilis et aeqvalitas $i^2 = -1$ .

Ordo et completvdo

Qvarta amplificatio alterivs natvrae est, nec constrvctione facta est. Nvmeri rationales iam addere, svbtrahere, mvltiplicare et dividere sinvnt, et ordinem habent cvm his operationibvs congrventem, densvm et Archimedevm; sed copia nvmerorvm rationalivm qvorvm qvadratvm minvs est qvam $2$ circvmscripta est nec svpremvm rationale habet. Cvm constrvctio nvmerorvm realivm ex rationalibvs fines cvrsvs excedat, lectio de generibvs nvmerorvm eos vt corpvs ordinatvm completvm admisit: copiam qvae nvmeros rationales continet et axiomatibvs corporis, ordinis et completvdinis satisfacit, ex qvo omnis copia non vacva svpra circvmscripta svpremvm habet. Dvobvs prioribvs coetibvs etiam nvmeri rationales satisfacivnt; tertivs est qvi nvmeros reales proprie describit. Ex completvdine dedvcta svnt, in lectione de expressione decimali nvmerorvm rationalivm, proprietas Archimedea nvmerorvm realivm et valor cvivsqve expressionis decimalis infinitae, cvm characterizatione nvmerorvm rationalivm vt nvmerorvm expressionis finitae vel periodicae; et in lectione de recta reali, exsistentia radicis $n$ -tae cvivsqve nvmeri realis non negativi, densitas nvmerorvm rationalivm in recta et characterizatio intervallorvm vt copiarvm sine lacvnis. Nvlla harvm proprietatvm svmmis et prodvctis obtinetvr: completvdo proprietas ordinis est, et ideo nvmeri reales constrvi non possvnt addendo nvmeris rationalibvs solvtiones qvarvndam aeqvationvm.

Calcvlvs

His fvndamentis artes calcvli partis nitvntvr. Lectio de potentiis exponentis rationalis et radicalibvs vnicitate radicis principalis vsa est ad demonstrandvm $a^{\frac{p}{q}}$ a fractione electa non pendere et leges exponentivm valere, et leges radicalivm cvm svis hypothesibvs de signo statvit, inter qvas $\sqrt{a^2} = \abs{a}$ . Lectio de aeqvationibvs et inaeqvationibvs primi gradvs proprietates corporvm et ordinis in regvlas convertit ad aeqvationes et inaeqvationes transformandas sine solvtionibvs amittendis avt addendis, et systemata dvarvm aeqvationvm per determinantem svvm distribvit. Deniqve nvmeri complexi algebram complevervnt: omnis aeqvatio secvndi gradvs coefficientivm realivm in eis solvtionem habet, et cvm eivs discriminans negativvm est, exacte dvas habet, inter se conivgatas; et geometria plani in operationes cvm conivgato et modvlo translata est. Pretivm fvit ordo: in $\mathbb{C}$ nvllvs est cvm operationibvs congrvens, et magnitvdinem nvmeri eivs modvlvs metitvr.

Qvid acqviratvr et qvid amittatvr

Ratio partis sic svmmatim reddi potest:

A $\mathbb{N}$ ad $\mathbb{Z}$ acqviritvr oppositvm, et cvm eo svbtractio; amittitvr bonvs ordo, qvia nvmeri integri elementvm minimvm non habent.
A $\mathbb{Z}$ ad $\mathbb{Q}$ acqviritvr inversvm cvivsqve nvmeri a nihilo differentis, et cvm eo divisio; amittitvr svccessor, qvia inter dvos nvmeros rationales semper alivs est.
A $\mathbb{Q}$ ad $\mathbb{R}$ acqviritvr completvdo, et cvm ea radices nvmerorvm non negativorvm et mensvra cvivsqve segmenti; amittitvr expressio finita vel periodica omnivm nvmerorvm.
A $\mathbb{R}$ ad $\mathbb{C}$ acqviritvr solvtio cvivsqve aeqvationis secvndi gradvs et, secvndvm theorema fvndamentale algebrae, cvivsqve aeqvationis polynomialis non constantis; amittitvr ordo cvm operationibvs congrvens.

Pictvra qvae seqvitvr tria segmenta in vnam catenam colligit. Qvisqve nodvs colvmnae est definitio avt theorema, secvndvm ordinem logicvm nvmeratvs et arcv cvm anvlis prioribvs conivnctvs qvibvs eivs demonstratio vtitvr; circvm flvitant fvlcra, id est principia et instrvmenta ad qvae catena itervm atqve itervm recvrrit, qvodqve linea continva cvm anvlis qvi ei nitvntvr conivnctvm et linea pvnctata cvm anvlo vbi statvitvr, exceptis iis qvae admittvntvr avt ex parte priore provenivnt, qvae vt circvli vacvi pingvntvr. Fvlcro pvlsato omnes anvli qvi eo vtvntvr illvstrantvr, et qvisqve anvlvs ad lectionem remittit in qva demonstratvr.

Fvlcra catenae

APrincipivm amplificationvm. Qvodqve novvm genvs nvmerorvm operationes et proprietates prioris servat, et elementa addit qvae necessaria svnt vt operatio inversa, antea restricta, definiatvr; vt dvx totivs partis adhibetvr. In hac vnitate sine demonstratione admittitvr.
BArithmetica nvmerorvm natvralivm. Proprietates additionis, mvltiplicationis et ordinis nvmerorvm natvralivm, indvctio, bonvs ordo et svmma progressionvm, in parte de nvmeris natvralibvs demonstratae. In hac vnitate sine demonstratione admittitvr.
CDivisio cvm residvo. Pro omni nvmero integro $a$ et omni nvmero natvrali $b$ est vnicvs qvotiens $q$ et vnicvm residvvm $r$ talia vt $a = bq + r$ et $0 \leq r < b$ ; in parte de nvmeris natvralibvs demonstratvm, cvm regvlis nvmerorvm integrorvm qvas lectio de nvmeris integris demonstrat. In hac vnitate sine demonstratione admittitvr.
DBezovtivs et Evclides. Si $\operatorname{mcd}(a, b) = 1$ , exstant nvmeri integri $x$ et $y$ cvm $ax + by = 1$ , et nvmervs primvs qvi prodvctvm dividit aliqvem factorem dividit; in parte de nvmeris natvralibvs demonstratvm. In hac vnitate sine demonstratione admittitvr.
EConstrvctio per classes. Svmvntvr paria ex genere priore, ostenditvr condicionem qvae dvo paria identificat relationem aeqvivalentiae esse, svmitvr vt nova copia copia qvotiens, cvivs classes partitionem parivm efficivnt, et operationes per repraesentantes definivntvr, ostendendo effectvm ab electis non pendere. Constitvitvr in: 2. Constrvctio nvmerorvm integrorvm.
FAxiomata corporis ordinati completi. Admittitvr nvmeros reales corpvs ordinatvm completvm efficere qvod nvmeros rationales continet: additio et mvltiplicatio axiomatibvs corporis satisfacivnt; nvmeri positivi trichotomiae satisfacivnt et clavsi svnt svb additione et mvltiplicatione; et omnis copia non vacva nvmerorvm realivm svpra circvmscripta svpremvm habet, qvod est axioma qvod nvmeros reales proprie describit. In hac vnitate sine demonstratione admittitvr.
GVnicitas radicis. Dvo nvmeri reales non negativi eadem potentia $n$ -ta aeqvales svnt; ideo satis est nvmervm non negativvm exhibere cvivs potentia data sit vt sciatvr evm radicem principalem esse. Constitvitvr in: 11. Vnicitas radicis principalis.
HProprietas Archimedea. Pro omni nvmero reali exstat nvmervs natvralis eo maior; qvare nvmervs realis $d$ cvm $0 \leq d \leq \frac{1}{10^n}$ pro omni nvmero natvrali $n$ nihilo aeqvalis est. Constitvitvr in: 13. Proprietas Archimedea.

Segmentvm 1 Constrvctiones
- Nvmeros integros vt classes parivm nvmerorvm natvralivm et nvmeros rationales vt classes fractionvm constrvere, cvm operationibvs bene definitis.
- Regvlam signorvm, defectvm divisorvm nihili et simplificationem prodvcti in theoremata convertere.
- Demonstrare omnem nvmervm rationalem vnicam fractionem irredvcibilem habere, et ordinem nvmerorvm rationalivm densvm et Archimedevm esse.
- Nvmeros complexos vt paria nvmerorvm realivm constrvere, cvm prodvcto qvod dat $i^2 = -1$ .
1. Vnicitas elementi nevtri et oppositi. Elementvm nevtrvm additionis vnicvm est et qvisqve nvmervs vnicvm oppositvm habet, ita vt $-(-c) = c$ ; eodem modo qvisqve nvmervs a nihilo differens vnicvm inversvm habet.
  Demonstratvr in: Genera nvmerorvm: a natvralibvs ad complexos.
2. Constrvctio nvmerorvm integrorvm. Relatio qvae paria nvmerorvm natvralivm $(a, b)$ et $(c, d)$ aeqvivalentia facit cvm $a + d = b + c$ relatio aeqvivalentiae est; eivs classes svnt nvmeri integri, cvm additione et mvltiplicatione bene definitis, commvtativis, associativis et distribvtivis, cvm elementis nevtris $C(1, 1)$ et $C(2, 1)$ et opposito $-C(a, b) = C(b, a)$ .
  Nititvr: B (Arithmetica nvmerorvm natvralivm). Demonstratvr in: Nvmeri integri: constrvctio, signa et ordo.
3. Trichotomia integrorvm. Nvmero natvrali $n$ cvm classe $C(n + 1, 1)$ identificato additio et mvltiplicatio servantvr, et omnis nvmervs integer exacte vnvm ex his est: nvmervs natvralis, nihil avt oppositvm nvmeri natvralis.
  Vtitvr: 2. Constrvctio nvmerorvm integrorvm. Nititvr: B (Arithmetica nvmerorvm natvralivm), A (Principivm amplificationvm). Demonstratvr in: Nvmeri integri: constrvctio, signa et ordo.
4. Regvla signorvm. Pro omnibvs nvmeris integris valent $a \cdot 0 = 0$ , $(-a) b = -(ab)$ et $(-a)(-b) = ab$ ; praeterea, si $ab = 0$ , aliqvis factor nihilo aeqvalis est, et factor a nihilo differens dvobvs prodvctis aeqvalibvs commvnis simplificatvr.
  Vtitvr: 1. Vnicitas elementi nevtri et oppositi, 2. Constrvctio nvmerorvm integrorvm, 3. Trichotomia integrorvm. Demonstratvr in: Nvmeri integri: constrvctio, signa et ordo.
5. Ordo integrorvm. Si $a < b$ significat $b - a$ nvmervm natvralem esse, additio eivsdem nvmeri integri ordinem servat, mvltiplicatio per nvmervm positivvm evm servat et per negativvm invertit; et divisio cvm residvo dividendi negativi ad divisionem dividendi natvralis redvcitvr.
  Vtitvr: 1. Vnicitas elementi nevtri et oppositi, 3. Trichotomia integrorvm, 4. Regvla signorvm. Nititvr: C (Divisio cvm residvo). Demonstratvr in: Nvmeri integri: constrvctio, signa et ordo.
6. Constrvctio nvmerorvm rationalivm. Relatio qvae fractiones $\frac{p}{q}$ et $\frac{r}{s}$ aeqvivalentes facit cvm $ps = qr$ relatio aeqvivalentiae est; eivs classes svnt nvmeri rationales, cvm additione et mvltiplicatione bene definitis, et omnis nvmervs rationalis a nihilo differens $\frac{p}{q}$ inversvm habet $\frac{q}{p}$ .
  Vtitvr: 1. Vnicitas elementi nevtri et oppositi, 4. Regvla signorvm. Nititvr: E (Constrvctio per classes), A (Principivm amplificationvm). Demonstratvr in: Nvmeri rationales: fractiones earvmqve operationes.
7. Fractio irredvcibilis. Omnis nvmervs rationalis per fractionem irredvcibilem denominatoris natvralis repraesentatvr, et per vnam solam.
  Vtitvr: 4. Regvla signorvm, 6. Constrvctio nvmerorvm rationalivm. Nititvr: D (Bezovtivs et Evclides). Demonstratvr in: Nvmeri rationales: fractiones earvmqve operationes.
8. Ordo nvmerorvm rationalivm. Denominatoribvs natvralibvs, $\frac{p}{q} < \frac{r}{s}$ cvm $ps < qr$ ; hic ordo a fractionibvs electis non pendet, ordinem integrorvm extendit et cvm operationibvs congrvit, et densvs et Archimedevs est: inter dvos nvmeros rationales infiniti svnt, et omnis nvmervs rationalis a nvmero natvrali svperatvr.
  Vtitvr: 5. Ordo integrorvm, 6. Constrvctio nvmerorvm rationalivm. Demonstratvr in: Nvmeri rationales: fractiones earvmqve operationes.
9. Constrvctio nvmerorvm complexorvm. Cvm $(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)$ et $(a, b)(c, d) = (ac - bd, ad + bc)$ , paria nvmerorvm realivm nvmeros complexos efficivnt: eorvm operationes commvtativae, associativae et distribvtivae svnt, paria $(a, 0)$ vt nvmeri reales se gervnt, $i = (0, 1)$ condicioni $i^2 = -1$ satisfacit et qvisqve nvmervs complexvs vnico modo scribitvr vt $a + bi$ .
  Nititvr: A (Principivm amplificationvm), F (Axiomata corporis ordinati completi). Demonstratvr in: Nvmeri complexi: operationes et aeqvationes.
Segmentvm 2 Ordo et completvdo
- Ex axiomatibvs ordinis regvlas ad inaeqvalitates tractandas et vnicitatem radicis principalis dedvcere.
- Demonstrare nvmeros rationales completos non esse, qvia copia nvmerorvm rationalivm qvorvm qvadratvm minvs est qvam $2$ svpremvm rationale non habet.
- Ex completvdine dedvcere proprietatem Archimedeam, valorem cvivsqve expressionis decimalis infinitae et characterizationem nvmerorvm rationalivm per expressiones eorvm finitas vel periodicas.
- Ex completvdine dedvcere densitatem nvmerorvm rationalivm in recta, exsistentiam radicvm et characterizationem intervallorvm, et cvm valore absolvto operari.
1. Ordo nvmerorvm realivm. Si nvmeri positivi trichotomiae satisfacivnt et clavsi svnt svb additione et mvltiplicatione, ordo nvmerorvm realivm transitivvs est, servatvr addendo et mvltiplicando per nvmervm positivvm, invertitvr mvltiplicando per negativvm, et svmptio inversorvm dvorvm nvmerorvm positivorvm eorvm ordinem invertit.
  Vtitvr: 4. Regvla signorvm. Nititvr: F (Axiomata corporis ordinati completi). Demonstratvr in: Genera nvmerorvm: a natvralibvs ad complexos.
2. Vnicitas radicis principalis. Si $p$ et $r$ non negativi svnt et $p^n = r^n$ , tvm $p = r$ ; si $n$ impar est, qvisqve nvmervs realis svmmvm vnam radicem $n$ -tam habet, qvae negativa est cvm nvmervs negativvs est.
  Vtitvr: 4. Regvla signorvm, 10. Ordo nvmerorvm realivm. Nititvr: B (Arithmetica nvmerorvm natvralivm). Demonstratvr in: Genera nvmerorvm: a natvralibvs ad complexos.
3. Rationales completi non svnt. Radix qvadrata nvmeri $2$ rationalis non est; ideo copia nvmerorvm rationalivm qvorvm qvadratvm minvs est qvam $2$ svpra circvmscripta est, sed nvllvs ex marginibvs svperioribvs eivs rationalibvs minimvs est.
  Vtitvr: 8. Ordo nvmerorvm rationalivm, 11. Vnicitas radicis principalis. Nititvr: D (Bezovtivs et Evclides). Demonstratvr in: Genera nvmerorvm: a natvralibvs ad complexos.
4. Proprietas Archimedea. Pro omni nvmero reali $x$ exstat nvmervs natvralis maior qvam $x$ ; qvare, si $0 \leq d \leq \frac{1}{10^n}$ pro omni nvmero natvrali $n$ , tvm $d = 0$ .
  Vtitvr: 10. Ordo nvmerorvm realivm. Nititvr: F (Axiomata corporis ordinati completi), B (Arithmetica nvmerorvm natvralivm). Demonstratvr in: Expressio decimalis nvmerorvm rationalivm.
5. Valor expressionis decimalis. Divisio longa nvmeri $p$ per $q$ digitos dat qvorvm trvncationes a $\frac{p}{q}$ minvs qvam $\frac{1}{10^n}$ distant; et omnis expressio decimalis infinita vnicvm nvmervm realem repraesentat, qvi pro divisione longa est $\frac{p}{q}$ ; nvmervs realis positivvs dvas expressiones habet solvm cvm altera finita est et altera novenis desinit.
  Vtitvr: 6. Constrvctio nvmerorvm rationalivm, 10. Ordo nvmerorvm realivm. Nititvr: B (Arithmetica nvmerorvm natvralivm), C (Divisio cvm residvo), F (Axiomata corporis ordinati completi), H (Proprietas Archimedea). Demonstratvr in: Expressio decimalis nvmerorvm rationalivm.
6. Expressiones finitae. Expressio decimalis fractionis irredvcibilis $\frac{p}{q}$ finita est si et solvm si $q = 2^a 5^b$ , vbi $a$ et $b$ nvmeri integri non negativi svnt.
  Vtitvr: 7. Fractio irredvcibilis, 14. Valor expressionis decimalis. Nititvr: D (Bezovtivs et Evclides). Demonstratvr in: Expressio decimalis nvmerorvm rationalivm.
7. Expressiones nvmerorvm rationalivm. Expressio decimalis cvivsqve nvmeri rationalis positivi $\frac{p}{q}$ finita vel periodica est, et longitvdo periodi eivs svmmvm $q - 1$ est.
  Vtitvr: 14. Valor expressionis decimalis. Nititvr: B (Arithmetica nvmerorvm natvralivm), C (Divisio cvm residvo). Demonstratvr in: Expressio decimalis nvmerorvm rationalivm.
8. Fractio generatrix. Omnis expressio decimalis periodica nvmervm rationalem repraesentat, et periodica pvra periodi $A$ , $k$ digitorvm, nvmervm $\frac{A}{10^k - 1}$ repraesentat; vnde nvmervs realis rationalis est si et solvm si eivs expressio finita vel periodica est.
  Vtitvr: 14. Valor expressionis decimalis, 16. Expressiones nvmerorvm rationalivm. Nititvr: B (Arithmetica nvmerorvm natvralivm), H (Proprietas Archimedea). Demonstratvr in: Expressio decimalis nvmerorvm rationalivm.
9. Densitas nvmerorvm rationalivm. Inter dvos nvmeros reales distinctos semper est nvmervs rationalis, et ideo infiniti.
  Vtitvr: 10. Ordo nvmerorvm realivm. Nititvr: B (Arithmetica nvmerorvm natvralivm), H (Proprietas Archimedea). Demonstratvr in: Recta realis: ordo, intervalla et valor absolvtvs.
10. Exsistentia radicis. Pro omni nvmero natvrali $n \geq 2$ et omni nvmero reali $a \geq 0$ exstat nvmervs realis $s \geq 0$ talis vt $s^n = a$ , qvi est radix $n$ -ta principalis nvmeri $a$ .
  Vtitvr: 10. Ordo nvmerorvm realivm. Nititvr: F (Axiomata corporis ordinati completi), G (Vnicitas radicis). Demonstratvr in: Recta realis: ordo, intervalla et valor absolvtvs.
11. Characterizatio intervallorvm. Copia nvmerorvm realivm saltem dvo elementa habens intervallvm est si et solvm si omnes nvmeros continet qvi inter dvo qvaelibet eivs elementa iacent.
  Vtitvr: 10. Ordo nvmerorvm realivm. Nititvr: F (Axiomata corporis ordinati completi). Demonstratvr in: Recta realis: ordo, intervalla et valor absolvtvs.
12. Valor absolvtvs. Valent $\sqrt{x^2} = \abs{x}$ et $\abs{xy} = \abs{x} \abs{y}$ ; condicio $\abs{x - a} < r$ aeqvivalet condicioni $a - r < x < a + r$ , et valet inaeqvalitas triangvlaris $\abs{x + y} \leq \abs{x} + \abs{y}$ .
  Vtitvr: 4. Regvla signorvm, 10. Ordo nvmerorvm realivm. Nititvr: G (Vnicitas radicis). Demonstratvr in: Recta realis: ordo, intervalla et valor absolvtvs.
Segmentvm 3 Calcvlvs
- Potentias exponentis rationalis definire, ostendere eas a fractione electa non pendere et leges exponentivm dedvcere.
- Leges radicalivm cvm svis hypothesibvs de signo statvere, inter qvas $\sqrt{a^2} = \abs{a}$ .
- Aeqvationes et inaeqvationes sine solvtionibvs amittendis avt addendis transformare, et systemata dvarvm aeqvationvm per determinantem svvm distribvere.
- Cvm conivgato et modvlo operari, in $\mathbb{C}$ omnem aeqvationem secvndi gradvs coefficientivm realivm solvere et agnoscere $\mathbb{C}$ nvllvm ordinem cvm svis operationibvs congrventem admittere.
1. Leges exponentivm. Pro $a > 0$ , potentia $a^{\frac{p}{q}}$ , radix $q$ -ta principalis nvmeri $a^p$ , a fractione electa non pendet, et valent $a^x a^y = a^{x + y}$ , $(a^x)^y = a^{xy}$ et $(ab)^x = a^x b^x$ ; si $a > 1$ , cvm exponente crescit.
  Vtitvr: 6. Constrvctio nvmerorvm rationalivm, 19. Exsistentia radicis. Nititvr: G (Vnicitas radicis). Demonstratvr in: Potentiae exponentis rationalis et radicalia.
2. Leges radicalivm. Pro radicandis non negativis radix prodvcti est prodvctvm radicvm et radix radicis est radix indicis prodvcti; $\sqrt[n]{a^n}$ est $\abs{a}$ si $n$ par est, et $\sqrt{a + b} \leq \sqrt{a} + \sqrt{b}$ , cvm aeqvalitate solvm si $ab = 0$ .
  Vtitvr: 19. Exsistentia radicis, 21. Valor absolvtvs. Nititvr: G (Vnicitas radicis). Demonstratvr in: Potentiae exponentis rationalis et radicalia.
3. Aeqvationes aeqvivalentes. Eandem expressionem vtriqve membro addere avt ea per nvmervm a nihilo differentem mvltiplicare solvtiones aeqvationis servat; in inaeqvatione mvltiplicatio per nvmervm positivvm sensvm servat et per negativvm invertit; et elevatio ad qvadratvm solvtiones aeqvationis $A = -B$ addere potest.
  Vtitvr: 1. Vnicitas elementi nevtri et oppositi, 10. Ordo nvmerorvm realivm. Demonstratvr in: Aeqvationes et inaeqvationes primi gradvs et systemata linearia.
4. Systemata dvarvm aeqvationvm. Si determinans $D$ systematis a nihilo differt, vnica solvtio est $x = \frac{D_x}{D}$ , $y = \frac{D_y}{D}$ ; si $D = 0$ et qvaeqve aeqvatio aliqvem coefficientem a nihilo differentem habet, systema infinitas solvtiones habet cvm $D_x = D_y = 0$ , et nvllam in ceteris casibvs.
  Vtitvr: 24. Aeqvationes aeqvivalentes. Demonstratvr in: Aeqvationes et inaeqvationes primi gradvs et systemata linearia.
5. Conivgatvs et modvlvs. Conivgatvs svmmae vel prodvcti est svmma vel prodvctvm conivgatorvm, $z \conj{z} = \abs{z}^2$ , $\abs{zw} = \abs{z} \abs{w}$ et $\abs{z + w} \leq \abs{z} + \abs{w}$ .
  Vtitvr: 9. Constrvctio nvmerorvm complexorvm, 21. Valor absolvtvs. Nititvr: G (Vnicitas radicis). Demonstratvr in: Nvmeri complexi: operationes et aeqvationes.
6. Inversvm nvmeri complexi. Omnis nvmervs complexvs $z$ a nihilo differens vnicvm inversvm habet, $\frac{\conj{z}}{\abs{z}^2}$ ; ideo per omnem nvmervm complexvm a nihilo differentem dividi potest, et prodvctvm nvmerorvm complexorvm solvm evanescit si aliqvis eivs factor evanescit.
  Vtitvr: 1. Vnicitas elementi nevtri et oppositi, 26. Conivgatvs et modvlvs. Demonstratvr in: Nvmeri complexi: operationes et aeqvationes.
7. Aeqvatio secvndi gradvs. Si $a$ , $b$ et $c$ reales svnt, $a \neq 0$ et $\Delta = b^2 - 4ac < 0$ , aeqvatio $az^2 + bz + c = 0$ in $\mathbb{C}$ exacte dvas solvtiones habet, $\frac{-b \pm i \sqrt{-\Delta}}{2a}$ , qvae conivgatae svnt nec reales.
  Vtitvr: 19. Exsistentia radicis, 27. Inversvm nvmeri complexi. Demonstratvr in: Nvmeri complexi: operationes et aeqvationes.
8. Radices conivgatae. Si polynomivm coefficientivm realivm in $z_0$ evanescit, etiam in $\conj{z_0}$ evanescit; ita vt eivs radices non reales in paribvs conivgatorvm appareant.
  Vtitvr: 26. Conivgatvs et modvlvs. Demonstratvr in: Nvmeri complexi: operationes et aeqvationes.
9. Nvmeri complexi non ordinantvr. In $\mathbb{C}$ nvllvs ordo cvm operationibvs congrvens exstat: qvadratvm cvivsqve nvmeri a nihilo differentis positivvm esset, et tvm $1$ et $i^2 = -1$ positivi essent, et etiam eorvm svmma, qvae est $0$ .
  Vtitvr: 4. Regvla signorvm, 9. Constrvctio nvmerorvm complexorvm. Demonstratvr in: Genera nvmerorvm: a natvralibvs ad complexos.

Ad fvnctiones algebraicas. Catena ibi consistit vbi nvmeri non iam seorsvm considerantvr: pars seqvens regvlas considerat qvae nvmeros nvmeris assignant, cvm dominiis qvae intervalla svnt, radicandis non negativis, tabvlis signorvm et theoremate radicvm conivgatarvm ad polynomia coefficientivm realivm in factores resolvenda.