Os conjuntos numéricos: síntese e desafios

Resumo

Esta aula encerra a unidade sobre os conjuntos numéricos. Reúne em uma só cadeia dedutiva o que as aulas da unidade demonstraram: a construção dos inteiros, dos racionais e dos complexos a partir do conjunto anterior, os axiomas de corpo ordenado completo que se admitem para os reais, com a completude como seu traço próprio, e as consequências de cada propriedade para o cálculo com desigualdades, decimais, radicais, equações e números complexos. Explica como essa cadeia se apoia na aritmética dos naturais da unidade anterior e como prepara o estudo das funções e dos polinômios da unidade seguinte. Termina com uma avaliação de saída, paralela à de entrada, e com dez desafios, mais difíceis que os problemas das aulas, cada um dos quais combina resultados de várias delas.

Objetivos de aprendizagem

Expor em ordem lógica as definições e os teoremas principais da unidade, indicando de que resultados anteriores depende cada um.
Explicar que propriedade ganha e qual perde cada ampliação numérica, e por que a completude não pode ser obtida com recursos algébricos.
Relacionar os resultados da unidade com a aritmética dos naturais e com o estudo das funções algébricas e dos polinômios.
Resolver problemas não rotineiros que exigem combinar a aritmética das frações, a ordem dos reais, o cálculo com radicais, os sistemas lineares e os números complexos.

O que a unidade alcançou

A unidade partiu de uma carência e de um princípio. A carência: nos naturais nem sempre se pode subtrair, dividir ou extrair raízes. O princípio, enunciado na aula sobre os conjuntos numéricos: cada novo conjunto conserva as operações e as propriedades do anterior e acrescenta os elementos necessários para que uma operação inversa, antes restrita, fique definida. O resultado é a cadeia de inclusões que organiza toda a unidade:

\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}

As construções

Três das quatro ampliações foram feitas com pares de elementos do conjunto anterior, e duas delas, a dos inteiros e a dos racionais, com um mesmo procedimento, que convém reconhecer como tal. Declara-se quando dois pares representam o mesmo número e demonstra-se que essa declaração se comporta como uma igualdade, isto é, que é uma relação de equivalência; suas classes formam então uma partição, como se demonstrou na aula sobre conjuntos, relações e funções, e o novo conjunto é o conjunto quociente; depois se definem as operações com representantes e se demonstra que o resultado não depende dos representantes escolhidos. Em os números inteiros, o par de naturais $(a, b)$ representa a subtração $a - b$ , e dois pares são equivalentes quando $a + d = b + c$ ; em os números racionais, a fração $\frac{p}{q}$ representa um quociente, e duas frações são equivalentes quando $ps = qr$ ; em os números complexos, o par de reais $(a, b)$ já é o número, com um produto definido de modo que $(0, 1)^2 = (-1, 0)$ . Nos três casos, o conjunto anterior reaparece dentro do novo mediante uma correspondência que respeita as operações, e o que na apresentação intuitiva eram convenções passa a ser teorema: a regra dos sinais, a ausência de divisores de zero, o cancelamento do produto, a unicidade da fração irredutível e a igualdade $i^2 = -1$ .

A ordem e a completude

A quarta ampliação é de outra natureza, e não foi feita por construção. Os racionais já permitem somar, subtrair, multiplicar e dividir, e têm uma ordem compatível com essas operações, densa e arquimediana; mas o conjunto dos racionais cujo quadrado é menor que $2$ é limitado e não tem supremo racional. Como a construção dos reais a partir dos racionais excede o curso, a aula sobre os conjuntos numéricos os admitiu como um corpo ordenado completo: um conjunto que contém os racionais e cumpre os axiomas de corpo, os de ordem e o de completude, segundo o qual todo conjunto não vazio e limitado superiormente tem supremo. Os dois primeiros grupos são cumpridos também pelos racionais; o terceiro é o que caracteriza os reais. Da completude se deduziram, na aula sobre a representação decimal dos números racionais, a propriedade arquimediana dos reais e o valor de toda representação decimal infinita, com a caracterização dos racionais como os números de representação finita ou periódica; e na aula sobre a reta real, a existência da raiz $n$ -ésima de todo real não negativo, a densidade dos racionais na reta e a caracterização dos intervalos como os conjuntos sem lacunas. Nenhuma dessas propriedades se obtém com somas e produtos: a completude é uma propriedade da ordem, e por isso os reais não podem ser construídos acrescentando aos racionais as soluções de certas equações.

O cálculo

Sobre esses fundamentos repousam as técnicas de cálculo da unidade. A aula sobre potências de expoente racional e radicais usou a unicidade da raiz principal para demonstrar que $a^{\frac{p}{q}}$ não depende da fração escolhida e que valem as propriedades das potências, e estabeleceu as propriedades dos radicais com suas hipóteses de sinal, entre elas $\sqrt{a^2} = \abs{a}$ . A aula sobre equações e inequações do primeiro grau converteu as propriedades dos corpos e da ordem em regras para transformar equações e inequações sem perder nem acrescentar soluções, e classificou os sistemas de duas equações por meio de seu determinante. Por último, os complexos completaram a álgebra: toda equação do segundo grau com coeficientes reais tem solução neles, e quando seu discriminante é negativo tem exatamente duas, conjugadas entre si; e a geometria do plano se traduziu em operações com o conjugado e o módulo. O preço foi a ordem: em $\mathbb{C}$ não há nenhuma compatível com as operações, e o tamanho de um número se mede com seu módulo.

O que se ganha e o que se perde

O balanço da unidade pode resumir-se assim:

De $\mathbb{N}$ a $\mathbb{Z}$ ganha-se o oposto, e com ele a subtração; perde-se a boa ordem, porque os inteiros não têm um menor elemento.
De $\mathbb{Z}$ a $\mathbb{Q}$ ganha-se o inverso de todo número não nulo, e com ele a divisão; perde-se o sucessor, porque entre dois racionais sempre há outro.
De $\mathbb{Q}$ a $\mathbb{R}$ ganha-se a completude, e com ela as raízes dos números não negativos e a medida de todo segmento; perde-se a representação finita ou periódica de todos os números.
De $\mathbb{R}$ a $\mathbb{C}$ ganha-se a solução de toda equação do segundo grau e, segundo o teorema fundamental da álgebra, de toda equação polinomial não constante; perde-se a ordem compatível com as operações.

A figura seguinte reúne os três trechos em uma só cadeia. Cada nó da coluna é uma definição ou um teorema, numerado segundo a ordem lógica e unido por um arco aos elos anteriores que sua demonstração usa; ao redor flutuam os apoios, isto é, os princípios e os instrumentos a que a cadeia recorre repetidas vezes, cada um unido por um traço contínuo aos elos que nele se apoiam e por um tracejado ao elo onde é estabelecido, exceto os que se admitem ou provêm da unidade anterior, que são desenhados como anéis. Ao clicar em um apoio, destacam-se todos os elos que o usam, e cada elo remete à aula em que é demonstrado.

Apoios da cadeia

APrincípio das ampliações. Cada novo conjunto numérico conserva as operações e as propriedades do anterior, e acrescenta os elementos necessários para que uma operação inversa, antes restrita, fique definida; adota-se como guia de toda a unidade. Admitido sem demonstração nesta unidade.
BAritmética dos naturais. As propriedades da soma, do produto e da ordem dos naturais, a indução, a boa ordem e a soma das progressões, demonstradas na unidade sobre os números naturais. Admitido sem demonstração nesta unidade.
CDivisão com resto. Para todo inteiro $a$ e todo natural $b$ há um único quociente $q$ e um único resto $r$ tais que $a = bq + r$ e $0 \leq r < b$ ; demonstrado na unidade sobre os números naturais, com as regras dos inteiros que a aula sobre os números inteiros demonstra. Admitido sem demonstração nesta unidade.
DBézout e Euclides. Se $\operatorname{mdc}(a, b) = 1$ , existem inteiros $x$ e $y$ com $ax + by = 1$ , e um primo que divide um produto divide algum dos fatores; demonstrado na unidade sobre os números naturais. Admitido sem demonstração nesta unidade.
EConstrução por classes. Tomam-se pares do conjunto anterior, demonstra-se que a condição que identifica dois pares é uma relação de equivalência, toma-se como novo conjunto o quociente, cujas classes formam uma partição dos pares, e definem-se as operações com representantes, provando que o resultado não depende dos escolhidos. Estabelecido em: 2. Construção dos inteiros.
FAxiomas de corpo ordenado completo. Admite-se que os reais formam um corpo ordenado completo que contém os racionais: a soma e o produto cumprem os axiomas de corpo; os positivos cumprem a tricotomia e são fechados para a soma e o produto; e todo conjunto não vazio de reais limitado superiormente tem supremo, que é o axioma que caracteriza os reais. Admitido sem demonstração nesta unidade.
GUnicidade da raiz. Dois reais não negativos com a mesma potência $n$ -ésima são iguais; por isso basta exibir um número não negativo cuja potência seja a dada para saber que é a raiz principal. Estabelecido em: 11. Unicidade da raiz principal.
HPropriedade arquimediana. Para todo real existe um natural maior que ele; em consequência, um real $d$ com $0 \leq d \leq \frac{1}{10^n}$ para todo natural $n$ é nulo. Estabelecido em: 13. Propriedade arquimediana.

Trecho 1 As construções
- Construir os inteiros como classes de pares de naturais e os racionais como classes de frações, com operações bem definidas.
- Converter em teoremas a regra dos sinais, a ausência de divisores de zero e o cancelamento do produto.
- Demonstrar que todo racional tem uma única fração irredutível, e que a ordem dos racionais é densa e arquimediana.
- Construir os complexos como pares de reais, com um produto que dá $i^2 = -1$ .
1. Unicidade do elemento neutro e do oposto. O elemento neutro aditivo é único e cada número tem um único oposto, de modo que $-(-c) = c$ ; do mesmo modo, cada número não nulo tem um único inverso.
  Demonstrado em: Conjuntos numéricos: dos naturais aos complexos.
2. Construção dos inteiros. A relação que torna equivalentes os pares de naturais $(a, b)$ e $(c, d)$ quando $a + d = b + c$ é de equivalência; suas classes são os inteiros, com uma soma e um produto bem definidos, comutativos, associativos e distributivos, com os elementos neutros $C(1, 1)$ e $C(2, 1)$ e o oposto $-C(a, b) = C(b, a)$ .
  Apoia-se em: B (Aritmética dos naturais). Demonstrado em: Os números inteiros: construção, sinais e ordem.
3. Tricotomia dos inteiros. Ao identificar o natural $n$ com a classe $C(n + 1, 1)$ , conservam-se a soma e o produto, e todo inteiro é exatamente uma destas coisas: um natural, o zero ou o oposto de um natural.
  Usa: 2. Construção dos inteiros. Apoia-se em: B (Aritmética dos naturais), A (Princípio das ampliações). Demonstrado em: Os números inteiros: construção, sinais e ordem.
4. Regra dos sinais. Para todos os inteiros valem $a \cdot 0 = 0$ , $(-a) b = -(ab)$ e $(-a)(-b) = ab$ ; além disso, se $ab = 0$ , algum dos fatores é nulo, e um fator não nulo comum a dois produtos iguais se cancela.
  Usa: 1. Unicidade do elemento neutro e do oposto, 2. Construção dos inteiros, 3. Tricotomia dos inteiros. Demonstrado em: Os números inteiros: construção, sinais e ordem.
5. Ordem dos inteiros. Se $a < b$ significa que $b - a$ é natural, somar um mesmo inteiro conserva a ordem, multiplicar por um positivo a conserva e por um negativo a inverte; e a divisão com resto de um dividendo negativo se reduz à de um dividendo natural.
  Usa: 1. Unicidade do elemento neutro e do oposto, 3. Tricotomia dos inteiros, 4. Regra dos sinais. Apoia-se em: C (Divisão com resto). Demonstrado em: Os números inteiros: construção, sinais e ordem.
6. Construção dos racionais. A relação que torna equivalentes as frações $\frac{p}{q}$ e $\frac{r}{s}$ quando $ps = qr$ é de equivalência; suas classes são os racionais, com uma soma e um produto bem definidos, e todo racional não nulo $\frac{p}{q}$ tem por inverso $\frac{q}{p}$ .
  Usa: 1. Unicidade do elemento neutro e do oposto, 4. Regra dos sinais. Apoia-se em: E (Construção por classes), A (Princípio das ampliações). Demonstrado em: Os números racionais: frações e suas operações.
7. Fração irredutível. Todo número racional é representado por uma fração irredutível de denominador natural, e por uma só.
  Usa: 4. Regra dos sinais, 6. Construção dos racionais. Apoia-se em: D (Bézout e Euclides). Demonstrado em: Os números racionais: frações e suas operações.
8. Ordem dos racionais. Com denominadores naturais, $\frac{p}{q} < \frac{r}{s}$ quando $ps < qr$ ; essa ordem não depende das frações escolhidas, estende a dos inteiros e é compatível com as operações, e é densa e arquimediana: entre dois racionais há infinitos, e todo racional é superado por um natural.
  Usa: 5. Ordem dos inteiros, 6. Construção dos racionais. Demonstrado em: Os números racionais: frações e suas operações.
9. Construção dos complexos. Com $(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)$ e $(a, b)(c, d) = (ac - bd, ad + bc)$ , os pares de reais formam os complexos: suas operações são comutativas, associativas e distributivas, os pares $(a, 0)$ operam como os reais, $i = (0, 1)$ cumpre $i^2 = -1$ e cada complexo se escreve de uma única maneira como $a + bi$ .
  Apoia-se em: A (Princípio das ampliações), F (Axiomas de corpo ordenado completo). Demonstrado em: Os números complexos: operações e equações.
Trecho 2 A ordem e a completude
- Deduzir dos axiomas da ordem as regras para operar com desigualdades e a unicidade da raiz principal.
- Demonstrar que os racionais não são completos, porque o conjunto dos racionais de quadrado menor que $2$ não tem supremo racional.
- Deduzir da completude a propriedade arquimediana, o valor de toda representação decimal infinita e a caracterização dos racionais por suas representações finitas ou periódicas.
- Deduzir da completude a densidade dos racionais na reta, a existência das raízes e a caracterização dos intervalos, e operar com o valor absoluto.
1. Ordem dos reais. Se os positivos cumprem a tricotomia e são fechados para a soma e o produto, a ordem dos reais é transitiva, conserva-se ao somar e ao multiplicar por um positivo, inverte-se ao multiplicar por um negativo, e tomar os inversos de dois positivos inverte sua ordem.
  Usa: 4. Regra dos sinais. Apoia-se em: F (Axiomas de corpo ordenado completo). Demonstrado em: Conjuntos numéricos: dos naturais aos complexos.
2. Unicidade da raiz principal. Se $p$ e $r$ são não negativos e $p^n = r^n$ , então $p = r$ ; se $n$ é ímpar, cada real tem no máximo uma raiz $n$ -ésima, que é negativa quando o número o é.
  Usa: 4. Regra dos sinais, 10. Ordem dos reais. Apoia-se em: B (Aritmética dos naturais). Demonstrado em: Conjuntos numéricos: dos naturais aos complexos.
3. Os racionais não são completos. A raiz quadrada de $2$ não é racional; por isso o conjunto dos racionais cujo quadrado é menor que $2$ é limitado superiormente, mas nenhuma de suas cotas superiores racionais é a menor.
  Usa: 8. Ordem dos racionais, 11. Unicidade da raiz principal. Apoia-se em: D (Bézout e Euclides). Demonstrado em: Conjuntos numéricos: dos naturais aos complexos.
4. Propriedade arquimediana. Para todo real $x$ existe um natural maior que $x$ ; em consequência, se $0 \leq d \leq \frac{1}{10^n}$ para todo natural $n$ , então $d = 0$ .
  Usa: 10. Ordem dos reais. Apoia-se em: F (Axiomas de corpo ordenado completo), B (Aritmética dos naturais). Demonstrado em: A representação decimal dos números racionais.
5. Valor de uma representação decimal. A divisão longa de $p$ por $q$ dá algarismos cujos truncamentos distam de $\frac{p}{q}$ menos de $\frac{1}{10^n}$ ; e toda representação decimal infinita representa um único número real, que para a divisão longa é $\frac{p}{q}$ ; um real positivo tem duas representações somente quando uma é finita e a outra termina em noves.
  Usa: 6. Construção dos racionais, 10. Ordem dos reais. Apoia-se em: B (Aritmética dos naturais), C (Divisão com resto), F (Axiomas de corpo ordenado completo), H (Propriedade arquimediana). Demonstrado em: A representação decimal dos números racionais.
6. Representações finitas. A representação decimal de uma fração irredutível $\frac{p}{q}$ é finita se e somente se $q = 2^a 5^b$ com $a$ e $b$ inteiros não negativos.
  Usa: 7. Fração irredutível, 14. Valor de uma representação decimal. Apoia-se em: D (Bézout e Euclides). Demonstrado em: A representação decimal dos números racionais.
7. Representações dos racionais. A representação decimal de todo racional positivo $\frac{p}{q}$ é finita ou periódica, e o comprimento de seu período é no máximo $q - 1$ .
  Usa: 14. Valor de uma representação decimal. Apoia-se em: B (Aritmética dos naturais), C (Divisão com resto). Demonstrado em: A representação decimal dos números racionais.
8. Fração geratriz. Toda representação decimal periódica representa um racional, e a periódica simples de período $A$ , de $k$ algarismos, representa $\frac{A}{10^k - 1}$ ; donde um real é racional se e somente se sua representação é finita ou periódica.
  Usa: 14. Valor de uma representação decimal, 16. Representações dos racionais. Apoia-se em: B (Aritmética dos naturais), H (Propriedade arquimediana). Demonstrado em: A representação decimal dos números racionais.
9. Densidade dos racionais. Entre dois reais distintos há sempre um número racional, e portanto infinitos.
  Usa: 10. Ordem dos reais. Apoia-se em: B (Aritmética dos naturais), H (Propriedade arquimediana). Demonstrado em: A reta real: ordem, intervalos e valor absoluto.
10. Existência da raiz. Para todo natural $n \geq 2$ e todo real $a \geq 0$ existe um real $s \geq 0$ tal que $s^n = a$ , que é a raiz $n$ -ésima principal de $a$ .
  Usa: 10. Ordem dos reais. Apoia-se em: F (Axiomas de corpo ordenado completo), G (Unicidade da raiz). Demonstrado em: A reta real: ordem, intervalos e valor absoluto.
11. Caracterização dos intervalos. Um conjunto de reais com pelo menos dois elementos é um intervalo se e somente se contém todos os números compreendidos entre dois quaisquer de seus elementos.
  Usa: 10. Ordem dos reais. Apoia-se em: F (Axiomas de corpo ordenado completo). Demonstrado em: A reta real: ordem, intervalos e valor absoluto.
12. Valor absoluto. Valem $\sqrt{x^2} = \abs{x}$ e $\abs{xy} = \abs{x} \abs{y}$ ; a condição $\abs{x - a} < r$ equivale a $a - r < x < a + r$ , e vale a desigualdade triangular $\abs{x + y} \leq \abs{x} + \abs{y}$ .
  Usa: 4. Regra dos sinais, 10. Ordem dos reais. Apoia-se em: G (Unicidade da raiz). Demonstrado em: A reta real: ordem, intervalos e valor absoluto.
Trecho 3 O cálculo
- Definir as potências de expoente racional, provar que não dependem da fração escolhida e deduzir as propriedades das potências.
- Estabelecer as propriedades dos radicais com suas hipóteses de sinal, entre elas $\sqrt{a^2} = \abs{a}$ .
- Transformar equações e inequações sem perder nem acrescentar soluções, e classificar os sistemas de duas equações por meio de seu determinante.
- Operar com o conjugado e o módulo, resolver em $\mathbb{C}$ toda equação do segundo grau com coeficientes reais e reconhecer que $\mathbb{C}$ não admite uma ordem compatível com suas operações.
1. Propriedades das potências. Para $a > 0$ , a potência $a^{\frac{p}{q}}$ , raiz $q$ -ésima principal de $a^p$ , não depende da fração escolhida, e valem $a^x a^y = a^{x + y}$ , $(a^x)^y = a^{xy}$ e $(ab)^x = a^x b^x$ ; se $a > 1$ , cresce com o expoente.
  Usa: 6. Construção dos racionais, 19. Existência da raiz. Apoia-se em: G (Unicidade da raiz). Demonstrado em: Potências de expoente racional e radicais.
2. Propriedades dos radicais. Para radicandos não negativos, a raiz de um produto é o produto das raízes e a raiz de uma raiz é a raiz de índice produto; $\sqrt[n]{a^n}$ é $\abs{a}$ se $n$ é par, e $\sqrt{a + b} \leq \sqrt{a} + \sqrt{b}$ , com igualdade somente se $ab = 0$ .
  Usa: 19. Existência da raiz, 21. Valor absoluto. Apoia-se em: G (Unicidade da raiz). Demonstrado em: Potências de expoente racional e radicais.
3. Equações equivalentes. Somar uma mesma expressão a ambos os membros ou multiplicá-los por um número não nulo conserva as soluções de uma equação; em uma inequação, multiplicar por um positivo conserva o sentido e por um negativo o inverte; e elevar ao quadrado pode acrescentar as soluções de $A = -B$ .
  Usa: 1. Unicidade do elemento neutro e do oposto, 10. Ordem dos reais. Demonstrado em: Equações e inequações do primeiro grau e sistemas lineares.
4. Sistemas de duas equações. Se o determinante $D$ do sistema não é nulo, a única solução é $x = \frac{D_x}{D}$ , $y = \frac{D_y}{D}$ ; se $D = 0$ e cada equação tem algum coeficiente não nulo, o sistema tem infinitas soluções quando $D_x = D_y = 0$ , e nenhuma no caso contrário.
  Usa: 24. Equações equivalentes. Demonstrado em: Equações e inequações do primeiro grau e sistemas lineares.
5. Conjugado e módulo. O conjugado de uma soma ou de um produto é a soma ou o produto dos conjugados, $z \conj{z} = \abs{z}^2$ , $\abs{zw} = \abs{z} \abs{w}$ e $\abs{z + w} \leq \abs{z} + \abs{w}$ .
  Usa: 9. Construção dos complexos, 21. Valor absoluto. Apoia-se em: G (Unicidade da raiz). Demonstrado em: Os números complexos: operações e equações.
6. Inverso de um complexo. Todo complexo $z$ não nulo tem um único inverso, $\frac{\conj{z}}{\abs{z}^2}$ ; portanto, pode-se dividir por todo complexo não nulo, e um produto de complexos só se anula se algum de seus fatores se anula.
  Usa: 1. Unicidade do elemento neutro e do oposto, 26. Conjugado e módulo. Demonstrado em: Os números complexos: operações e equações.
7. Equação do segundo grau. Se $a$ , $b$ e $c$ são reais, $a \neq 0$ e $\Delta = b^2 - 4ac < 0$ , a equação $az^2 + bz + c = 0$ tem em $\mathbb{C}$ exatamente duas soluções, $\frac{-b \pm i \sqrt{-\Delta}}{2a}$ , que são conjugadas e não reais.
  Usa: 19. Existência da raiz, 27. Inverso de um complexo. Demonstrado em: Os números complexos: operações e equações.
8. Raízes conjugadas. Se um polinômio com coeficientes reais se anula em $z_0$ , também se anula em $\conj{z_0}$ ; de modo que suas raízes não reais se apresentam em pares de conjugados.
  Usa: 26. Conjugado e módulo. Demonstrado em: Os números complexos: operações e equações.
9. Os complexos não se ordenam. Em $\mathbb{C}$ não existe uma ordem compatível com as operações: o quadrado de todo número não nulo seria positivo, e então $1$ e $i^2 = -1$ seriam positivos, e também sua soma, que é $0$ .
  Usa: 4. Regra dos sinais, 9. Construção dos complexos. Demonstrado em: Conjuntos numéricos: dos naturais aos complexos.

Rumo às funções algébricas. A cadeia se detém onde os números deixam de ser estudados isoladamente: a unidade seguinte estuda regras que associam números a números, com domínios que são intervalos, radicandos não negativos, quadros de sinais e o teorema das raízes conjugadas para fatorar os polinômios com coeficientes reais.