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LatineResumo
Esta aula abre a unidade sobre as funções algébricas e os polinômios. Apresenta suas nove aulas e o fio que as une, que é a fatoração: dela dependem as raízes, o sinal, as inequações, os domínios, as assíntotas e os gráficos. Percorre depois o contexto histórico dessas ideias, desde os problemas de segundo grau das tábuas de argila babilônicas e a álgebra de al-Khwarizmi até as fórmulas italianas do século XVI, a notação de Viète e de Descartes e o conceito de função de Euler e de Dirichlet; formula com precisão os dois problemas que lhes deram origem, resolver uma equação polinomial e descrever uma função, e mostra com um exemplo como a fatoração resolve ambos ao mesmo tempo. Termina indicando onde essas ideias são usadas no restante do curso, em outros cursos do site e na ciência e na técnica.
Objetivos de aprendizagem
- Descrever o conteúdo de cada aula da unidade e explicar o papel que a fatoração dos polinômios desempenha no conjunto.
- Situar em seu contexto histórico os principais resultados da unidade, nomeando seus protagonistas e o problema que cada um tentava resolver.
- Formular o problema de resolver uma equação polinomial e o de descrever uma função algébrica, e reconhecer em um exemplo como uma única fatoração responde a ambos.
- Identificar onde essas ideias reaparecem nas unidades posteriores, em outros cursos e em aplicações científicas e técnicas.
Avaliação de entrada
Antes de percorrer a unidade, convém medir o ponto de partida. Esta autoavaliação não atribui nota: as nove primeiras perguntas tratam, uma a uma, das nove aulas da unidade, e a décima pede para formular uma situação concreta como uma função; as mesmas habilidades voltam a ser medidas no final, na aula de síntese. As três últimas verificam o que a unidade dá por sabido da unidade sobre os conjuntos numéricos. Cada resposta errada indica a aula em que convém deter-se.
Antes de começar a unidade, meça seu ponto de partida. É uma autoavaliação breve: não recebe nota e seu resultado fica guardado apenas no seu navegador.
Pergunta 1Qual é o domínio da função ?
Excluiu-se o , como se a raiz de não existisse. Uma raiz de índice par exige um radicando não negativo, e não positivo, quando está no numerador.Falta a condição do denominador: em o quociente divide por zero e não está definido.Inverteu-se a desigualdade ao isolar: equivale a , porque ao passar para o outro membro fica .O radicando deve ser não negativo, , isto é, ; e o denominador não pode se anular, o que exclui o . Em a raiz vale e o quociente está definido.Revisar: Funções algébricas de variável real
Pergunta 2A função , restrita a , é bijetora sobre . Qual é a sua inversa?
É a inversa da outra metade da parábola, a restrição a : assume valores menores ou iguais a , dos quais só o está no domínio da restrição dada.Desfizeram-se as operações com o sinal do deslocamento trocado: para voltar de a é preciso somar , e não subtraí-lo. Por exemplo, , mas esta fórmula dá em .É o inverso multiplicativo, e não a função inversa: o expoente de é só uma notação para a função que desfaz .Isolando, ; como na restrição , o número é a raiz principal de , e não o seu oposto. Verifica-se que .Revisar: Operações com funções, inversa e transformações de gráficos
Pergunta 3Para que valor de o polinômio é divisível por ?
Resposta correta:
Pelo teorema do fator, divide o polinômio se e somente se este se anula em : , donde . Quem obtém avaliou em , que é a raiz de , e não a de .Revisar: Álgebra dos polinômios reais
Pergunta 4Se e são as raízes de , quanto vale ?
Resposta correta:
Pelas relações de Girard (de Viète), e ; então . Quem obtém confundiu com , e quem obtém somou em vez de subtraí-lo.Revisar: Fatoração do polinômio quadrático e do trinômio de grau 2n
Pergunta 5Sejam e inteiros. Segundo o teorema das raízes racionais, qual dos números a seguir não pode ser raiz de ?
Este número é, sim, um candidato: divide e divide . Talvez se tenham trocado os papéis do termo independente e do coeficiente dominante.É um candidato: divide e divide . O teorema não exclui os sinais negativos, porque um inteiro divide outro exatamente quando o seu oposto o divide.É um candidato inteiro: divide , e seu denominador é , que divide todo inteiro. Que seja raiz dependerá de e de .Uma raiz racional irredutível cumpre que divide o termo independente, , e divide o coeficiente dominante, . Em , o numerador não divide nem o denominador divide .Revisar: Raízes de polinômios de grau superior e divisão sintética
Pergunta 6Que números e cumprem em todo real diferente de e de ?
São os valores do numerador nas raízes, sem dividir pelo valor do outro fator. Ao cobrir fica à vista também o fator , que se avalia junto com o numerador.Perdeu-se o sinal do denominador ao avaliar em : o fator vale ali , e o quociente de por é positivo.Repartiram-se os coeficientes do numerador entre as frações. A soma tem numerador , e não .Pelo método de Heaviside, é o valor em de , que é , e é o valor em de , que é . Em ambos os membros valem .Pergunta 7Qual é o conjunto solução da inequação ?
Falta excluir o : ali o fator se anula e o quociente vale , que não é negativo. A raiz dupla não muda o sinal, mas continua sendo um zero.Tratou-se a raiz dupla como se mudasse o sinal. Um fator de expoente par é positivo dos dois lados da sua raiz, e o sinal não muda ao atravessar o .São os pontos em que o quociente é positivo: inverteu-se o sentido da desigualdade ao ler o quadro de sinais.O quociente tem o sinal de fora de , porque o fator é positivo ali; esse quociente é negativo entre e . Em o numerador se anula, e a desigualdade estrita o exclui.Revisar: Quadros de sinais e inequações
Pergunta 8Qual é a assíntota oblíqua do gráfico de ?
Dividiram-se por só os dois primeiros termos do numerador, como se o denominador fosse . É preciso dividir por , e o termo do divisor modifica o quociente.É o quociente dos coeficientes dominantes, que dá uma assíntota horizontal só quando os graus são iguais. Aqui o numerador tem um grau a mais, e a assíntota é oblíqua.É a assíntota vertical, que corresponde ao zero do denominador. A assíntota oblíqua descreve a função quando tende a ou a .A divisão dá , de modo que , e a fração tende a nos dois extremos.Pergunta 9Qual é a assíntota do gráfico de quando tende a ?
É a assíntota quando tende a . Para negativo e grande em valor absoluto, ; além disso, uma raiz nunca é negativa, e a reta o é para .Trocou-se o sinal de sem trocar o do termo constante. O valor absoluto troca o sinal de toda a expressão .Falta o termo constante, que provém de completar o quadrado; a diferença entre a função e tende a , e não a .Completando o quadrado, , e a raiz se aproxima de , que para é . A diferença é , que tende a .Pergunta 10Um tanque contém litros de água com gramas de açúcar por litro. A partir de um instante dado, acrescentam-se a ele, sem que saia líquido, litros por minuto de um xarope com gramas de açúcar por litro, que se mistura de imediato. Que valores assume a concentração de açúcar, em gramas por litro, desse instante em diante?
A reta é uma assíntota horizontal: a fração nunca vale , de modo que a mistura não chega a ter a concentração do xarope que entra.Esqueceu-se o açúcar que o tanque continha no início, como se fosse água pura: no instante inicial a concentração é , e não , e a partir daí cresce.Fez-se a média das duas concentrações, e , como se se misturassem volumes iguais. O volume de xarope acrescentado cresce sem limitação, e sua concentração acaba por dominar a mistura.Aos minutos há gramas de açúcar em litros: . A fração decresce desde em direção a sem nunca se anular: a concentração cresce desde e se aproxima de , a do xarope que entra, sem alcançá-la.Pergunta 11De unidades anterioresQual é o conjunto solução da inequação ?
Resolveu-se só , esquecendo que o valor absoluto também exige .É a solução de . Um valor absoluto menor que descreve os pontos próximos de , que formam um intervalo.A desigualdade equivale a ; somando e dividindo por resulta .Pergunta 12De unidades anterioresCalcular .
Resposta correta:
Por definição, , e o expoente negativo indica o inverso: . Quem obtém leu o sinal do expoente como sinal do resultado.Pergunta 13De unidades anterioresQual é o conjunto solução da inequação ?
Ao dividir pelo número negativo é preciso inverter o sentido da desigualdade, e aqui ele foi conservado.O sinal de menos que precede a segunda fração afeta todo o seu numerador: , e não .Multiplicando por , que é positivo, , isto é, ; ao dividir por inverte-se o sentido: .Revisar: Equações e inequações do primeiro grau e sistemas lineares
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