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Latineसारांश
यह पाठ बीजीय फलनों और बहुपदों की इकाई का आरंभ करता है। यह इकाई के नौ पाठों को और उन्हें जोड़ने वाले सूत्र को प्रस्तुत करता है, जो गुणनखंडन है: मूल, चिह्न, असमिकाएँ, प्रांत, अनंतस्पर्शी और आलेख, सब उसी पर निर्भर हैं। इसके बाद यह इन विचारों की ऐतिहासिक पृष्ठभूमि का अनुसरण करता है, बेबीलोन की मिट्टी की पट्टिकाओं की द्विघात समस्याओं और अल-ख़्वारिज़्मी के बीजगणित से लेकर सोलहवीं शताब्दी के इतालवी सूत्रों, वियेता और देकार्त के संकेतन, और ऑयलर तथा डिरिक्ले की फलन की अवधारणा तक; यह उन दो समस्याओं को परिशुद्धता से सूत्रबद्ध करता है जिनसे इनका जन्म हुआ, अर्थात् बहुपद समीकरण को हल करना और फलन का वर्णन करना, और एक उदाहरण से दिखाता है कि गुणनखंडन दोनों को एक साथ कैसे हल करता है। अंत में यह बताता है कि ये विचार पाठ्यक्रम के शेष भाग में, साइट के अन्य पाठ्यक्रमों में और विज्ञान तथा प्रौद्योगिकी में कहाँ प्रयुक्त होते हैं।
अधिगम उद्देश्य
- इकाई के प्रत्येक पाठ की विषय-वस्तु का वर्णन करना और यह समझाना कि समग्र में बहुपदों का गुणनखंडन क्या भूमिका निभाता है।
- इकाई के प्रमुख परिणामों को उनके ऐतिहासिक संदर्भ में रखना, उनसे जुड़े प्रमुख व्यक्तियों और उस समस्या का नाम लेते हुए जिसे उनमें से प्रत्येक हल करने का प्रयास कर रहा था।
- बहुपद समीकरण को हल करने की समस्या और बीजीय फलन का वर्णन करने की समस्या को सूत्रबद्ध करना, और किसी उदाहरण में पहचानना कि एक ही गुणनखंडन दोनों का उत्तर कैसे देता है।
- यह बताना कि ये विचार बाद की इकाइयों में, अन्य पाठ्यक्रमों में और वैज्ञानिक तथा तकनीकी अनुप्रयोगों में कहाँ फिर से प्रकट होते हैं।
प्रवेश मूल्यांकन
इकाई शुरू करने से पहले आरंभ-बिंदु को माप लेना उपयोगी है। इस स्व-मूल्यांकन पर अंक नहीं दिए जाते: पहले नौ प्रश्न एक-एक करके इकाई के नौ पाठों को छूते हैं, और दसवाँ प्रश्न किसी ठोस स्थिति को फलन के रूप में व्यक्त करने को कहता है; यही कौशल अंत में, सारांश वाले पाठ में, फिर से मापे जाते हैं। अंतिम तीन प्रश्न उसकी जाँच करते हैं जिसे यह इकाई संख्या समुच्चयों वाली इकाई से ज्ञात मानती है। प्रत्येक ग़लत उत्तर उस पाठ की ओर संकेत करता है जिस पर रुकना उचित है।
इकाई शुरू करने से पहले अपना आरंभ बिंदु मापें। यह एक छोटा स्व-मूल्यांकन है: इस पर अंक नहीं दिए जाते और इसका परिणाम केवल आपके ब्राउज़र में रहता है।
प्रश्न 1फलन का प्रांत क्या है?
को बाहर कर दिया गया है, मानो का मूल अस्तित्व में न हो। सम घातांक वाला मूल, जब वह अंश में हो, ऋणेतर करणीगत राशि माँगता है, धनात्मक नहीं।हर की शर्त छूट गई है: पर भागफल में शून्य से भाग होता है और वह परिभाषित नहीं है।अलग करते समय असमिका उलट दी गई है: , के तुल्य है, क्योंकि को दूसरे पक्ष में ले जाने पर बचता है।करणीगत राशि ऋणेतर होनी चाहिए, , अर्थात् ; और हर शून्य नहीं हो सकता, जिससे बाहर हो जाता है। पर मूल का मान है और भागफल परिभाषित है।दोहराएँ: वास्तविक चर के बीजीय फलन
प्रश्न 2फलन , जिसे पर प्रतिबंधित किया गया है, पर एकैकी आच्छादक है। इसका प्रतिलोम क्या है?
यह परवलय के दूसरे आधे भाग का, अर्थात् पर प्रतिबंधन का, प्रतिलोम है: यह से छोटे या उसके बराबर मान लेता है, जिनमें से केवल दिए गए प्रतिबंधन के प्रांत में है।स्थानांतरण का चिह्न बदलकर संक्रियाओं को उलटा गया है: से पर लौटने के लिए जोड़ना होता है, घटाना नहीं। उदाहरण के लिए, , पर यह सूत्र देता है ( पर)।यह गुणनात्मक व्युत्क्रम है, प्रतिलोम फलन नहीं: घातांक ( में) केवल उस फलन का संकेत है जो को उलटता है।अलग करने पर ; चूँकि इस प्रतिबंधन में , संख्या , का मुख्य मूल है, उसका ऋणात्मक नहीं। जाँचा जा सकता है कि ।दोहराएँ: फलनों पर संक्रियाएँ, प्रतिलोम फलन और आलेखों के रूपांतरण
प्रश्न 3 के किस मान के लिए बहुपद , से विभाज्य है?
सही उत्तर:
गुणनखंड प्रमेय से, बहुपद को विभाजित करता है यदि और केवल यदि बहुपद पर शून्य होता है: , अतः । प्राप्त होना यह दर्शाता है कि मान पर ज्ञात किया गया, जो का मूल है, का नहीं।प्रश्न 4यदि और , के मूल हैं, तो का मान क्या है?
सही उत्तर:
मूलों और गुणांकों के संबंधों से और ; तब । प्राप्त होने का अर्थ है कि को समझ लिया गया, और प्राप्त होने का अर्थ है कि को घटाने के बजाय जोड़ दिया गया।प्रश्न 5मान लीजिए और पूर्णांक हैं। परिमेय मूल प्रमेय के अनुसार, निम्नलिखित संख्याओं में से कौन-सी का मूल नहीं हो सकती?
यह संख्या वास्तव में प्रत्याशी है: , को विभाजित करता है और , को। संभवतः अचर पद और अग्रग गुणांक की भूमिकाएँ आपस में बदल दी गई हैं।यह प्रत्याशी है: , को विभाजित करता है और , को। प्रमेय ऋणात्मक चिह्नों को बाहर नहीं करती, क्योंकि एक पूर्णांक दूसरे को ठीक तभी विभाजित करता है जब उसका ऋणात्मक उसे विभाजित करे।यह पूर्णांक प्रत्याशी है: , को विभाजित करता है, और इसका हर है, जो हर पूर्णांक को विभाजित करता है। यह मूल है या नहीं, यह और पर निर्भर करेगा।अखंडनीय रूप वाला परिमेय मूल इस शर्त को पूरा करता है कि अचर पद को और अग्रग गुणांक को विभाजित करता है। में न अंश , को विभाजित करता है और न हर , को।प्रश्न 6कौन-सी संख्याएँ और , को संतुष्ट करती हैं, हर उस वास्तविक संख्या पर जो से और से अलग है?
ये मूलों पर अंश के मान हैं, दूसरे गुणनखंड के मान से भाग दिए बिना। को ढकने पर गुणनखंड भी दिखाई देता रहता है, जिसका मान अंश के साथ ज्ञात किया जाता है।पर मान ज्ञात करते समय हर का चिह्न खो गया है: गुणनखंड का वहाँ मान है, और को से भाग देने पर भागफल धनात्मक है।अंश के गुणांकों को भिन्नों में बाँट दिया गया है। योग का अंश है, नहीं।आवरण विधि से, , पर का मान है, जो है, और , पर का मान है, जो है। पर दोनों पक्षों का मान है।दोहराएँ: बीजीय भिन्न और आंशिक भिन्न
प्रश्न 7असमिका का हल समुच्चय क्या है?
को बाहर करना छूट गया है: वहाँ गुणनखंड शून्य होता है और भागफल का मान है, जो ऋणात्मक नहीं है। द्विक मूल चिह्न नहीं बदलता, पर शून्यक बना रहता है।द्विक मूल को ऐसे बरता गया है मानो वह चिह्न बदलता हो। सम घातांक वाला गुणनखंड अपने मूल के दोनों ओर धनात्मक होता है, और को पार करने पर चिह्न नहीं बदलता।ये वे बिंदु हैं जहाँ भागफल धनात्मक है: चिह्न सारणी पढ़ते समय असमिका की दिशा उलट दी गई है।भागफल का चिह्न के चिह्न जैसा है ( के बाहर), क्योंकि गुणनखंड वहाँ धनात्मक है; यह भागफल और के बीच ऋणात्मक है। पर अंश शून्य होता है, और दृढ़ असमिका उसे बाहर कर देती है।दोहराएँ: चिह्न-सारणियाँ और असमिकाएँ
प्रश्न 8 के आलेख का तिर्यक अनंतस्पर्शी क्या है?
अंश के केवल पहले दो पदों को से भाग दिया गया है, मानो हर हो। भाग से देना होता है, और भाजक का पद भागफल को बदल देता है।यह अग्रग गुणांकों का भागफल है, जो क्षैतिज अनंतस्पर्शी केवल तब देता है जब घातें बराबर हों। यहाँ अंश की घात एक अधिक है, और अनंतस्पर्शी तिर्यक है।यह ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी है, जो हर के शून्यक के संगत है। तिर्यक अनंतस्पर्शी फलन का वर्णन करता है जब , या की ओर अग्रसर होता है।विभाजन से मिलता है, अतः , और भिन्न दोनों छोरों पर की ओर अग्रसर होती है।दोहराएँ: परिमेय फलन: अनंतस्पर्शी और आलेख
प्रश्न 9 के आलेख का अनंतस्पर्शी क्या है जब , की ओर अग्रसर होता है?
यह वह अनंतस्पर्शी है जब , की ओर अग्रसर होता है। निरपेक्ष मान में बड़े ऋणात्मक के लिए ; इसके अतिरिक्त, मूल कभी ऋणात्मक नहीं होता, और रेखा , के लिए ऋणात्मक है।का चिह्न बदला गया है पर अचर पद का नहीं। निरपेक्ष मान पूरे व्यंजक का चिह्न बदलता है।अचर पद छूट गया है, जो वर्ग पूरा करने से आता है; फलन और का अंतर की ओर अग्रसर होता है, की ओर नहीं।वर्ग पूरा करने पर , और मूल के निकट आता है, जो के लिए है। अंतर , है, जो की ओर अग्रसर होता है।दोहराएँ: मूल वाले फलन: प्रांत, चिह्न और आलेख
प्रश्न 10एक टंकी में लीटर पानी है जिसमें प्रति लीटर ग्राम चीनी है। किसी निश्चित क्षण से उसमें, बिना कोई द्रव बाहर निकले, प्रति मिनट लीटर ऐसी चाशनी मिलाई जाती है जिसमें प्रति लीटर ग्राम चीनी है, और वह तुरंत मिल जाती है। उस क्षण से आगे चीनी की सांद्रता, ग्राम प्रति लीटर में, कौन-से मान लेती है?
रेखा एक क्षैतिज अनंतस्पर्शी है: भिन्न कभी नहीं होती, अतः मिश्रण आने वाली चाशनी की सांद्रता तक कभी नहीं पहुँचता।टंकी में आरंभ में जो चीनी थी उसे भुला दिया गया है, मानो वह शुद्ध पानी हो: आरंभिक क्षण में सांद्रता है, नहीं, और वहाँ से बढ़ती है।दोनों सांद्रताओं, और , का औसत लिया गया है, मानो बराबर आयतन मिलाए जा रहे हों। मिलाई गई चाशनी का आयतन असीम रूप से बढ़ता है, और अंततः उसकी सांद्रता मिश्रण पर हावी हो जाती है।मिनट बाद ग्राम चीनी लीटर में है: । भिन्न से की ओर घटती है और कभी शून्य नहीं होती: सांद्रता से बढ़ती है और के निकट आती है, जो आने वाली चाशनी की सांद्रता है, पर उस तक पहुँचती नहीं।दोहराएँ: परिमेय फलन: अनंतस्पर्शी और आलेख
प्रश्न 11पिछली इकाइयों सेअसमिका का हल समुच्चय क्या है?
केवल को हल किया गया है, यह भुलाकर कि निरपेक्ष मान की भी माँग करता है।यह का हल है। से छोटा निरपेक्ष मान के निकट के बिंदुओं का वर्णन करता है, जो एक अंतराल बनाते हैं।असमिका के तुल्य है; जोड़ने और से भाग देने पर मिलता है।प्रश्न 12पिछली इकाइयों से की गणना कीजिए।
सही उत्तर:
परिभाषा से, , और ऋणात्मक घातांक व्युत्क्रम को दर्शाता है: । प्राप्त होने का अर्थ है कि घातांक के चिह्न को परिणाम का चिह्न पढ़ लिया गया।दोहराएँ: परिमेय घातांक वाली घातें और करणियाँ
प्रश्न 13पिछली इकाइयों सेअसमिका का हल समुच्चय क्या है?
ऋणात्मक संख्या से भाग देते समय असमिका की दिशा उलटनी होती है, और यहाँ उसे बनाए रखा गया है।दूसरी भिन्न से पहले आने वाला ऋण चिह्न उसके पूरे अंश पर लागू होता है: , नहीं।से गुणा करने पर, जो धनात्मक है, , अर्थात् ; से भाग देने पर दिशा उलट जाती है: ।
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