函数的运算、反函数与图像变换

摘要

本课把函数作为可以进行运算的对象来研究。本课定义实函数的和、积、商与复合及其定义域，并说明复合不满足交换律。本课从关于集合、关系与函数的那一课中取来复合的结合律、单射性与反函数定理，并补充实函数特有的内容：复合的定义域，单调函数，严格单调函数的反函数，通过解出变量并限制定义域来求反函数，以及反函数的图像，它是原函数图像关于直线 $y = x$ 的翻折。随后研究偶函数与奇函数，图像的平移、伸缩与翻折，以及分段函数和含绝对值的函数。

学习目标

对函数作加、乘、除与复合运算，并由参与运算的函数的定义域确定每个结果的定义域。
判断一个函数是否为单射、满射或双射，并求其反函数，必要时限制定义域。
识别图像的对称性：关于竖直轴、关于原点以及关于直线 $y = x$ 的对称。
通过平移、伸缩、翻折与绝对值，由一个函数的图像得到另一个函数的图像，并遵守这些变换的施行顺序。
在应用问题中解释函数的运算与反函数，例如透镜公式，其中反函数交换物与像的角色。

函数的运算

在代数函数一课中，函数被定义为一种法则，它对定义域中的每个元素恰好对应一个像；我们还看到，代数函数是由变量经过和、积、商与开方构成的。这些运算可以理解为函数之间的运算：两个函数逐点相加、相乘或相除，而且其中一个函数可以作用于另一个函数的结果。若是如此，复杂的函数就可以通过分解为较简单的函数来研究。

设 $f$ 与 $g$ 是实变量的实函数。它们的和 $f + g$ 、差 $f - g$ 与积 $f \cdot g$ 是对每个 $x$ 分别对应像的和、差与积的函数；它们的商 $\frac{f}{g}$ 对每个 $x$ 对应像的商：

f + g : x \mapsto f(x) + g(x), \qquad f \cdot g : x \mapsto f(x) \cdot g(x), \qquad \frac{f}{g} : x \mapsto \frac{f(x)}{g(x)}

要使这些表达式有意义， $x$ 必须同时属于两个定义域；对于商，像 $g(x)$ 还不能为零。由此得到各运算的定义域：

\operatorname{dom}(f + g) = \operatorname{dom}(f) \cap \operatorname{dom}(g), \qquad \operatorname{dom}\left( \frac{f}{g} \right) = \{ x \in \operatorname{dom}(f) \cap \operatorname{dom}(g) : g(x) \neq 0 \}

差与积的定义域都与和的定义域相同，而函数与数 $c$ 的积就是它与常函数 $c$ 的积，后者的定义域为 $\mathbb{R}$ 。然而，运算结果的定义域要由参与运算的函数来确定，而不是由化简后得到的公式来确定。若 $f(x) = x^2 - 1$ 且 $g(x) = x - 1$ ，则商在其整个定义域上与 $x + 1$ 相等，但该定义域不含 $1$ ，因为 $g(1) = 0$ ：商的图像是直线 $y = x + 1$ 去掉点 $(1, 2)$ 。同样，若 $f(x) = \sqrt{x}$ 且 $g(x) = \sqrt{-x}$ ，则和只在 $x = 0$ 处有定义，这是两个定义域唯一的公共点。像第一个例子中这样被排除的点，在符号表与不等式一课中将称为可去点，它们对图像的影响将在有理函数一课中研究。

函数的复合

函数之间最重要的运算在数之间没有类似物：它是把一个函数作用于另一个函数的结果。 $f$ 与 $g$ 的复合记作 $f \circ g$ ，读作「 $f$ 与 $g$ 的复合」，它是先作用 $g$ 、再作用 $f$ 的函数：

\left( f \circ g \right)(x) = f(g(x))

可以把它想象成两台前后相接的机器： $x$ 进入 $g$ ，产生 $g(x)$ ，这个数再进入 $f$ ，产生 $f(g(x))$ 。要使这样的组合运转， $x$ 必须属于 $g$ 的定义域，而它的像必须属于 $f$ 的定义域：

\operatorname{dom}(f \circ g) = \{ x \in \operatorname{dom}(g) : g(x) \in \operatorname{dom}(f) \}

注意顺序：在 $f \circ g$ 中先起作用的是写在右边的函数。代数函数是较简单函数的复合；例如， $\sqrt{1 - x^2}$ 是平方根与 $1 - x^2$ 的复合，而认出这一结构，正是计算其定义域的关键。

例题两个不同的复合

设 $f(x) = \sqrt{x}$ ， $g(x) = 1 - x^2$ 。求函数 $f \circ g$ 与 $g \circ f$ 及其定义域，并加以比较。图把每个复合表示为在三条数轴上的路径： $x$ 的数轴、第一个像的数轴和第二个像的数轴。

证明

$\left( f \circ g \right)(x) = \sqrt{\resaltar{1 - x^2}}, \quad 1 - x^2 \geq 0$
$g$ 的定义域为 $\mathbb{R}$ ， $f$ 的定义域由非负实数组成。要计算 $f \circ g$ ，像 $g(x)$ 必须非负；使它为负的 $x$ 值，例如 $x = 2$ ，无法通过第二台机器。
$\resaltar{(1 - x)(1 + x)} \geq 0 \leftrightarrow \dato{fg}{\operatorname{dom}(f \circ g) = \icc{-1}{1}}$
对平方差进行因式分解。由积的符号引理，两个因式都必须非负，因为两者同时为负需要 $x > 1$ 与 $x < -1$ 同时成立。
$\left( g \circ f \right)(x) = 1 - \resaltar{\left( \sqrt{x} \right)^2} = \resaltar{1 - x}, \quad \dato{gf}{\operatorname{dom}(g \circ f) = \ico{0}{\infty}}$
对 $g \circ f$ 而言，数 $x$ 必须属于 $f$ 的定义域，而 $\sqrt{x}$ 总属于 $g$ 的定义域。化简后公式失去了根号的痕迹，但定义域保留了它。
$\left( f \circ g \right)\left( \frac{1}{2} \right) = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \left( g \circ f \right)\left( \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{2}$
两个复合是不同的函数：它们的定义域不同，而且在两者共有的同一点处，例如 $x = \frac{1}{2}$ ，取不同的值。因此，复合不满足交换律。

复合虽不满足交换律，却满足结合律：把三个函数串联起来时，先结合前两个还是先结合后两个，结果相同。对于给定集合之间的函数，这已在第一单元的集合、关系与函数一课中证明。实函数唯一的特殊之处在于定义域：这里它不是事先声明的，而是由公式推出的。然而，两次应用复合的定义域的定义可知，数 $x$ 属于 $h \circ (g \circ f)$ 的定义域，当且仅当它属于 $f$ 的定义域、它的像 $f(x)$ 属于 $g$ 的定义域，并且 $g(f(x))$ 属于 $h$ 的定义域；对 $(h \circ g) \circ f$ 得到的也是同一条件。限制在这个公共定义域上，串联的函数都是集合之间的函数，而那一课的定理在两种情形下都给出值 $h(g(f(x)))$ 。所以简单地写成 $h \circ g \circ f$ 。

\operatorname{dom}(h \circ g \circ f) = \{ x \in \operatorname{dom}(f) : f(x) \in \operatorname{dom}(g) \wedge g(f(x)) \in \operatorname{dom}(h) \}