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Topos Uranos
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As funções trigonométricas e seus gráficos

Resumo

Esta aula estuda o seno, o cosseno e a tangente como funções de uma variável real, medida em radianos. Determina seus domínios, seus conjuntos imagem, seus zeros, seus valores extremos e sua paridade, e demonstra que 2π2\pi é o menor período positivo do seno e do cosseno, e π\pi o da tangente. Constrói o gráfico do seno desenrolando a circunferência unitária, obtém o do cosseno por uma translação e descreve com quadros de sinais as assíntotas verticais da tangente; daí deduz os gráficos da secante, da cossecante e da cotangente. Demonstra, comparando áreas, a desigualdade sin⁡x<x<tan⁡x\sin x < x < \tan x para 0<x<π20 < x < \frac{\pi}{2}, e estuda as senoides y=asin⁡(b(x−c))+dy = a \sin(b(x - c)) + d, com as quais se modelam fenômenos periódicos como a duração do dia, as marés ou o movimento de uma roda-gigante.

Objetivos de aprendizagem

  1. Definir o seno, o cosseno e a tangente como funções de variável real, e demonstrar seus conjuntos imagem, seus zeros, seus extremos, sua paridade e seus períodos mínimos.
  2. Construir os gráficos das seis funções trigonométricas a partir da circunferência unitária, descrevendo as assíntotas verticais por meio de quadros de sinais.
  3. Demonstrar a desigualdade sin⁡x<x<tan⁡x\sin x < x < \tan x para 0<x<π20 < x < \frac{\pi}{2} e a cota ∣sin⁡x∣≤∣x∣\abs{\sin x} \leq \abs{x}, e empregá-las para estudar funções e equações.
  4. Interpretar a amplitude, o período, a defasagem e o deslocamento vertical de uma senoide como transformações do gráfico do seno, e ajustar senoides a fenômenos periódicos.

O seno e o cosseno como funções

Na aula sobre as razões trigonométricas definiram-se o seno e o cosseno de um ângulo qualquer como as coordenadas do ponto P(θ)P(\theta) em que o lado terminal do ângulo, em posição padrão, corta a circunferência unitária. Ora, segundo a aula sobre os ângulos e sua medida, todo número real é a medida em radianos de algum ângulo orientado, e dois ângulos têm o mesmo lado terminal exatamente quando suas medidas diferem por um múltiplo inteiro de 2π2\pi. Se é assim, o seno e o cosseno podem ser considerados funções definidas em todo R\mathbb{R}: a cada real xx associa-se uma coordenada do ponto P(x)P(x).

Para cada número real xx, seja P(x)P(x) o ponto da circunferência unitária correspondente ao ângulo de xx radianos em posição padrão. A função seno associa a xx a ordenada de P(x)P(x), e a função cosseno, sua abscissa. Ambas têm por domínio o conjunto de todos os números reais.
P(x)=(cos⁡x,sin⁡x),x∈RP(x) = (\cos x, \sin x), \quad x \in \mathbb{R}

A variável mede-se sempre em radianos, e não em graus. A escolha não é uma convenção indiferente: os resultados da segunda seção, como sin⁡x<x\sin x < x para xx positivo, comparam o seno com a própria variável, e essa comparação só tem sentido quando xx é o comprimento do arco percorrido sobre a circunferência unitária, que é o que mede um radiano.

TeoremaPropriedades do seno e do cosseno

O conjunto imagem do seno e o do cosseno é o intervalo [−1,1]\icc{-1}{1}. Para todo real xx valem sin⁡(x+2π)=sin⁡x\sin(x + 2\pi) = \sin x e cos⁡(x+2π)=cos⁡x\cos(x + 2\pi) = \cos x; o seno é uma função ímpar, e o cosseno, uma função par. O seno se anula exatamente nos múltiplos inteiros de π\pi, vale 11 exatamente nos números π2+2kπ\frac{\pi}{2} + 2k\pi e vale −1-1 exatamente nos números −π2+2kπ-\frac{\pi}{2} + 2k\pi, com kk inteiro. O cosseno se anula exatamente nos números π2+kπ\frac{\pi}{2} + k\pi, vale 11 exatamente nos números 2kπ2k\pi e vale −1-1 exatamente nos números π+2kπ\pi + 2k\pi.

Tudo se lê na circunferência unitária, com a identidade pitagórica e as simetrias demonstradas na aula sobre as razões trigonométricas.

Demonstração

  1. sin⁡2x=1−cos⁡2x≤1→−1≤sin⁡x≤1\sin^2 x = \resaltar{1 - \cos^2 x} \leq 1 \rightarrow \dato{c}{\resaltar{-1 \leq \sin x \leq 1}}

    Pela identidade pitagórica, o quadrado do seno é no máximo 11, e o seno está entre −1-1 e 11; o mesmo vale para o cosseno.

  2. Q=(1−c2,c),(1−c2)2+c2=1→Rec⁡(sin⁡)=Rec⁡(cos⁡)=[−1,1]Q = \left( \sqrt{1 - c^2}, c \right), \quad \resaltar{\left( \sqrt{1 - c^2} \right)^2 + c^2} = \resaltar{1} \rightarrow \operatorname{Rec}(\sin) = \operatorname{Rec}(\cos) = \icc{-1}{1}

    Reciprocamente, dado cc com −1≤c≤1-1 \leq c \leq 1, o ponto QQ seguinte está na circunferência unitária; pela propriedade de recobrimento do axioma do percurso, admitido na aula sobre os ângulos e sua medida, é o ponto P(x)P(x) de algum ângulo xx, e então sin⁡x=c\sin x = c. Do mesmo modo, o ponto (c,1−c2)\left( c, \sqrt{1 - c^2} \right) mostra que o cosseno assume o valor cc.

  3. sin⁡(x+2π)=sin⁡x,cos⁡(x+2π)=cos⁡x,sin⁡(−x)=−sin⁡x,cos⁡(−x)=cos⁡x\sin(x + 2\pi) = \sin x, \quad \cos(x + 2\pi) = \cos x, \quad \sin(-x) = -\sin x, \quad \cos(-x) = \cos x

    Os ângulos de xx e de x+2πx + 2\pi radianos têm o mesmo lado terminal, de modo que P(x+2π)=P(x)P(x + 2\pi) = P(x). Além disso, P(−x)P(-x) é o reflexo de P(x)P(x) em relação ao eixo horizontal, como se demonstrou na aula sobre as razões trigonométricas: o seno é ímpar e o cosseno é par.

  4. sin⁡x=0↔x=kπ,cos⁡x=0↔x=π2+kπ,k∈Z\sin x = 0 \leftrightarrow x = k\pi, \quad \cos x = 0 \leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

    O seno se anula quando P(x)P(x) está no eixo horizontal, isto é, quando é (1,0)(1, 0) ou (−1,0)(-1, 0); esses são os pontos dos ângulos 00 e π\pi e de seus côngruos. O cosseno se anula quando P(x)P(x) é (0,1)(0, 1) ou (0,−1)(0, -1).

  5. sin⁡x=1→cos⁡2x=1−1=0→P(x)=(0,1)\sin x = 1 \rightarrow \cos^2 x = \resaltar{1 - 1} = \resaltar{0} \rightarrow P(x) = (0, 1)

    Se sin⁡x=1\sin x = 1, a identidade pitagórica obriga o cosseno a ser nulo, e o ponto P(x)P(x) é (0,1)(0, 1), que corresponde ao ângulo π2\frac{\pi}{2}; se sin⁡x=−1\sin x = -1, o ponto é (0,−1)(0, -1), que corresponde a −π2-\frac{\pi}{2}.

  6. sin⁡x=1↔x=π2+2kπ,sin⁡x=−1↔x=−π2+2kπ,cos⁡x=1↔x=2kπ,cos⁡x=−1↔x=π+2kπ\sin x = 1 \leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad \sin x = -1 \leftrightarrow x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad \cos x = 1 \leftrightarrow x = 2k\pi, \quad \cos x = -1 \leftrightarrow x = \pi + 2k\pi

    Com o mesmo raciocínio, o cosseno vale 11 quando P(x)=(1,0)P(x) = (1, 0) e vale −1-1 quando P(x)=(−1,0)P(x) = (-1, 0). Em resumo, os valores extremos do seno e do cosseno são atingidos nos números seguintes, com kk inteiro.

O gráfico do seno

O gráfico de y=sin⁡xy = \sin x obtém-se desenrolando a circunferência unitária sobre o eixo horizontal: enquanto o ponto P(x)P(x) percorre a circunferência, o arco percorrido, de comprimento xx, é levado ao eixo das abscissas, e sobre cada abscissa se levanta a altura do ponto. As simetrias da aula sobre as razões trigonométricas permitem construir todo o gráfico a partir de seu primeiro quarto.

ExemploO gráfico do seno como circunferência desenrolada

A figura desenrola a circunferência unitária sobre o eixo horizontal, com a mesma escala em ambos: a altura do ponto P(x)P(x) é transferida para a abscissa xx, e o gráfico completo resulta de repetir e refletir o primeiro quarto.

Demonstração

  1. sin⁡0=0,sin⁡π2=1\sin 0 = 0, \quad \sin \frac{\pi}{2} = 1

    Enquanto xx avança de 00 a π2\frac{\pi}{2}, o ponto P(x)P(x) percorre o primeiro quadrante desde (1,0)(1, 0) até (0,1)(0, 1). Pela propriedade da meia volta do axioma do percurso, sua abscissa cos⁡x\cos x decresce estritamente de 11 a 00; como sua altura é a raiz não negativa 1−cos⁡2x\sqrt{1 - \cos^2 x}, sobe estritamente de 00 a 11. Na aula sobre as funções trigonométricas inversas o mesmo argumento se estende a todo o intervalo [−π2,π2]\icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}.

  2. sin⁡π6=12,sin⁡π4=22,sin⁡π3=32\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}, \quad \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}

    Os valores notáveis calculados na aula sobre as razões trigonométricas dão três pontos intermediários do primeiro arco.

  3. sin⁡(π−x)=sin⁡x\sin(\pi - x) = \sin x

    Entre π2\frac{\pi}{2} e π\pi, a simetria dos ângulos suplementares diz que a altura em π−x\pi - x é a mesma que em xx: o primeiro arco é simétrico em relação à reta vertical x=π2x = \frac{\pi}{2}, e desce até 00 em π\pi.

  4. sin⁡(x+π)=−sin⁡x\sin(x + \pi) = -\sin x

    Entre π\pi e 2π2\pi, o ponto P(x+π)P(x + \pi) é o oposto de P(x)P(x): a altura muda de sinal, e o gráfico repete o arco precedente abaixo do eixo, transladado de π\pi e refletido.

  5. sin⁡(x+2π)=sin⁡x,sin⁡(−x)=−sin⁡x\sin(x + 2\pi) = \sin x, \quad \sin(-x) = -\sin x

    Pela periodicidade, a porção entre 00 e 2π2\pi, chamada ciclo, repete-se à direita e à esquerda; e como o seno é ímpar, o gráfico é simétrico em relação à origem.

O gráfico do seno é uma onda que oscila entre as retas y=−1y = -1 e y=1y = 1, corta o eixo horizontal nos múltiplos de π\pi e atinge seus máximos nos números π2+2kπ\frac{\pi}{2} + 2k\pi e seus mínimos nos números −π2+2kπ-\frac{\pi}{2} + 2k\pi, de acordo com o teorema visto acima.

O desenho supõe, além disso, duas propriedades que a circunferência desenrolada sugere, mas que as ferramentas desta unidade não permitem demonstrar: que o gráfico é uma curva sem interrupções, e que cada arco situado acima do eixo se curva sempre para baixo. Ambas se definem por meio de limites e se demonstram no curso de Cálculo I; aqui são admitidas. Nenhum teorema da unidade depende delas: são usadas só em alguns problemas, que o indicam expressamente.

Fato admitido (continuidade das funções trigonométricas e de suas inversas). O seno e o cosseno são contínuos em toda a reta; a tangente, a secante, a cossecante e a cotangente o são em cada intervalo contido em seu domínio; e o arco-seno, o arco-cosseno e o arco-tangente, que serão definidos na aula sobre as funções trigonométricas inversas, são contínuos em seus domínios. As somas, os produtos, os quocientes com denominador não nulo e as composições de funções contínuas são contínuos. Em consequência, o fato admitido do curso I sobre o teorema do valor intermediário, enunciado na aula sobre as funções racionais, aplica-se, em todo intervalo fechado contido em seu domínio, a funções como sin⁡x−x10\sin x - \frac{x}{10}, tan⁡x−x\tan x - x ou arcsin⁡x+arctan⁡x\arcsin x + \arctan x: se mudam de sinal nos extremos, anulam-se em algum ponto interior.
Fato admitido (concavidade do seno). O seno é estritamente côncavo em cada intervalo [2kπ,(2k+1)π]\icc{2k\pi}{(2k + 1)\pi}, com kk inteiro: se u<x<vu < x < v são pontos desse intervalo, o ponto do gráfico de abscissa xx fica estritamente acima do segmento que une os pontos do gráfico de abscissas uu e vv.
u<x<v→sin⁡x>(v−x)sin⁡u+(x−u)sin⁡vv−uu < x < v \rightarrow \sin x > \frac{(v - x) \sin u + (x - u) \sin v}{v - u}

Funções periódicas

Uma função ff é periódica se existe um número p>0p > 0 tal que, para todo xx do domínio, x+px + p e x−px - p estão no domínio e vale f(x+p)=f(x)f(x + p) = f(x); um número assim chama-se período de ff. Se pp é um período, também o são 2p2p, 3p3p e, por indução, todos os seus múltiplos naturais: f(x+2p)=f((x+p)+p)=f(x+p)=f(x)f(x + 2p) = f((x + p) + p) = f(x + p) = f(x). Uma função periódica tem, portanto, infinitos períodos, e o mais interessante é o menor deles, quando existe, que se chama período mínimo. Seu gráfico obtém-se repetindo uma e outra vez a porção correspondente a um intervalo de comprimento igual ao período.

LemaOs períodos são múltiplos do período mínimo

Se qq é o período mínimo de uma função ff, os períodos de ff são exatamente os números kqkq, com kk natural.

Divide-se um período qualquer por qq, como na divisão com resto, e mostra-se que o resto não pode ser positivo. A figura usa uma função de período mínimo qq.

Demonstração

  1. f(x+kq)=f(x),k∈N\dato{m}{f(x + kq) = f(x)}, \quad k \in \mathbb{N}

    Cada múltiplo natural de qq é um período, como se acaba de ver por indução.

  2. kq≤p<(k+1)q→0≤r=p−kq<q\resaltar{kq \leq p < (k + 1)q} \rightarrow \dato{r}{\resaltar{0 \leq r = p - kq < q}}

    Reciprocamente, seja pp um período; pela minimalidade de qq, tem-se p≥qp \geq q. Pela propriedade arquimediana dos reais, demonstrada na aula do curso I sobre a representação decimal dos números racionais, e pelo princípio da boa ordenação, como no teorema da redução à primeira volta da aula sobre os ângulos e sua medida, existe um natural k≥1k \geq 1 com kq≤p<(k+1)qkq \leq p < (k + 1)q, e o resto r=p−kqr = p - kq está entre 00 e qq, este excluído.

  3. f(x+r)=f(x+r+kq)=f(x+p)=f(x)f(x + r) = f(x + \resaltar{r + kq}) = f(x + \resaltar{p}) = f(x)

    Se rr fosse positivo, seria um período: avançar rr e depois kqkq equivale a avançar pp, e tanto kqkq como pp são períodos.

  4. r=0→p=kqr = 0 \rightarrow p = kq

    Mas um período positivo menor que qq contradiz a minimalidade de qq. Donde o resto é nulo, e pp é um múltiplo natural de qq.

TeoremaPeríodo mínimo do seno e do cosseno

O número 2π2\pi é o período mínimo do seno e do cosseno.

Pelo teorema das propriedades, 2π2\pi é um período de ambas as funções. Falta ver que nenhum número entre 00 e 2π2\pi o é, e para isso basta olhar onde se atinge o máximo.

Demonstração

  1. sin⁡(π2+p)=sin⁡π2=1\dato{m}{\sin \left( \frac{\pi}{2} + p \right) = \sin \frac{\pi}{2} = 1}

    Suponhamos que pp, com 0<p<2π0 < p < 2\pi, seja um período do seno. Aplicando a igualdade sin⁡(x+p)=sin⁡x\sin(x + p) = \sin x em x=π2x = \frac{\pi}{2}, o número π2+p\frac{\pi}{2} + p seria também um ponto de máximo.

  2. π2+p=π2+2kπ→p=2kπ\frac{\pi}{2} + p = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \rightarrow p = 2k\pi

    Pelo teorema das propriedades, o seno vale 11 só nos números π2+2kπ\frac{\pi}{2} + 2k\pi: então pp seria um múltiplo inteiro de 2π2\pi, o que é impossível entre 00 e 2π2\pi. Dito de outro modo, dois máximos consecutivos do seno distam exatamente 2π2\pi.

  3. cos⁡p=cos⁡0=1→p=2kπ\cos p = \cos 0 = 1 \rightarrow p = 2k\pi

    Para o cosseno raciocina-se igualmente em x=0x = 0: um período pp daria cos⁡p=cos⁡0=1\cos p = \cos 0 = 1, e o cosseno vale 11 só nos múltiplos inteiros de 2π2\pi.

Pelo lema que acabamos de demonstrar, os períodos do seno e do cosseno são exatamente os números 2kπ2k\pi com kk natural.

O cosseno como seno transladado

O gráfico do cosseno não exige uma construção nova, porque é o do seno deslocado.

TeoremaO cosseno é um seno transladado

Para todo real xx vale cos⁡x=sin⁡(x+π2)\cos x = \sin \left( x + \frac{\pi}{2} \right). Em consequência, o gráfico de y=cos⁡xy = \cos x é o do seno transladado π2\frac{\pi}{2} unidades para a esquerda.

Combinam-se as simetrias dos ângulos complementares e suplementares, e depois o teorema das transformações da aula do curso I sobre as operações com funções.

Demonstração

  1. cos⁡x=sin⁡(π2−x)\cos x = \dato{c}{\sin \left( \frac{\pi}{2} - x \right)}

    Pela simetria dos ângulos complementares, o cosseno de xx é o seno de π2−x\frac{\pi}{2} - x.

  2. cos⁡x=sin⁡(π−(π2−x))=sin⁡(x+π2)\cos x = \sin \left( \resaltar{\pi - \left( \frac{\pi}{2} - x \right)} \right) = \dato{t}{\sin \left( \resaltar{x + \frac{\pi}{2}} \right)}

    Pela simetria dos ângulos suplementares, sin⁡(π−u)=sin⁡u\sin(\pi - u) = \sin u; com u=π2−xu = \frac{\pi}{2} - x, o ângulo π−u\pi - u é π2+x\frac{\pi}{2} + x.

  3. y=sin⁡(x−(−π2))y = \sin \left( x - \left( -\frac{\pi}{2} \right) \right)

    Pelo teorema das transformações, o gráfico de y=f(x−h)y = f(x - h) é o de ff transladado hh unidades no sentido horizontal. Aqui ff é o seno e h=−π2h = -\frac{\pi}{2}: cada ponto do gráfico do seno desloca-se π2\frac{\pi}{2} para a esquerda. O ponto de máximo (π2,1)\left( \frac{\pi}{2}, 1 \right) passa a (0,1)(0, 1).

  4. cos⁡(−x)=cos⁡x,cos⁡0=1,cos⁡π=−1\cos(-x) = \cos x, \quad \cos 0 = 1, \quad \cos \pi = -1

    No gráfico transladado leem-se as propriedades do cosseno: é simétrico em relação ao eixo vertical, porque o cosseno é par, corta o eixo horizontal nos números π2+kπ\frac{\pi}{2} + k\pi, e atinge o máximo 11 nos múltiplos pares de π\pi e o mínimo −1-1 nos ímpares.