Μετάβαση στο περιεχόμενο
Topos Uranos
Ελληνικά

Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις και οι γραφικές τους παραστάσεις

Περίληψη

Το μάθημα αυτό μελετά το ημίτονο, το συνημίτονο και την εφαπτομένη ως συναρτήσεις μιας πραγματικής μεταβλητής, μετρημένης σε ακτίνια. Προσδιορίζει τα πεδία ορισμού τους, τα σύνολα τιμών τους, τις ρίζες τους, τις ακρότατες τιμές τους και την αρτιότητά τους, και αποδεικνύει ότι το 2π2\pi είναι η μικρότερη θετική περίοδος του ημιτόνου και του συνημιτόνου, και το π\pi η αντίστοιχη της εφαπτομένης. Κατασκευάζει τη γραφική παράσταση του ημιτόνου ξετυλίγοντας τον μοναδιαίο κύκλο, παίρνει εκείνη του συνημιτόνου με μια μετατόπιση και περιγράφει με πίνακες προσήμων τις κατακόρυφες ασύμπτωτες της εφαπτομένης· από εκεί συνάγει τις γραφικές παραστάσεις της τέμνουσας, της συντέμνουσας και της συνεφαπτομένης. Αποδεικνύει, συγκρίνοντας εμβαδά, την ανισότητα sin⁡x<x<tan⁡x\sin x < x < \tan x για 0<x<π20 < x < \frac{\pi}{2}, και μελετά τις ημιτονοειδείς καμπύλες y=asin⁡(b(x−c))+dy = a \sin(b(x - c)) + d, με τις οποίες προσομοιώνονται περιοδικά φαινόμενα όπως η διάρκεια της ημέρας, οι παλίρροιες ή η κίνηση μιας γιγάντιας ρόδας λούνα παρκ.

Μαθησιακοί στόχοι

  1. Να οριστούν το ημίτονο, το συνημίτονο και η εφαπτομένη ως συναρτήσεις πραγματικής μεταβλητής, και να αποδειχθούν τα σύνολα τιμών τους, οι ρίζες τους, τα ακρότατά τους, η αρτιότητά τους και οι ελάχιστες περίοδοί τους.
  2. Να κατασκευαστούν οι γραφικές παραστάσεις των έξι τριγωνομετρικών συναρτήσεων από τον μοναδιαίο κύκλο, με περιγραφή των κατακόρυφων ασυμπτώτων μέσω πινάκων προσήμων.
  3. Να αποδειχθούν η ανισότητα sin⁡x<x<tan⁡x\sin x < x < \tan x για 0<x<π20 < x < \frac{\pi}{2} και το φράγμα ∣sin⁡x∣≤∣x∣\abs{\sin x} \leq \abs{x}, και να χρησιμοποιηθούν στη μελέτη συναρτήσεων και εξισώσεων.
  4. Να ερμηνευτούν το πλάτος, η περίοδος, η μετατόπιση φάσης και η κατακόρυφη μετατόπιση μιας ημιτονοειδούς καμπύλης ως μετασχηματισμοί της γραφικής παράστασης του ημιτόνου, και να προσαρμοστούν ημιτονοειδείς καμπύλες σε περιοδικά φαινόμενα.

Το ημίτονο και το συνημίτονο ως συναρτήσεις

Στο μάθημα για τους τριγωνομετρικούς αριθμούς ορίστηκαν το ημίτονο και το συνημίτονο μιας οποιασδήποτε γωνίας ως οι συντεταγμένες του σημείου P(θ)P(\theta) στο οποίο η τελική πλευρά της γωνίας, σε κανονική θέση, τέμνει τον μοναδιαίο κύκλο. Ωστόσο, σύμφωνα με το μάθημα για τις γωνίες και τη μέτρησή τους, κάθε πραγματικός αριθμός είναι το μέτρο σε ακτίνια κάποιας προσανατολισμένης γωνίας, και δύο γωνίες έχουν την ίδια τελική πλευρά ακριβώς όταν τα μέτρα τους διαφέρουν κατά ακέραιο πολλαπλάσιο του 2π2\pi. Αν αυτό ισχύει, το ημίτονο και το συνημίτονο μπορούν να θεωρηθούν συναρτήσεις ορισμένες σε όλο το R\mathbb{R}: σε κάθε πραγματικό xx αντιστοιχίζεται μια συντεταγμένη του σημείου P(x)P(x).

Για κάθε πραγματικό αριθμό xx, έστω P(x)P(x) το σημείο του μοναδιαίου κύκλου που αντιστοιχεί στη γωνία των xx ακτινίων σε κανονική θέση. Η συνάρτηση ημίτονο αντιστοιχίζει στο xx την τεταγμένη του P(x)P(x), και η συνάρτηση συνημίτονο την τετμημένη του. Και οι δύο έχουν πεδίο ορισμού το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών.
P(x)=(cos⁡x,sin⁡x),x∈RP(x) = (\cos x, \sin x), \quad x \in \mathbb{R}

Η μεταβλητή μετριέται πάντα σε ακτίνια, και όχι σε μοίρες. Η επιλογή δεν είναι μια αδιάφορη σύμβαση: τα αποτελέσματα της δεύτερης παραγράφου, όπως η sin⁡x<x\sin x < x για θετικό xx, συγκρίνουν το ημίτονο με την ίδια τη μεταβλητή, και η σύγκριση αυτή έχει νόημα μόνο όταν το xx είναι το μήκος του τόξου που διανύεται πάνω στον μοναδιαίο κύκλο, που είναι ό,τι μετρά ένα ακτίνιο.

ΘεώρημαΙδιότητες του ημιτόνου και του συνημιτόνου

Το σύνολο τιμών του ημιτόνου και εκείνο του συνημιτόνου είναι το διάστημα [−1,1]\icc{-1}{1}. Για κάθε πραγματικό xx ισχύουν οι sin⁡(x+2π)=sin⁡x\sin(x + 2\pi) = \sin x και cos⁡(x+2π)=cos⁡x\cos(x + 2\pi) = \cos x· το ημίτονο είναι περιττή συνάρτηση, και το συνημίτονο άρτια συνάρτηση. Το ημίτονο μηδενίζεται ακριβώς στα ακέραια πολλαπλάσια του π\pi, παίρνει την τιμή 11 ακριβώς στους αριθμούς π2+2kπ\frac{\pi}{2} + 2k\pi και την τιμή −1-1 ακριβώς στους αριθμούς −π2+2kπ-\frac{\pi}{2} + 2k\pi, με kk ακέραιο. Το συνημίτονο μηδενίζεται ακριβώς στους αριθμούς π2+kπ\frac{\pi}{2} + k\pi, παίρνει την τιμή 11 ακριβώς στους αριθμούς 2kπ2k\pi και την τιμή −1-1 ακριβώς στους αριθμούς π+2kπ\pi + 2k\pi.

Όλα διαβάζονται στον μοναδιαίο κύκλο, με τη βασική τριγωνομετρική ταυτότητα και τις συμμετρίες που αποδείχθηκαν στο μάθημα για τους τριγωνομετρικούς αριθμούς.

Απόδειξη

  1. sin⁡2x=1−cos⁡2x≤1→−1≤sin⁡x≤1\sin^2 x = \resaltar{1 - \cos^2 x} \leq 1 \rightarrow \dato{c}{\resaltar{-1 \leq \sin x \leq 1}}

    Από τη βασική τριγωνομετρική ταυτότητα, το τετράγωνο του ημιτόνου είναι το πολύ 11, και το ημίτονο βρίσκεται μεταξύ −1-1 και 11· το ίδιο ισχύει για το συνημίτονο.

  2. Q=(1−c2,c),(1−c2)2+c2=1→ran⁡(sin⁡)=ran⁡(cos⁡)=[−1,1]Q = \left( \sqrt{1 - c^2}, c \right), \quad \resaltar{\left( \sqrt{1 - c^2} \right)^2 + c^2} = \resaltar{1} \rightarrow \operatorname{ran}(\sin) = \operatorname{ran}(\cos) = \icc{-1}{1}

    Αντίστροφα, δοθέντος ενός cc με −1≤c≤1-1 \leq c \leq 1, το σημείο QQ που ακολουθεί βρίσκεται στον μοναδιαίο κύκλο· από την ιδιότητα της κάλυψης του αξιώματος της διαδρομής κατά μήκος τόξου, που έγινε δεκτό στο μάθημα για τις γωνίες και τη μέτρησή τους, είναι το σημείο P(x)P(x) κάποιας γωνίας xx, και τότε sin⁡x=c\sin x = c. Με τον ίδιο τρόπο, το σημείο (c,1−c2)\left( c, \sqrt{1 - c^2} \right) δείχνει ότι το συνημίτονο παίρνει την τιμή cc.

  3. sin⁡(x+2π)=sin⁡x,cos⁡(x+2π)=cos⁡x,sin⁡(−x)=−sin⁡x,cos⁡(−x)=cos⁡x\sin(x + 2\pi) = \sin x, \quad \cos(x + 2\pi) = \cos x, \quad \sin(-x) = -\sin x, \quad \cos(-x) = \cos x

    Οι γωνίες των xx και των x+2πx + 2\pi ακτινίων έχουν την ίδια τελική πλευρά, οπότε P(x+2π)=P(x)P(x + 2\pi) = P(x). Επιπλέον, το P(−x)P(-x) είναι το συμμετρικό του P(x)P(x) ως προς τον οριζόντιο άξονα, όπως αποδείχθηκε στο μάθημα για τους τριγωνομετρικούς αριθμούς: το ημίτονο είναι περιττό και το συνημίτονο άρτιο.

  4. sin⁡x=0↔x=kπ,cos⁡x=0↔x=π2+kπ,k∈Z\sin x = 0 \leftrightarrow x = k\pi, \quad \cos x = 0 \leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

    Το ημίτονο μηδενίζεται όταν το P(x)P(x) βρίσκεται στον οριζόντιο άξονα, δηλαδή όταν είναι το (1,0)(1, 0) ή το (−1,0)(-1, 0)· αυτά είναι τα σημεία των γωνιών 00 και π\pi και των γωνιών που έχουν κοινή τελική πλευρά με αυτές. Το συνημίτονο μηδενίζεται όταν το P(x)P(x) είναι το (0,1)(0, 1) ή το (0,−1)(0, -1).

  5. sin⁡x=1→cos⁡2x=1−1=0→P(x)=(0,1)\sin x = 1 \rightarrow \cos^2 x = \resaltar{1 - 1} = \resaltar{0} \rightarrow P(x) = (0, 1)

    Αν sin⁡x=1\sin x = 1, η βασική τριγωνομετρική ταυτότητα επιβάλλει το συνημίτονο να είναι μηδέν, και το σημείο P(x)P(x) είναι το (0,1)(0, 1), που αντιστοιχεί στη γωνία π2\frac{\pi}{2}· αν sin⁡x=−1\sin x = -1, το σημείο είναι το (0,−1)(0, -1), που αντιστοιχεί στη γωνία −π2-\frac{\pi}{2}.

  6. sin⁡x=1↔x=π2+2kπ,sin⁡x=−1↔x=−π2+2kπ,cos⁡x=1↔x=2kπ,cos⁡x=−1↔x=π+2kπ\sin x = 1 \leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad \sin x = -1 \leftrightarrow x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad \cos x = 1 \leftrightarrow x = 2k\pi, \quad \cos x = -1 \leftrightarrow x = \pi + 2k\pi

    Με τον ίδιο συλλογισμό, το συνημίτονο παίρνει την τιμή 11 όταν P(x)=(1,0)P(x) = (1, 0) και την τιμή −1-1 όταν P(x)=(−1,0)P(x) = (-1, 0). Συνοπτικά, οι ακρότατες τιμές του ημιτόνου και του συνημιτόνου λαμβάνονται στους αριθμούς που ακολουθούν, με kk ακέραιο.

Η γραφική παράσταση του ημιτόνου

Η γραφική παράσταση της y=sin⁡xy = \sin x προκύπτει ξετυλίγοντας τον μοναδιαίο κύκλο πάνω στον οριζόντιο άξονα: καθώς το σημείο P(x)P(x) διαγράφει τον κύκλο, το τόξο που διανύθηκε, μήκους xx, μεταφέρεται στον άξονα των τετμημένων, και πάνω από κάθε τετμημένη υψώνεται το ύψος του σημείου. Οι συμμετρίες του μαθήματος για τους τριγωνομετρικούς αριθμούς επιτρέπουν να κατασκευαστεί όλη η γραφική παράσταση από το πρώτο της τέταρτο.

ΠαράδειγμαΗ γραφική παράσταση του ημιτόνου ως ξετυλιγμένος κύκλος

Το σχήμα ξετυλίγει τον μοναδιαίο κύκλο πάνω στον οριζόντιο άξονα, με την ίδια μονάδα μήκους και στους δύο: το ύψος του σημείου P(x)P(x) μεταφέρεται στην τετμημένη xx, και ολόκληρη η γραφική παράσταση προκύπτει επαναλαμβάνοντας και ανακλώντας το πρώτο τέταρτο.

Απόδειξη

  1. sin⁡0=0,sin⁡π2=1\sin 0 = 0, \quad \sin \frac{\pi}{2} = 1

    Καθώς το xx προχωρεί από 00 έως π2\frac{\pi}{2}, το σημείο P(x)P(x) διαγράφει το πρώτο τεταρτημόριο από το (1,0)(1, 0) έως το (0,1)(0, 1). Από την ιδιότητα της μισής στροφής του αξιώματος της διαδρομής, η τετμημένη του cos⁡x\cos x φθίνει γνησίως από 11 σε 00· καθώς το ύψος του είναι η μη αρνητική ρίζα 1−cos⁡2x\sqrt{1 - \cos^2 x}, ανεβαίνει γνησίως από 00 σε 11. Στο μάθημα για τις αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις το ίδιο επιχείρημα επεκτείνεται σε όλο το διάστημα [−π2,π2]\icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}.

  2. sin⁡π6=12,sin⁡π4=22,sin⁡π3=32\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}, \quad \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}

    Οι χαρακτηριστικές τιμές που υπολογίστηκαν στο μάθημα για τους τριγωνομετρικούς αριθμούς δίνουν τρία ενδιάμεσα σημεία του πρώτου τόξου.

  3. sin⁡(π−x)=sin⁡x\sin(\pi - x) = \sin x

    Μεταξύ π2\frac{\pi}{2} και π\pi, η συμμετρία των παραπληρωματικών γωνιών λέει ότι το ύψος στο π−x\pi - x είναι το ίδιο με το ύψος στο xx: το πρώτο τόξο είναι συμμετρικό ως προς την κατακόρυφη ευθεία x=π2x = \frac{\pi}{2}, και κατεβαίνει έως το 00 στο π\pi.

  4. sin⁡(x+π)=−sin⁡x\sin(x + \pi) = -\sin x

    Μεταξύ π\pi και 2π2\pi, το σημείο P(x+π)P(x + \pi) είναι το αντιδιαμετρικό του P(x)P(x): το ύψος αλλάζει πρόσημο, και η γραφική παράσταση επαναλαμβάνει το τόξο που προηγήθηκε κάτω από τον άξονα, μετατοπισμένο κατά π\pi και ανακλασμένο.

  5. sin⁡(x+2π)=sin⁡x,sin⁡(−x)=−sin⁡x\sin(x + 2\pi) = \sin x, \quad \sin(-x) = -\sin x

    Λόγω της περιοδικότητας, το κομμάτι μεταξύ 00 και 2π2\pi, που λέγεται κύκλος της γραφικής παράστασης, επαναλαμβάνεται προς τα δεξιά και προς τα αριστερά· και επειδή το ημίτονο είναι περιττό, η γραφική παράσταση είναι συμμετρική ως προς την αρχή των αξόνων.

Η γραφική παράσταση του ημιτόνου είναι ένα κύμα που ταλαντώνεται μεταξύ των ευθειών y=−1y = -1 και y=1y = 1, τέμνει τον οριζόντιο άξονα στα πολλαπλάσια του π\pi και παίρνει τα μέγιστά της στους αριθμούς π2+2kπ\frac{\pi}{2} + 2k\pi και τα ελάχιστά της στους αριθμούς −π2+2kπ-\frac{\pi}{2} + 2k\pi, σύμφωνα με το θεώρημα που προηγήθηκε.

Το σχέδιο προϋποθέτει, επιπλέον, δύο ιδιότητες που ο ξετυλιγμένος κύκλος υποδεικνύει, αλλά που τα εργαλεία αυτής της ενότητας δεν επιτρέπουν να αποδειχθούν: ότι η γραφική παράσταση είναι καμπύλη χωρίς διακοπές, και ότι κάθε τόξο της που βρίσκεται πάνω από τον άξονα καμπυλώνεται πάντα προς τα κάτω. Και οι δύο ορίζονται μέσω ορίων και αποδεικνύονται στον κύκλο μαθημάτων Λογισμός I· εδώ γίνονται δεκτές. Κανένα θεώρημα της ενότητας δεν εξαρτάται από αυτές: χρησιμοποιούνται μόνο σε ορισμένα προβλήματα, που το δηλώνουν ρητά.

Γεγονός που δεχόμαστε χωρίς απόδειξη (συνέχεια των τριγωνομετρικών συναρτήσεων και των αντιστρόφων τους). Το ημίτονο και το συνημίτονο είναι συνεχείς σε όλη την ευθεία· η εφαπτομένη, η τέμνουσα, η συντέμνουσα και η συνεφαπτομένη είναι συνεχείς σε κάθε διάστημα που περιέχεται στο πεδίο ορισμού τους· και το τοξημίτονο, το τοξοσυνημίτονο και η τοξεφαπτομένη, που θα οριστούν στο μάθημα για τις αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις, είναι συνεχείς στα πεδία ορισμού τους. Τα αθροίσματα, τα γινόμενα, τα πηλίκα με μη μηδενικό παρονομαστή και οι συνθέσεις συνεχών συναρτήσεων είναι συνεχείς. Κατά συνέπεια, το γεγονός του πρώτου κύκλου μαθημάτων για το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών, που δεχτήκαμε χωρίς απόδειξη και διατυπώθηκε στο μάθημα για τις ρητές συναρτήσεις, εφαρμόζεται, σε κάθε κλειστό διάστημα που περιέχεται στο πεδίο ορισμού τους, σε συναρτήσεις όπως οι sin⁡x−x10\sin x - \frac{x}{10}, tan⁡x−x\tan x - x ή arcsin⁡x+arctan⁡x\arcsin x + \arctan x: αν αλλάζουν πρόσημο στα άκρα, μηδενίζονται σε κάποιο εσωτερικό σημείο.
Γεγονός που δεχόμαστε χωρίς απόδειξη (κοιλότητα του ημιτόνου). Το ημίτονο είναι γνησίως κοίλο σε κάθε διάστημα [2kπ,(2k+1)π]\icc{2k\pi}{(2k + 1)\pi}, με kk ακέραιο: αν u<x<vu < x < v είναι σημεία αυτού του διαστήματος, το σημείο της γραφικής παράστασης με τετμημένη xx βρίσκεται γνησίως πάνω από το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα σημεία της γραφικής παράστασης με τετμημένες uu και vv.
u<x<v→sin⁡x>(v−x)sin⁡u+(x−u)sin⁡vv−uu < x < v \rightarrow \sin x > \frac{(v - x) \sin u + (x - u) \sin v}{v - u}

Περιοδικές συναρτήσεις

Μια συνάρτηση ff είναι περιοδική αν υπάρχει αριθμός p>0p > 0 τέτοιος ώστε, για κάθε xx του πεδίου ορισμού, τα x+px + p και x−px - p να ανήκουν στο πεδίο ορισμού και να ισχύει f(x+p)=f(x)f(x + p) = f(x)· ένας τέτοιος αριθμός λέγεται περίοδος της ff. Αν ο pp είναι περίοδος, περίοδοι είναι επίσης οι 2p2p, 3p3p και, με επαγωγή, όλα τα φυσικά πολλαπλάσιά του: f(x+2p)=f((x+p)+p)=f(x+p)=f(x)f(x + 2p) = f((x + p) + p) = f(x + p) = f(x). Μια περιοδική συνάρτηση έχει, συνεπώς, άπειρες περιόδους, και η πιο ενδιαφέρουσα είναι η μικρότερη από αυτές, όταν υπάρχει, που λέγεται ελάχιστη περίοδος. Η γραφική της παράσταση προκύπτει επαναλαμβάνοντας ξανά και ξανά το κομμάτι που αντιστοιχεί σε ένα διάστημα μήκους ίσου με την περίοδο.

ΛήμμαΟι περίοδοι είναι πολλαπλάσια της ελάχιστης περιόδου

Αν ο qq είναι η ελάχιστη περίοδος μιας συνάρτησης ff, οι περίοδοι της ff είναι ακριβώς οι αριθμοί kqkq, με kk φυσικό.

Διαιρούμε μια οποιαδήποτε περίοδο με τον qq, όπως στη διαίρεση με υπόλοιπο, και δείχνουμε ότι το υπόλοιπο δεν μπορεί να είναι θετικό. Το σχήμα χρησιμοποιεί μια συνάρτηση με ελάχιστη περίοδο qq.

Απόδειξη

  1. f(x+kq)=f(x),k∈N\dato{m}{f(x + kq) = f(x)}, \quad k \in \mathbb{N}

    Κάθε φυσικό πολλαπλάσιο του qq είναι περίοδος, όπως μόλις είδαμε με επαγωγή.

  2. kq≤p<(k+1)q→0≤r=p−kq<q\resaltar{kq \leq p < (k + 1)q} \rightarrow \dato{r}{\resaltar{0 \leq r = p - kq < q}}

    Αντίστροφα, έστω pp μια περίοδος· από την ελαχιστότητα του qq, ισχύει p≥qp \geq q. Από την αρχιμήδεια ιδιότητα των πραγματικών αριθμών, που αποδείχθηκε στο μάθημα του πρώτου κύκλου μαθημάτων για τη δεκαδική παράσταση των ρητών αριθμών, και την αρχή της καλής διάταξης, όπως στο θεώρημα της αναγωγής στον πρώτο κύκλο του μαθήματος για τις γωνίες και τη μέτρησή τους, υπάρχει φυσικός k≥1k \geq 1 με kq≤p<(k+1)qkq \leq p < (k + 1)q, και το υπόλοιπο r=p−kqr = p - kq βρίσκεται μεταξύ 00 και qq, χωρίς το τελευταίο.

  3. f(x+r)=f(x+r+kq)=f(x+p)=f(x)f(x + r) = f(x + \resaltar{r + kq}) = f(x + \resaltar{p}) = f(x)

    Αν το rr ήταν θετικό, θα ήταν περίοδος: προχωρώντας κατά rr και έπειτα κατά kqkq προχωράμε κατά pp, και τόσο ο kqkq όσο και ο pp είναι περίοδοι.

  4. r=0→p=kqr = 0 \rightarrow p = kq

    Όμως μια θετική περίοδος μικρότερη από τον qq αντιφάσκει με την ελαχιστότητα του qq. Άρα το υπόλοιπο είναι μηδέν, και ο pp είναι φυσικό πολλαπλάσιο του qq.

ΘεώρημαΕλάχιστη περίοδος του ημιτόνου και του συνημιτόνου

Ο αριθμός 2π2\pi είναι η ελάχιστη περίοδος του ημιτόνου και του συνημιτόνου.

Από το θεώρημα των ιδιοτήτων, ο 2π2\pi είναι περίοδος και των δύο συναρτήσεων. Μένει να δούμε ότι κανένας αριθμός μεταξύ 00 και 2π2\pi δεν είναι περίοδος, και γι’ αυτό αρκεί να κοιτάξουμε πού λαμβάνεται το μέγιστο.

Απόδειξη

  1. sin⁡(π2+p)=sin⁡π2=1\dato{m}{\sin \left( \frac{\pi}{2} + p \right) = \sin \frac{\pi}{2} = 1}

    Ας υποθέσουμε ότι ο pp, με 0<p<2π0 < p < 2\pi, είναι περίοδος του ημιτόνου. Θέτοντας στην ισότητα sin⁡(x+p)=sin⁡x\sin(x + p) = \sin x την τιμή x=π2x = \frac{\pi}{2}, ο αριθμός π2+p\frac{\pi}{2} + p θα ήταν επίσης σημείο μεγίστου.

  2. π2+p=π2+2kπ→p=2kπ\frac{\pi}{2} + p = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \rightarrow p = 2k\pi

    Από το θεώρημα των ιδιοτήτων, το ημίτονο παίρνει την τιμή 11 μόνο στους αριθμούς π2+2kπ\frac{\pi}{2} + 2k\pi: τότε ο pp θα ήταν ακέραιο πολλαπλάσιο του 2π2\pi, πράγμα αδύνατο μεταξύ 00 και 2π2\pi. Με άλλα λόγια, δύο διαδοχικά μέγιστα του ημιτόνου απέχουν ακριβώς 2π2\pi.

  3. cos⁡p=cos⁡0=1→p=2kπ\cos p = \cos 0 = 1 \rightarrow p = 2k\pi

    Για το συνημίτονο συλλογιζόμαστε ομοίως στο x=0x = 0: μια περίοδος pp θα έδινε cos⁡p=cos⁡0=1\cos p = \cos 0 = 1, και το συνημίτονο παίρνει την τιμή 11 μόνο στα ακέραια πολλαπλάσια του 2π2\pi.

Από το λήμμα που προηγήθηκε, οι περίοδοι του ημιτόνου και του συνημιτόνου είναι ακριβώς οι αριθμοί 2kπ2k\pi με kk φυσικό.

Το συνημίτονο ως μετατοπισμένο ημίτονο

Η γραφική παράσταση του συνημιτόνου δεν απαιτεί νέα κατασκευή, γιατί είναι εκείνη του ημιτόνου μετατοπισμένη.

ΘεώρημαΤο συνημίτονο είναι μετατοπισμένο ημίτονο

Για κάθε πραγματικό xx ισχύει cos⁡x=sin⁡(x+π2)\cos x = \sin \left( x + \frac{\pi}{2} \right). Κατά συνέπεια, η γραφική παράσταση της y=cos⁡xy = \cos x είναι εκείνη του ημιτόνου μετατοπισμένη κατά π2\frac{\pi}{2} μονάδες προς τα αριστερά.

Συνδυάζουμε τις συμμετρίες των συμπληρωματικών και των παραπληρωματικών γωνιών, και έπειτα το θεώρημα των μετασχηματισμών του μαθήματος του πρώτου κύκλου μαθημάτων για τις πράξεις συναρτήσεων.

Απόδειξη

  1. cos⁡x=sin⁡(π2−x)\cos x = \dato{c}{\sin \left( \frac{\pi}{2} - x \right)}

    Από τη συμμετρία των συμπληρωματικών γωνιών, το συνημίτονο του xx είναι το ημίτονο του π2−x\frac{\pi}{2} - x.

  2. cos⁡x=sin⁡(π−(π2−x))=sin⁡(x+π2)\cos x = \sin \left( \resaltar{\pi - \left( \frac{\pi}{2} - x \right)} \right) = \dato{t}{\sin \left( \resaltar{x + \frac{\pi}{2}} \right)}

    Από τη συμμετρία των παραπληρωματικών γωνιών, sin⁡(π−u)=sin⁡u\sin(\pi - u) = \sin u· με u=π2−xu = \frac{\pi}{2} - x, η γωνία π−u\pi - u είναι η π2+x\frac{\pi}{2} + x.

  3. y=sin⁡(x−(−π2))y = \sin \left( x - \left( -\frac{\pi}{2} \right) \right)

    Από το θεώρημα των μετασχηματισμών, η γραφική παράσταση της y=f(x−h)y = f(x - h) είναι εκείνη της ff μετατοπισμένη κατά hh μονάδες σε οριζόντια διεύθυνση. Εδώ η ff είναι το ημίτονο και h=−π2h = -\frac{\pi}{2}: κάθε σημείο της γραφικής παράστασης του ημιτόνου μετατοπίζεται κατά π2\frac{\pi}{2} προς τα αριστερά. Το μέγιστο από το (π2,1)\left( \frac{\pi}{2}, 1 \right) μεταφέρεται στο (0,1)(0, 1).

  4. cos⁡(−x)=cos⁡x,cos⁡0=1,cos⁡π=−1\cos(-x) = \cos x, \quad \cos 0 = 1, \quad \cos \pi = -1

    Στη μετατοπισμένη γραφική παράσταση διαβάζονται οι ιδιότητες του συνημιτόνου: είναι συμμετρική ως προς τον κατακόρυφο άξονα, επειδή το συνημίτονο είναι άρτιο, τέμνει τον οριζόντιο άξονα στους αριθμούς π2+kπ\frac{\pi}{2} + k\pi, και παίρνει το μέγιστο 11 στα άρτια πολλαπλάσια του π\pi και το ελάχιστο −1-1 στα περιττά.