Μετάβαση στο περιεχόμενο
Topos Uranos
Ελληνικά

Οι αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις

Περίληψη

Το μάθημα αυτό κατασκευάζει τις αντίστροφες του ημιτόνου, του συνημιτόνου και της εφαπτομένης. Επειδή οι συναρτήσεις αυτές είναι περιοδικές, δεν είναι ένα προς ένα, και για να αντιστραφούν πρέπει να περιοριστούν σε ένα διάστημα στο οποίο παίρνουν κάθε τιμή μία μόνο φορά: το ημίτονο στο [−π2,π2]\icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}, το συνημίτονο στο [0,π]\icc{0}{\pi} και η εφαπτομένη στο (−π2,π2)\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}. Συνάγει από το αξίωμα της διαδρομής κατά μήκος τόξου, το οποίο λέει ότι η τετμημένη του σημείου που διατρέχεται φθίνει γνησίως σε όλη την πρώτη μισή στροφή, ότι το συνημίτονο φθίνει γνησίως στο [0,π]\icc{0}{\pi}· από αυτό και από τις συμμετρίες αποδεικνύει ότι το ημίτονο και η εφαπτομένη αυξάνουν γνησίως στα διαστήματά τους και ότι οι τρεις περιορισμοί είναι αμφιμονοσήμαντοι· ορίζει το τοξημίτονο, το τοξοσυνημίτονο και την τοξεφαπτομένη και λαμβάνει τις γραφικές τους παραστάσεις ως ανακλάσεις ως προς την ευθεία y=xy = x. Στη συνέχεια αποδεικνύει τις ταυτότητες που τις συνδέουν, διακρίνει προσεκτικά την sin⁡(arcsin⁡x)=x\sin(\arcsin x) = x, που ισχύει πάντα, από την arcsin⁡(sin⁡x)=x\arcsin(\sin x) = x, που ισχύει μόνο στο κύριο διάστημα, και λύνει τις εξισώσεις sin⁡x=c\sin x = c, cos⁡x=c\cos x = c και tan⁡x=c\tan x = c σε μια πλήρη στροφή.

Μαθησιακοί στόχοι

  1. Να συνάγει από το αξίωμα της διαδρομής τη γνήσια μονοτονία του συνημιτόνου και του ημιτόνου στα κύρια διαστήματά τους, να αποδεικνύει με αυτήν τη μονοτονία της εφαπτομένης και να ορίζει τις τρεις αντίστροφες με τα πεδία ορισμού και τα σύνολα τιμών τους.
  2. Να κατασκευάζει τις γραφικές παραστάσεις του τοξημιτόνου, του τοξοσυνημιτόνου και της τοξεφαπτομένης ως ανακλάσεις ως προς την ευθεία y=xy = x και να υπολογίζει τις τιμές τους στα χαρακτηριστικά σημεία.
  3. Να αποδεικνύει τις ταυτότητες σύνθεσης, συμμετρίας και συμπληρωματικών γωνιών των αντίστροφων συναρτήσεων και να απλοποιεί παραστάσεις που συνδυάζουν τριγωνομετρικές συναρτήσεις με τις αντίστροφές τους.
  4. Να λύνει τις στοιχειώδεις τριγωνομετρικές εξισώσεις στο διάστημα [0,2π)\ico{0}{2\pi} με τις αντίστροφες συναρτήσεις και τις συμμετρίες του μοναδιαίου κύκλου.

Ο περιορισμός των τριγωνομετρικών συναρτήσεων

Σύμφωνα με το μάθημα του πρώτου κύκλου μαθημάτων για τις πράξεις συναρτήσεων, μια συνάρτηση έχει αντίστροφη αν και μόνο αν είναι αμφιμονοσήμαντη, και τότε η γραφική παράσταση της αντίστροφης είναι η ανάκλαση της δικής της ως προς την ευθεία y=xy = x. Ωστόσο, οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις που μελετήθηκαν στο μάθημα για τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις και τις γραφικές τους παραστάσεις δεν είναι ένα προς ένα: το ημίτονο και το συνημίτονο έχουν περίοδο 2π2\pi και η εφαπτομένη περίοδο π\pi, ώστε κάθε τιμή επαναλαμβάνεται άπειρες φορές. Επιπλέον, μέσα σε μία και την ίδια περίοδο οι τιμές επαναλαμβάνονται: από τη συμμετρία των παραπληρωματικών γωνιών, που αποδείχθηκε στο μάθημα για τους τριγωνομετρικούς αριθμούς, ισχύει sin⁡(π−x)=sin⁡x\sin(\pi - x) = \sin x. Αν είναι έτσι, για να αντιστραφούν αυτές οι συναρτήσεις πρέπει να περιοριστούν σε ένα διάστημα στο οποίο είναι ένα προς ένα και στο οποίο παίρνουν όλες τις τιμές τους. Επιλέγονται διαστήματα που περιέχουν τις οξείες γωνίες και στα οποία η συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη.

ΘεώρημαΜονοτονία στα κύρια διαστήματα

Το συνημίτονο είναι γνησίως φθίνουσα συνάρτηση στο [0,π]\icc{0}{\pi}· το ημίτονο είναι γνησίως αύξουσα στο [−π2,π2]\icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}} και η εφαπτομένη είναι γνησίως αύξουσα στο (−π2,π2)\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}.

Χρησιμοποιείται ο ορισμός του ημιτόνου και του συνημιτόνου μέσω του σημείου P(θ)=(cos⁡θ,sin⁡θ)P(\theta) = \left( \cos \theta, \sin \theta \right) του μοναδιαίου κύκλου, από το μάθημα για τους τριγωνομετρικούς αριθμούς, και το αξίωμα της διαδρομής κατά μήκος τόξου, που έγινε δεκτό στο μάθημα για τις γωνίες και τη μέτρησή τους. Η μονοτονία του συνημιτόνου είναι η μετάφραση της ιδιότητας της μισής στροφής αυτού του αξιώματος· του ημιτόνου και της εφαπτομένης αποδεικνύονται με βάση αυτήν.

Απόδειξη

  1. 0≤α<β≤π0 \leq \alpha < \beta \leq \pi

    Έστω α\alpha και β\beta με 0≤α<β≤π0 \leq \alpha < \beta \leq \pi. Τα σημεία P(α)P(\alpha) και P(β)P(\beta) είναι τα άκρα των τόξων με μήκη α\alpha και β\beta που ξεκινούν από το (1,0)(1, 0) με αντίθετη φορά των δεικτών του ρολογιού, και βρίσκονται και τα δύο στην πρώτη μισή στροφή της διαδρομής, η οποία καλύπτει το άνω ημικύκλιο.

  2. 0≤α<β≤π→cos⁡α>cos⁡β\dato{c}{0 \leq \alpha < \beta \leq \pi \rightarrow \cos \alpha > \cos \beta}

    Από την ιδιότητα της μισής στροφής του αξιώματος, κατά την πρώτη μισή στροφή η τετμημένη του σημείου που διατρέχεται φθίνει γνησίως: η τετμημένη του P(α)P(\alpha) είναι μεγαλύτερη από εκείνη του P(β)P(\beta). Αφού το συνημίτονο είναι, εξ ορισμού, η τετμημένη του P(θ)P(\theta), η ανισότητα μεταξύ των τετμημένων είναι ανισότητα μεταξύ συνημιτόνων.

  3. sin⁡α=cos⁡(π2−α)<cos⁡(π2−β)=sin⁡β\sin \alpha = \resaltar{\cos\left( \frac{\pi}{2} - \alpha \right)} < \resaltar{\cos\left( \frac{\pi}{2} - \beta \right)} = \dato{s}{\sin \beta}

    Έστω τώρα −π2≤α<β≤π2-\frac{\pi}{2} \leq \alpha < \beta \leq \frac{\pi}{2}. Οι συμπληρωματικές τους ικανοποιούν την π2−β<π2−α\frac{\pi}{2} - \beta < \frac{\pi}{2} - \alpha και βρίσκονται στο [0,π]\icc{0}{\pi}· από τη συμμετρία των συμπληρωματικών γωνιών, το ημίτονο μιας γωνίας είναι το συνημίτονο της συμπληρωματικής της, και αφού το συνημίτονο φθίνει στο [0,π]\icc{0}{\pi}, το ημίτονο αυξάνει στο [−π2,π2]\icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}.

  4. tan⁡α=sin⁡αcos⁡α<sin⁡βcos⁡α<sin⁡βcos⁡β=tan⁡β\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} < \frac{\resaltar{\sin \beta}}{\cos \alpha} < \frac{\sin \beta}{\resaltar{\cos \beta}} = \dato{t}{\tan \beta}

    Για την εφαπτομένη, έστω 0≤α<β<π20 \leq \alpha < \beta < \frac{\pi}{2}. Από τα βήματα που προηγήθηκαν, 0≤sin⁡α<sin⁡β0 \leq \sin \alpha < \sin \beta και cos⁡α>cos⁡β>cos⁡π2=0\cos \alpha > \cos \beta > \cos \frac{\pi}{2} = 0. Όταν αυξάνεται πρώτα ο αριθμητής και μειώνεται έπειτα ο παρονομαστής, θετικοί και οι δύο, το πηλίκο αυξάνεται.

  5. tan⁡α=−tan⁡(−α)<−tan⁡(−β)=tan⁡β\tan \alpha = \resaltar{-\tan(-\alpha)} < \resaltar{-\tan(-\beta)} = \tan \beta

    Η εφαπτομένη είναι περιττή, γιατί είναι το πηλίκο του ημιτόνου, που είναι περιττό, διά του συνημιτόνου, που είναι άρτιο. Αν −π2<α<β≤0-\frac{\pi}{2} < \alpha < \beta \leq 0, οι αντίθετοι ικανοποιούν την 0≤−β<−α0 \leq -\beta < -\alpha, και με την αλλαγή προσήμου αντιστρέφεται η ανισότητα του αμέσως πριν βήματος· αν α<0<β\alpha < 0 < \beta, η εφαπτομένη είναι αρνητική στο α\alpha και θετική στο β\beta. Άρα η εφαπτομένη αυξάνει σε όλο το διάστημα (−π2,π2)\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}.

Οι αμφιμονοσήμαντοι περιορισμοί

Κάθε γνησίως μονότονη συνάρτηση είναι ένα προς ένα, σύμφωνα με το θεώρημα των μονότονων συναρτήσεων του μαθήματος για τις πράξεις συναρτήσεων. Μένει να δειχθεί ότι κάθε περιορισμός παίρνει όλες τις τιμές του συνόλου τιμών του.

ΘεώρημαΑμφιμονοσήμαντοι περιορισμοί

Το ημίτονο, περιορισμένο στο [−π2,π2]\icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}, είναι αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία επί του [−1,1]\icc{-1}{1}· το συνημίτονο, περιορισμένο στο [0,π]\icc{0}{\pi}, είναι αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία επί του [−1,1]\icc{-1}{1}, και η εφαπτομένη, περιορισμένη στο (−π2,π2)\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}, είναι αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία επί του R\mathbb{R}.

Το ότι είναι ένα προς ένα έπεται από το παραπάνω θεώρημα. Το ότι κάθε περιορισμός παίρνει όλες τις τιμές του έπεται από την ιδιότητα της κάλυψης του αξιώματος της διαδρομής, σύμφωνα με την οποία κάθε σημείο του μοναδιαίου κύκλου είναι το άκρο ενός τόξου που ξεκινά από το (1,0)(1, 0), και από το λήμμα σύμφωνα με το οποίο μια στροφή δεν επαναλαμβάνει σημεία, αμφότερα από το μάθημα για τις γωνίες και τη μέτρησή τους.

Απόδειξη

  1. 0≤α<β≤π→cos⁡α≠cos⁡β0 \leq \alpha < \beta \leq \pi \rightarrow \resaltar{\cos \alpha \neq \cos \beta}

    Από το παραπάνω θεώρημα, οι τρεις περιορισμοί είναι γνησίως μονότονοι, και κάθε γνησίως μονότονη συνάρτηση είναι ένα προς ένα: δύο διαφορετικές γωνίες του άνω ημικυκλίου έχουν διαφορετικές τετμημένες.

  2. Q=(c,1−c2),c2+(1−c2)2=1→Q=P(θ)Q = \left( c, \sqrt{1 - c^2} \right), \quad \resaltar{c^2 + \left( \sqrt{1 - c^2} \right)^2 = 1} \rightarrow \dato{q}{Q = P(\theta)}

    Έστω cc με −1≤c≤1-1 \leq c \leq 1. Το σημείο QQ που ακολουθεί βρίσκεται στον μοναδιαίο κύκλο· από την κάλυψη και επειδή μια στροφή δεν επαναλαμβάνει σημεία, είναι το P(θ)P(\theta) για ένα μοναδικό θ\theta στο [0,2π)\ico{0}{2\pi}.

  3. sin⁡θ=1−c2≥0→θ∈[0,π],cos⁡θ=c\sin \theta = \sqrt{1 - c^2} \geq 0 \rightarrow \theta \in \icc{0}{\pi}, \quad \dato{c}{\cos \theta = c}

    Η τεταγμένη του QQ δεν είναι αρνητική, και το ημίτονο είναι αρνητικό στο (π,2π)\ioo{\pi}{2\pi}, σύμφωνα με τα πρόσημα ανά τεταρτημόριο του μαθήματος για τους τριγωνομετρικούς αριθμούς: αυτό το θ\theta βρίσκεται στο [0,π]\icc{0}{\pi}, και το συνημίτονό του είναι cc. Το περιορισμένο συνημίτονο παίρνει όλες τις τιμές του [−1,1]\icc{-1}{1}.

  4. sin⁡(π2−θ)=cos⁡θ=c,π2−θ∈[−π2,π2]\sin\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \resaltar{\cos \theta} = \resaltar{c}, \quad \frac{\pi}{2} - \theta \in \icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}

    Από τη συμμετρία των συμπληρωματικών γωνιών, το ημίτονο της π2−θ\frac{\pi}{2} - \theta είναι το συνημίτονο της θ\theta, και όταν το θ\theta διατρέχει το [0,π]\icc{0}{\pi}, η συμπληρωματική του διατρέχει το [−π2,π2]\icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}: και το περιορισμένο ημίτονο παίρνει όλες τις τιμές του [−1,1]\icc{-1}{1}.

  5. tan⁡x=m,x−kπ∈(−π2,π2),tan⁡(x−kπ)=m\tan x = m, \quad x - k\pi \in \ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}, \quad \tan(x - k\pi) = m

    Για την εφαπτομένη, το θεώρημα των ιδιοτήτων της, από το μάθημα για τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις και τις γραφικές τους παραστάσεις, λέει ότι το σύνολο τιμών της είναι το R\mathbb{R}: δοθέντος του mm, η ευθεία με κλίση mm που διέρχεται από την αρχή τέμνει το δεξί ημικύκλιο σε ένα σημείο P(x)P(x) με το xx μεταξύ −π2-\frac{\pi}{2} και π2\frac{\pi}{2}. Φαίνεται και από την περιοδικότητα: αν tan⁡x=m\tan x = m, αφαιρώντας από το xx ένα ακέραιο πολλαπλάσιο του π\pi, όπως στην αναγωγή στον πρώτο κύκλο, προκύπτει ένας αριθμός αυτού του διαστήματος με την ίδια εφαπτομένη.