Επίλυση τριγώνων: νόμος των ημιτόνων και νόμος των συνημιτόνων

Συμβολισμός και προαπαιτούμενα

Στο μάθημα για τους τριγωνομετρικούς αριθμούς το ημίτονο, το συνημίτονο και η εφαπτομένη μιας οξείας γωνίας ορίστηκαν ως λόγοι πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου, και επεκτάθηκαν έπειτα σε κάθε γωνία μέσω του μοναδιαίου κύκλου. Ένα ορθογώνιο τρίγωνο επιλύεται, επομένως, με αυτούς τους αριθμούς και με το Πυθαγόρειο θεώρημα. Ωστόσο, τα περισσότερα τρίγωνα που εμφανίζονται στη γεωμετρία και στη μέτρηση του εδάφους δεν έχουν καμία ορθή γωνία· σκοπός αυτού του μαθήματος είναι να τα επιλύσει όλα.

Σε ένα τρίγωνο με κορυφές $A$, $B$ και $C$, το ίδιο κεφαλαίο γράμμα δηλώνει την κορυφή και το μέτρο της εσωτερικής γωνίας του τριγώνου σε αυτή την κορυφή, και το αντίστοιχο πεζό γράμμα δηλώνει το μήκος της απέναντι πλευράς: το $a$ είναι το μήκος της πλευράς $BC$, το $b$ το μήκος της πλευράς $CA$ και το $c$ το μήκος της πλευράς $AB$. Το εμβαδόν του τριγώνου συμβολίζεται με $S$, και η απόσταση δύο σημείων $P$ και $Q$ με $\operatorname{d}(P, Q)$. Όπως συνηθίζεται στην επίλυση τριγώνων, οι γωνίες εκφράζονται σε μοίρες. Ωστόσο, οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις ορίζονται για πραγματικούς αριθμούς, που είναι μέτρα σε ακτίνια· σύμφωνα με τον κανόνα μετατροπής του μαθήματος για τις γωνίες και τη μέτρησή τους, μια γωνία $g$ μοιρών έχει μέτρο $\frac{\pi g}{180}$ ακτίνια, και υιοθετείται η εξής σύμβαση: το $\sin g^\circ$ σημαίνει $\sin \frac{\pi g}{180}$, και το ίδιο ισχύει για τις άλλες συναρτήσεις· για παράδειγμα, $\cos 60^\circ = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$. Με τον ίδιο τρόπο, το τοξοσυνημίτονο, που παίρνει τιμές στο $\icc{0}{\pi}$, επιστρέφει το μέτρο μιας γωνίας σε ακτίνια, το οποίο εκφράζεται σε μοίρες: η ισότητα $\arccos \left( -\frac{1}{2} \right) = 120^\circ$ σημαίνει ότι $\arccos \left( -\frac{1}{2} \right) = \frac{2\pi}{3}$, δηλαδή το μέτρο σε ακτίνια μιας γωνίας $120^\circ$. Με αυτή τη σύμβαση, ό,τι ακολουθεί ισχύει εξίσου σε ακτίνια, αν το $180^\circ$ αντικατασταθεί από το $\pi$. Δεχόμαστε, όπως στο μάθημα για τις γωνίες και τη μέτρησή τους, ένα γεγονός της στοιχειώδους γεωμετρίας που αυτός ο κύκλος μαθημάτων δεν αποδεικνύει, επειδή δεν αναπτύσσει τη συνθετική γεωμετρία: οι τρεις γωνίες ενός τριγώνου έχουν άθροισμα δύο ορθές.

Από αυτό έπεται ότι κάθε γωνία ενός τριγώνου βρίσκεται γνησίως μεταξύ $0^\circ$ και $180^\circ$, και ότι το πολύ μία από αυτές είναι ορθή ή αμβλεία. Από τα προηγούμενα μαθήματα αυτής της ενότητας χρησιμοποιούνται, επιπλέον, τα εξής γεγονότα:

• Το σημείο που βρίσκεται σε απόσταση $r$ από την αρχή των αξόνων, πάνω στην ημιευθεία που σχηματίζει τη γωνία $\theta$ με τον θετικό ημιάξονα των τετμημένων, έχει συντεταγμένες $\left( r \cos \theta, r \sin \theta \right)$: είναι το σημείο του μοναδιαίου κύκλου που αντιστοιχεί στη $\theta$, πολλαπλασιασμένο επί $r$.
• Η βασική τριγωνομετρική ταυτότητα, $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$, και οι συμμετρίες της παραπληρωματικής γωνίας, $\sin \left( 180^\circ - \theta \right) = \sin \theta$ και $\cos \left( 180^\circ - \theta \right) = -\cos \theta$.
• Αν $0^\circ < \theta < 180^\circ$, το ημίτονο της $\theta$ είναι θετικό· το συνημίτονο είναι θετικό αν η $\theta$ είναι οξεία, μηδέν αν είναι ορθή και αρνητικό αν είναι αμβλεία.
• Το συνημίτονο είναι γνησίως φθίνον μεταξύ $0^\circ$ και $180^\circ$ και παίρνει σε αυτό το διάστημα κάθε τιμή μεταξύ $-1$ και $1$ ακριβώς μία φορά· γι’ αυτό, σύμφωνα με το μάθημα για τις αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις, μια γωνία τριγώνου προσδιορίζεται από το συνημίτονό της, $\theta = \arccos x$.

Αντίθετα, το ημίτονο δεν προσδιορίζει μια γωνία τριγώνου: οι γωνίες $\theta$ και $180^\circ - \theta$ έχουν το ίδιο ημίτονο, και η συνάρτηση τοξημίτονο επιστρέφει μόνο την οξεία. Αυτή η ασυμμετρία μεταξύ ημιτόνου και συνημιτόνου θα εξηγήσει, στην προτελευταία παράγραφο, γιατί ορισμένα δεδομένα επιτρέπουν δύο διαφορετικά τρίγωνα.