Dreiecksberechnung: Sinussatz und Kosinussatz

Bezeichnungen und bekannte Tatsachen

In der Lektion über die trigonometrischen Verhältnisse wurden Sinus, Kosinus und Tangens eines spitzen Winkels als Quotienten von Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks definiert und danach mithilfe des Einheitskreises auf jeden Winkel ausgedehnt. Ein rechtwinkliges Dreieck wird daher mit diesen Verhältnissen und mit dem Satz des Pythagoras berechnet. Nun haben die meisten Dreiecke, die in der Geometrie und in der Landvermessung vorkommen, keinen rechten Winkel; Ziel dieser Lektion ist es, sie alle zu berechnen.

In einem Dreieck mit den Ecken $A$, $B$ und $C$ bezeichnet derselbe Großbuchstabe die Ecke und das Maß des Innenwinkels des Dreiecks an dieser Ecke, und der entsprechende Kleinbuchstabe bezeichnet die Länge der gegenüberliegenden Seite: $a$ ist die Länge der Seite $BC$, $b$ die der Seite $CA$ und $c$ die der Seite $AB$. Der Flächeninhalt des Dreiecks wird mit $S$ bezeichnet, der Abstand zweier Punkte $P$ und $Q$ mit $\operatorname{d}(P, Q)$. Wie bei der Dreiecksberechnung üblich, werden die Winkel in Grad angegeben. Nun sind die trigonometrischen Funktionen für reelle Zahlen definiert, die Maße im Bogenmaß sind; nach der Umrechnungsregel der Lektion über Winkel und ihre Messung misst ein Winkel von $g$ Grad $\frac{\pi g}{180}$ Radiant, und man vereinbart Folgendes: $\sin g^\circ$ bezeichnet $\sin \frac{\pi g}{180}$, und ebenso bei den anderen Funktionen; zum Beispiel $\cos 60^\circ = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$. Ebenso liefert der Arkuskosinus, der Werte in $\icc{0}{\pi}$ annimmt, das Bogenmaß eines Winkels, das in Grad angegeben wird: Die Gleichung $\arccos \left( -\frac{1}{2} \right) = 120^\circ$ bedeutet, dass $\arccos \left( -\frac{1}{2} \right) = \frac{2\pi}{3}$ gilt, das Bogenmaß eines Winkels von $120^\circ$. Mit dieser Vereinbarung gilt alles Folgende ebenso im Bogenmaß, wenn man $180^\circ$ durch $\pi$ ersetzt. Wie in der Lektion über Winkel und ihre Messung wird eine Tatsache der elementaren Geometrie vorausgesetzt, die dieser Kurs nicht beweist, weil er die synthetische Geometrie nicht entwickelt: Die drei Winkel eines Dreiecks ergeben zusammen zwei rechte Winkel.

Daraus folgt, dass jeder Winkel eines Dreiecks echt zwischen $0^\circ$ und $180^\circ$ liegt und dass höchstens einer von ihnen ein rechter oder ein stumpfer Winkel ist. Aus den vorangehenden Lektionen dieser Einheit werden außerdem die folgenden Tatsachen verwendet:

• Der Punkt im Abstand $r$ vom Ursprung, auf dem Strahl, der mit der positiven waagerechten Halbachse den Winkel $\theta$ bildet, hat die Koordinaten $\left( r \cos \theta, r \sin \theta \right)$: Er ist der zu $\theta$ gehörige Punkt des Einheitskreises, multipliziert mit $r$.
• Der trigonometrische Pythagoras, $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$, und die Symmetrien des Supplementwinkels, $\sin \left( 180^\circ - \theta \right) = \sin \theta$ und $\cos \left( 180^\circ - \theta \right) = -\cos \theta$.
• Gilt $0^\circ < \theta < 180^\circ$, so ist der Sinus von $\theta$ positiv; der Kosinus ist positiv, wenn $\theta$ spitz ist, null, wenn er ein rechter Winkel ist, und negativ, wenn er stumpf ist.
• Der Kosinus ist zwischen $0^\circ$ und $180^\circ$ streng monoton fallend und nimmt in diesem Intervall jeden Wert zwischen $-1$ und $1$ genau einmal an; deshalb ist nach der Lektion über die Arkusfunktionen ein Winkel eines Dreiecks durch seinen Kosinus bestimmt, $\theta = \arccos x$.

Der Sinus hingegen bestimmt einen Winkel eines Dreiecks nicht: Die Winkel $\theta$ und $180^\circ - \theta$ haben denselben Sinus, und der Arkussinus liefert nur den spitzen. Diese Asymmetrie zwischen Sinus und Kosinus wird im vorletzten Teil der Lektion erklären, warum gewisse Angaben zwei verschiedene Dreiecke zulassen.