Zum Inhalt springen
Topos Uranos
Deutsch

Die Arkusfunktionen

Zusammenfassung

Diese Lektion konstruiert die Umkehrfunktionen des Sinus, des Kosinus und des Tangens. Da diese Funktionen periodisch sind, sind sie nicht injektiv, und um sie umzukehren, muss man sie auf ein Intervall einschränken, auf dem sie jeden Wert nur einmal annehmen: den Sinus auf [−π2,π2]\icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}, den Kosinus auf [0,π]\icc{0}{\pi} und den Tangens auf (−π2,π2)\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}. Aus dem Axiom des Durchlaufens nach Bogenlänge, das besagt, dass die Abszisse des durchlaufenen Punktes entlang der ersten halben Drehung streng fällt, leitet sie ab, dass der Kosinus auf [0,π]\icc{0}{\pi} streng monoton fallend ist; daraus und aus den Symmetrien beweist sie, dass Sinus und Tangens auf ihren Intervallen streng monoton wachsend sind und dass die drei Einschränkungen bijektiv sind; sie definiert den Arkussinus, den Arkuskosinus und den Arkustangens und gewinnt ihre Graphen als Spiegelbilder an der Geraden y=xy = x. Anschließend beweist sie die Identitäten, die sie verbinden, unterscheidet sorgfältig sin⁡(arcsin⁡x)=x\sin(\arcsin x) = x, das immer gilt, von arcsin⁡(sin⁡x)=x\arcsin(\sin x) = x, das nur im Hauptintervall gilt, und löst die Gleichungen sin⁡x=c\sin x = c, cos⁡x=c\cos x = c und tan⁡x=c\tan x = c in einer vollen Umdrehung.

Lernziele

  1. Aus dem Axiom des Durchlaufens die strenge Monotonie des Kosinus und des Sinus auf ihren Hauptintervallen ableiten, mit ihr die des Tangens beweisen und die drei Umkehrfunktionen mit ihren Definitionsmengen und Wertemengen definieren.
  2. Die Graphen des Arkussinus, des Arkuskosinus und des Arkustangens als Spiegelbilder an der Geraden y=xy = x konstruieren und ihre Werte an den besonderen Stellen berechnen.
  3. Die Verkettungs-, Symmetrie- und Komplementwinkelidentitäten der Umkehrfunktionen beweisen und Ausdrücke vereinfachen, die trigonometrische Funktionen mit ihren Umkehrfunktionen verbinden.
  4. Die elementaren trigonometrischen Gleichungen im Intervall [0,2π)\ico{0}{2\pi} mithilfe der Umkehrfunktionen und der Symmetrien des Einheitskreises lösen.

Die Einschränkung der trigonometrischen Funktionen

Nach der Lektion von Kurs I über die Funktionsverknüpfung hat eine Funktion genau dann eine Umkehrfunktion, wenn sie bijektiv ist, und dann ist der Graph der Umkehrfunktion das Spiegelbild ihres eigenen Graphen an der Geraden y=xy = x. Nun sind die trigonometrischen Funktionen, die in der Lektion über die trigonometrischen Funktionen und ihre Graphen untersucht wurden, nicht injektiv: Sinus und Kosinus haben die Periode 2π2\pi und der Tangens die Periode π\pi, sodass sich jeder Wert unendlich oft wiederholt. Mehr noch, innerhalb einer einzigen Periode wiederholen sich die Werte: Nach der Symmetrie der Supplementwinkel, die in der Lektion über die trigonometrischen Verhältnisse bewiesen wurde, gilt sin⁡(π−x)=sin⁡x\sin(\pi - x) = \sin x. Wenn dem so ist, muss man diese Funktionen, um sie umzukehren, auf ein Intervall einschränken, auf dem sie injektiv sind und alle ihre Werte annehmen. Man wählt Intervalle, die die spitzen Winkel enthalten und auf denen die Funktion streng monoton ist.

SatzMonotonie auf den Hauptintervallen

Der Kosinus ist auf [0,π]\icc{0}{\pi} streng monoton fallend; der Sinus ist auf [−π2,π2]\icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}} streng monoton wachsend, und der Tangens ist auf (−π2,π2)\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}} streng monoton wachsend.

Man verwendet die Definition von Sinus und Kosinus mithilfe des Punktes P(θ)=(cos⁡θ,sin⁡θ)P(\theta) = \left( \cos \theta, \sin \theta \right) des Einheitskreises aus der Lektion über die trigonometrischen Verhältnisse sowie das Axiom des Durchlaufens nach Bogenlänge, das in der Lektion über Winkel und ihre Messung vorausgesetzt wurde. Die Monotonie des Kosinus ist die Übersetzung der Eigenschaft der halben Drehung dieses Axioms; die des Sinus und die des Tangens werden aus ihr bewiesen.

Beweis

  1. 0≤α<β≤π0 \leq \alpha < \beta \leq \pi

    Seien α\alpha und β\beta mit 0≤α<β≤π0 \leq \alpha < \beta \leq \pi. Die Punkte P(α)P(\alpha) und P(β)P(\beta) sind die Endpunkte der Bögen der Längen α\alpha und β\beta, die von (1,0)(1, 0) aus gegen den Uhrzeigersinn ausgehen, und beide liegen auf der ersten halben Drehung des Durchlaufens, die den oberen Halbkreis überdeckt.

  2. 0≤α<β≤π→cos⁡α>cos⁡β\dato{c}{0 \leq \alpha < \beta \leq \pi \rightarrow \cos \alpha > \cos \beta}

    Nach der Eigenschaft der halben Drehung des Axioms fällt während der ersten halben Drehung die Abszisse des durchlaufenen Punktes streng: Die von P(α)P(\alpha) ist größer als die von P(β)P(\beta). Da der Kosinus nach Definition die Abszisse von P(θ)P(\theta) ist, ist die Ungleichung zwischen den Abszissen eine Ungleichung zwischen Kosinuswerten.

  3. sin⁡α=cos⁡(π2−α)<cos⁡(π2−β)=sin⁡β\sin \alpha = \resaltar{\cos\left( \frac{\pi}{2} - \alpha \right)} < \resaltar{\cos\left( \frac{\pi}{2} - \beta \right)} = \dato{s}{\sin \beta}

    Seien nun −π2≤α<β≤π2-\frac{\pi}{2} \leq \alpha < \beta \leq \frac{\pi}{2}. Ihre Komplementwinkel erfüllen π2−β<π2−α\frac{\pi}{2} - \beta < \frac{\pi}{2} - \alpha und liegen in [0,π]\icc{0}{\pi}; nach der Symmetrie der Komplementwinkel ist der Sinus eines Winkels der Kosinus seines Komplementwinkels, und da der Kosinus auf [0,π]\icc{0}{\pi} fällt, wächst der Sinus auf [−π2,π2]\icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}.

  4. tan⁡α=sin⁡αcos⁡α<sin⁡βcos⁡α<sin⁡βcos⁡β=tan⁡β\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} < \frac{\resaltar{\sin \beta}}{\cos \alpha} < \frac{\sin \beta}{\resaltar{\cos \beta}} = \dato{t}{\tan \beta}

    Für den Tangens seien 0≤α<β<π20 \leq \alpha < \beta < \frac{\pi}{2}. Nach den vorangehenden Schritten gilt 0≤sin⁡α<sin⁡β0 \leq \sin \alpha < \sin \beta und cos⁡α>cos⁡β>cos⁡π2=0\cos \alpha > \cos \beta > \cos \frac{\pi}{2} = 0. Wird zuerst der Zähler vergrößert und dann der Nenner verkleinert, beide positiv, so wächst der Quotient.

  5. tan⁡α=−tan⁡(−α)<−tan⁡(−β)=tan⁡β\tan \alpha = \resaltar{-\tan(-\alpha)} < \resaltar{-\tan(-\beta)} = \tan \beta

    Der Tangens ist ungerade, denn er ist der Quotient aus dem Sinus, der ungerade ist, und dem Kosinus, der gerade ist. Ist −π2<α<β≤0-\frac{\pi}{2} < \alpha < \beta \leq 0, so erfüllen die Gegenzahlen 0≤−β<−α0 \leq -\beta < -\alpha, und der Vorzeichenwechsel kehrt die Ungleichung des vorangehenden Schrittes um; ist α<0<β\alpha < 0 < \beta, so ist der Tangens in α\alpha negativ und in β\beta positiv. Folglich wächst der Tangens auf dem ganzen Intervall (−π2,π2)\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}.

Die bijektiven Einschränkungen

Jede streng monotone Funktion ist injektiv, nach dem Satz über monotone Funktionen aus der Lektion über die Funktionsverknüpfung. Es bleibt zu zeigen, dass jede Einschränkung alle Werte ihrer Wertemenge annimmt.

SatzBijektive Einschränkungen

Der Sinus, eingeschränkt auf [−π2,π2]\icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}, ist eine Bijektion auf [−1,1]\icc{-1}{1}; der Kosinus, eingeschränkt auf [0,π]\icc{0}{\pi}, ist eine Bijektion auf [−1,1]\icc{-1}{1}, und der Tangens, eingeschränkt auf (−π2,π2)\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}, ist eine Bijektion auf R\mathbb{R}.

Die Injektivität folgt aus dem vorangehenden Satz. Dass jede Einschränkung alle ihre Werte annimmt, folgt aus der Eigenschaft der Überdeckung im Axiom des Durchlaufens, nach der jeder Punkt des Einheitskreises der Endpunkt eines Bogens ist, der von (1,0)(1, 0) ausgeht, und aus dem Lemma, nach dem eine Umdrehung keine Punkte wiederholt, beide aus der Lektion über Winkel und ihre Messung.

Beweis

  1. 0≤α<β≤π→cos⁡α≠cos⁡β0 \leq \alpha < \beta \leq \pi \rightarrow \resaltar{\cos \alpha \neq \cos \beta}

    Nach dem vorangehenden Satz sind die drei Einschränkungen streng monoton, und jede streng monotone Funktion ist injektiv: Zwei verschiedene Winkel des oberen Halbkreises haben verschiedene Abszissen.

  2. Q=(c,1−c2),c2+(1−c2)2=1→Q=P(θ)Q = \left( c, \sqrt{1 - c^2} \right), \quad \resaltar{c^2 + \left( \sqrt{1 - c^2} \right)^2 = 1} \rightarrow \dato{q}{Q = P(\theta)}

    Sei cc mit −1≤c≤1-1 \leq c \leq 1. Der folgende Punkt QQ liegt auf dem Einheitskreis; wegen der Überdeckung und weil eine Umdrehung keine Punkte wiederholt, ist er P(θ)P(\theta) für genau ein θ\theta in [0,2π)\ico{0}{2\pi}.

  3. sin⁡θ=1−c2≥0→θ∈[0,π],cos⁡θ=c\sin \theta = \sqrt{1 - c^2} \geq 0 \rightarrow \theta \in \icc{0}{\pi}, \quad \dato{c}{\cos \theta = c}

    Die Ordinate von QQ ist nicht negativ, und der Sinus ist auf (π,2π)\ioo{\pi}{2\pi} negativ, nach den Vorzeichen in den Quadranten aus der Lektion über die trigonometrischen Verhältnisse: Jenes θ\theta liegt in [0,π]\icc{0}{\pi}, und sein Kosinus ist cc. Der eingeschränkte Kosinus nimmt alle Werte von [−1,1]\icc{-1}{1} an.

  4. sin⁡(π2−θ)=cos⁡θ=c,π2−θ∈[−π2,π2]\sin\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \resaltar{\cos \theta} = \resaltar{c}, \quad \frac{\pi}{2} - \theta \in \icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}

    Nach der Symmetrie der Komplementwinkel ist der Sinus von π2−θ\frac{\pi}{2} - \theta der Kosinus von θ\theta, und wenn θ\theta das Intervall [0,π]\icc{0}{\pi} durchläuft, durchläuft sein Komplementwinkel [−π2,π2]\icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}: Auch der eingeschränkte Sinus nimmt alle Werte von [−1,1]\icc{-1}{1} an.

  5. tan⁡x=m,x−kπ∈(−π2,π2),tan⁡(x−kπ)=m\tan x = m, \quad x - k\pi \in \ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}, \quad \tan(x - k\pi) = m

    Für den Tangens besagt der Satz über seine Eigenschaften aus der Lektion über die trigonometrischen Funktionen und ihre Graphen, dass seine Wertemenge R\mathbb{R} ist: Zu gegebenem mm schneidet die Gerade der Steigung mm durch den Ursprung den rechten Halbkreis in einem Punkt P(x)P(x) mit xx zwischen −π2-\frac{\pi}{2} und π2\frac{\pi}{2}. Man sieht es auch an der Periodizität: Ist tan⁡x=m\tan x = m, so erhält man, wenn man von xx ein ganzzahliges Vielfaches von π\pi subtrahiert, wie bei der Reduktion auf die erste Umdrehung, eine Zahl dieses Intervalls mit demselben Tangens.