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Topos Uranos
Deutsch

Die trigonometrischen Funktionen und ihre Graphen

Zusammenfassung

Diese Lektion untersucht Sinus, Kosinus und Tangens als Funktionen einer reellen Variablen, gemessen im Bogenmaß. Sie bestimmt ihre Definitionsmengen, ihre Wertemengen, ihre Nullstellen, ihre Extremwerte und ihre Parität und beweist, dass 2π2\pi die kleinste positive Periode von Sinus und Kosinus ist und π\pi die des Tangens. Sie konstruiert den Graphen des Sinus, indem sie den Einheitskreis abrollt, gewinnt den des Kosinus durch eine Verschiebung und beschreibt mit Vorzeichentabellen die senkrechten Asymptoten des Tangens; daraus leitet sie die Graphen von Sekans, Kosekans und Kotangens her. Sie beweist durch einen Vergleich von Flächeninhalten die Ungleichung sin⁡x<x<tan⁡x\sin x < x < \tan x für 0<x<π20 < x < \frac{\pi}{2} und untersucht die Sinuskurven y=asin⁡(b(x−c))+dy = a \sin(b(x - c)) + d, mit denen sich periodische Vorgänge wie die Tageslänge, die Gezeiten oder die Bewegung eines Riesenrads modellieren lassen.

Lernziele

  1. Sinus, Kosinus und Tangens als Funktionen einer reellen Variablen definieren und ihre Wertemengen, ihre Nullstellen, ihre Extrema, ihre Parität und ihre kleinsten Perioden beweisen.
  2. Die Graphen der sechs trigonometrischen Funktionen aus dem Einheitskreis konstruieren und dabei die senkrechten Asymptoten mithilfe von Vorzeichentabellen beschreiben.
  3. Die Ungleichung sin⁡x<x<tan⁡x\sin x < x < \tan x für 0<x<π20 < x < \frac{\pi}{2} und die Schranke ∣sin⁡x∣≤∣x∣\abs{\sin x} \leq \abs{x} beweisen und sie zur Untersuchung von Funktionen und Gleichungen einsetzen.
  4. Amplitude, Periode, Phasenverschiebung und vertikale Verschiebung einer Sinuskurve als Transformationen des Graphen des Sinus deuten und Sinuskurven an periodische Vorgänge anpassen.

Sinus und Kosinus als Funktionen

In der Lektion über die trigonometrischen Verhältnisse wurden Sinus und Kosinus eines beliebigen Winkels als die Koordinaten des Punktes P(θ)P(\theta) definiert, in dem der Endschenkel des Winkels in Standardlage den Einheitskreis schneidet. Nun ist nach der Lektion über Winkel und ihre Messung jede reelle Zahl das Bogenmaß irgendeines orientierten Winkels, und zwei Winkel haben genau dann denselben Endschenkel, wenn sich ihre Maße um ein ganzzahliges Vielfaches von 2π2\pi unterscheiden. Ist dem so, so kann man Sinus und Kosinus als Funktionen auffassen, die auf ganz R\mathbb{R} definiert sind: Jeder reellen Zahl xx wird eine Koordinate des Punktes P(x)P(x) zugeordnet.

Für jede reelle Zahl xx sei P(x)P(x) der Punkt des Einheitskreises, der zum Winkel von xx Radiant in Standardlage gehört. Die Sinusfunktion ordnet xx die Ordinate von P(x)P(x) zu, die Kosinusfunktion seine Abszisse. Beide haben als Definitionsmenge die Menge aller reellen Zahlen.
P(x)=(cos⁡x,sin⁡x),x∈RP(x) = (\cos x, \sin x), \quad x \in \mathbb{R}

Die Variable wird stets im Bogenmaß gemessen und nicht in Grad. Die Wahl ist keine gleichgültige Konvention: Die Ergebnisse des zweiten Teils der Lektion, etwa sin⁡x<x\sin x < x für positives xx, vergleichen den Sinus mit der Variablen selbst, und dieser Vergleich ist nur sinnvoll, wenn xx die Länge des auf dem Einheitskreis durchlaufenen Bogens ist, also das, was ein Radiant misst.

SatzEigenschaften von Sinus und Kosinus

Die Wertemenge des Sinus und die des Kosinus ist das Intervall [−1,1]\icc{-1}{1}. Für jede reelle Zahl xx gelten sin⁡(x+2π)=sin⁡x\sin(x + 2\pi) = \sin x und cos⁡(x+2π)=cos⁡x\cos(x + 2\pi) = \cos x; der Sinus ist eine ungerade Funktion, der Kosinus eine gerade Funktion. Der Sinus verschwindet genau in den ganzzahligen Vielfachen von π\pi, nimmt den Wert 11 genau in den Zahlen π2+2kπ\frac{\pi}{2} + 2k\pi an und den Wert −1-1 genau in den Zahlen −π2+2kπ-\frac{\pi}{2} + 2k\pi, mit ganzzahligem kk. Der Kosinus verschwindet genau in den Zahlen π2+kπ\frac{\pi}{2} + k\pi, nimmt den Wert 11 genau in den Zahlen 2kπ2k\pi an und den Wert −1-1 genau in den Zahlen π+2kπ\pi + 2k\pi.

Alles lässt sich am Einheitskreis ablesen, mit dem trigonometrischen Pythagoras und den Symmetrien, die in der Lektion über die trigonometrischen Verhältnisse bewiesen wurden.

Beweis

  1. sin⁡2x=1−cos⁡2x≤1→−1≤sin⁡x≤1\sin^2 x = \resaltar{1 - \cos^2 x} \leq 1 \rightarrow \dato{c}{\resaltar{-1 \leq \sin x \leq 1}}

    Nach dem trigonometrischen Pythagoras ist das Quadrat des Sinus höchstens 11, und der Sinus liegt zwischen −1-1 und 11; dasselbe gilt für den Kosinus.

  2. Q=(1−c2,c),(1−c2)2+c2=1→W⁡(sin⁡)=W⁡(cos⁡)=[−1,1]Q = \left( \sqrt{1 - c^2}, c \right), \quad \resaltar{\left( \sqrt{1 - c^2} \right)^2 + c^2} = \resaltar{1} \rightarrow \operatorname{W}(\sin) = \operatorname{W}(\cos) = \icc{-1}{1}

    Ist umgekehrt cc mit −1≤c≤1-1 \leq c \leq 1 gegeben, so liegt der folgende Punkt QQ auf dem Einheitskreis; nach der Eigenschaft der Überdeckung des Axioms des Durchlaufens, das in der Lektion über Winkel und ihre Messung vorausgesetzt wurde, ist er der Punkt P(x)P(x) eines Winkels xx, und dann gilt sin⁡x=c\sin x = c. Ebenso zeigt der Punkt (c,1−c2)\left( c, \sqrt{1 - c^2} \right), dass der Kosinus den Wert cc annimmt.

  3. sin⁡(x+2π)=sin⁡x,cos⁡(x+2π)=cos⁡x,sin⁡(−x)=−sin⁡x,cos⁡(−x)=cos⁡x\sin(x + 2\pi) = \sin x, \quad \cos(x + 2\pi) = \cos x, \quad \sin(-x) = -\sin x, \quad \cos(-x) = \cos x

    Die Winkel von xx und von x+2πx + 2\pi Radiant haben denselben Endschenkel, sodass P(x+2π)=P(x)P(x + 2\pi) = P(x) gilt. Außerdem ist P(−x)P(-x) das Spiegelbild von P(x)P(x) an der waagerechten Achse, wie in der Lektion über die trigonometrischen Verhältnisse bewiesen wurde: Der Sinus ist ungerade und der Kosinus gerade.

  4. sin⁡x=0↔x=kπ,cos⁡x=0↔x=π2+kπ,k∈Z\sin x = 0 \leftrightarrow x = k\pi, \quad \cos x = 0 \leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

    Der Sinus verschwindet, wenn P(x)P(x) auf der waagerechten Achse liegt, das heißt, wenn er (1,0)(1, 0) oder (−1,0)(-1, 0) ist; das sind die Punkte der Winkel 00 und π\pi und der Winkel mit gleichem Endschenkel wie diese. Der Kosinus verschwindet, wenn P(x)P(x) gleich (0,1)(0, 1) oder (0,−1)(0, -1) ist.

  5. sin⁡x=1→cos⁡2x=1−1=0→P(x)=(0,1)\sin x = 1 \rightarrow \cos^2 x = \resaltar{1 - 1} = \resaltar{0} \rightarrow P(x) = (0, 1)

    Gilt sin⁡x=1\sin x = 1, so zwingt der trigonometrische Pythagoras den Kosinus, null zu sein, und der Punkt P(x)P(x) ist (0,1)(0, 1), der zum Winkel π2\frac{\pi}{2} gehört; gilt sin⁡x=−1\sin x = -1, so ist der Punkt (0,−1)(0, -1), der zu −π2-\frac{\pi}{2} gehört.

  6. sin⁡x=1↔x=π2+2kπ,sin⁡x=−1↔x=−π2+2kπ,cos⁡x=1↔x=2kπ,cos⁡x=−1↔x=π+2kπ\sin x = 1 \leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad \sin x = -1 \leftrightarrow x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad \cos x = 1 \leftrightarrow x = 2k\pi, \quad \cos x = -1 \leftrightarrow x = \pi + 2k\pi

    Mit derselben Überlegung nimmt der Kosinus den Wert 11 an, wenn P(x)=(1,0)P(x) = (1, 0), und den Wert −1-1, wenn P(x)=(−1,0)P(x) = (-1, 0). Zusammengefasst werden die Extremwerte von Sinus und Kosinus in den folgenden Zahlen angenommen, mit ganzzahligem kk.

Der Graph des Sinus

Den Graphen von y=sin⁡xy = \sin x erhält man, indem man den Einheitskreis auf der waagerechten Achse abrollt: Während der Punkt P(x)P(x) den Kreis durchläuft, wird der durchlaufene Bogen der Länge xx auf die Abszissenachse übertragen, und über jeder Abszisse wird die Höhe des Punktes abgetragen. Die Symmetrien aus der Lektion über die trigonometrischen Verhältnisse erlauben es, den ganzen Graphen aus seinem ersten Viertel zu konstruieren.

BeispielDer Graph des Sinus als abgerollter Kreis

Die Figur rollt den Einheitskreis auf der waagerechten Achse ab, mit demselben Maßstab auf beiden: Die Höhe des Punktes P(x)P(x) wird zur Abszisse xx übertragen, und der vollständige Graph ergibt sich, indem man das erste Viertel wiederholt und spiegelt.

Beweis

  1. sin⁡0=0,sin⁡π2=1\sin 0 = 0, \quad \sin \frac{\pi}{2} = 1

    Während xx von 00 bis π2\frac{\pi}{2} wächst, durchläuft der Punkt P(x)P(x) den ersten Quadranten von (1,0)(1, 0) bis (0,1)(0, 1). Nach der Eigenschaft der halben Drehung des Axioms des Durchlaufens fällt seine Abszisse cos⁡x\cos x streng von 11 auf 00; da seine Höhe die nichtnegative Wurzel 1−cos⁡2x\sqrt{1 - \cos^2 x} ist, steigt sie streng von 00 auf 11. In der Lektion über die Arkusfunktionen wird dasselbe Argument auf das ganze Intervall [−π2,π2]\icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}} ausgedehnt.

  2. sin⁡π6=12,sin⁡π4=22,sin⁡π3=32\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}, \quad \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}

    Die besonderen Werte, die in der Lektion über die trigonometrischen Verhältnisse berechnet wurden, liefern drei Zwischenpunkte des ersten Bogens.

  3. sin⁡(π−x)=sin⁡x\sin(\pi - x) = \sin x

    Zwischen π2\frac{\pi}{2} und π\pi besagt die Symmetrie der Supplementwinkel, dass die Höhe bei π−x\pi - x dieselbe ist wie bei xx: Der erste Bogen ist symmetrisch zur vertikalen Geraden x=π2x = \frac{\pi}{2} und sinkt bis 00 ab, und zwar bei π\pi.

  4. sin⁡(x+π)=−sin⁡x\sin(x + \pi) = -\sin x

    Zwischen π\pi und 2π2\pi ist der Punkt P(x+π)P(x + \pi) der Gegenpunkt von P(x)P(x): Die Höhe wechselt das Vorzeichen, und der Graph wiederholt den vorangehenden Bogen unterhalb der Achse, um π\pi verschoben und gespiegelt.

  5. sin⁡(x+2π)=sin⁡x,sin⁡(−x)=−sin⁡x\sin(x + 2\pi) = \sin x, \quad \sin(-x) = -\sin x

    Wegen der Periodizität wiederholt sich das Stück zwischen 00 und 2π2\pi, Zyklus genannt, nach rechts und nach links; und da der Sinus ungerade ist, ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung.

Der Graph des Sinus ist eine Welle, die zwischen den Geraden y=−1y = -1 und y=1y = 1 schwingt, die waagerechte Achse in den Vielfachen von π\pi schneidet und ihre Maxima in den Zahlen π2+2kπ\frac{\pi}{2} + 2k\pi und ihre Minima in den Zahlen −π2+2kπ-\frac{\pi}{2} + 2k\pi annimmt, in Übereinstimmung mit dem oben bewiesenen Satz.

Die Zeichnung setzt außerdem zwei Eigenschaften voraus, die der abgerollte Kreis nahelegt, die sich aber mit den Mitteln dieser Einheit nicht beweisen lassen: dass der Graph eine Kurve ohne Unterbrechungen ist und dass jeder über der Achse liegende Bogen stets nach unten gekrümmt ist. Beide werden mithilfe von Grenzwerten definiert und im Kurs Analysis I bewiesen; hier werden sie vorausgesetzt. Kein Satz der Einheit hängt von ihnen ab: Sie werden nur in einigen Aufgaben verwendet, die das ausdrücklich angeben.

Vorausgesetzte Tatsache (Stetigkeit der trigonometrischen Funktionen und ihrer Umkehrfunktionen). Sinus und Kosinus sind auf der ganzen Geraden stetig; Tangens, Sekans, Kosekans und Kotangens sind es auf jedem in ihrer Definitionsmenge enthaltenen Intervall; und Arkussinus, Arkuskosinus und Arkustangens, die in der Lektion über die Arkusfunktionen definiert werden, sind auf ihren Definitionsmengen stetig. Summen, Produkte, Quotienten mit von null verschiedenem Nenner und Verkettungen stetiger Funktionen sind stetig. Folglich lässt sich die vorausgesetzte Tatsache aus Kurs I über den Zwischenwertsatz, die in der Lektion über die rationalen Funktionen formuliert wurde, auf jedem in ihrer Definitionsmenge enthaltenen abgeschlossenen Intervall auf Funktionen wie sin⁡x−x10\sin x - \frac{x}{10}, tan⁡x−x\tan x - x oder arcsin⁡x+arctan⁡x\arcsin x + \arctan x anwenden: Wechseln sie an den Randpunkten das Vorzeichen, so verschwinden sie in einem inneren Punkt.
Vorausgesetzte Tatsache (Konkavität des Sinus). Der Sinus ist auf jedem Intervall [2kπ,(2k+1)π]\icc{2k\pi}{(2k + 1)\pi}, mit ganzzahligem kk, streng konkav: Sind u<x<vu < x < v Punkte dieses Intervalls, so liegt der Punkt des Graphen mit der Abszisse xx streng oberhalb der Strecke, die die Punkte des Graphen mit den Abszissen uu und vv verbindet.
u<x<v→sin⁡x>(v−x)sin⁡u+(x−u)sin⁡vv−uu < x < v \rightarrow \sin x > \frac{(v - x) \sin u + (x - u) \sin v}{v - u}

Periodische Funktionen

Eine Funktion ff heißt periodisch, wenn es eine Zahl p>0p > 0 gibt, sodass für jedes xx der Definitionsmenge auch x+px + p und x−px - p in der Definitionsmenge liegen und f(x+p)=f(x)f(x + p) = f(x) gilt; eine solche Zahl heißt Periode von ff. Ist pp eine Periode, so sind es auch 2p2p, 3p3p und, durch vollständige Induktion, alle ihre natürlichen Vielfachen: f(x+2p)=f((x+p)+p)=f(x+p)=f(x)f(x + 2p) = f((x + p) + p) = f(x + p) = f(x). Eine periodische Funktion hat also unendlich viele Perioden, und die interessanteste ist die kleinste von ihnen, sofern sie existiert; sie heißt kleinste Periode. Ihren Graphen erhält man, indem man das Stück, das zu einem Intervall von der Länge der Periode gehört, immer wieder wiederholt.

LemmaDie Perioden sind Vielfache der kleinsten Periode

Ist qq die kleinste Periode einer Funktion ff, so sind die Perioden von ff genau die Zahlen kqkq, mit natürlichem kk.

Man teilt eine beliebige Periode durch qq, wie bei der Division mit Rest, und zeigt, dass der Rest nicht positiv sein kann. Die Figur verwendet eine Funktion mit der kleinsten Periode qq.

Beweis

  1. f(x+kq)=f(x),k∈N\dato{m}{f(x + kq) = f(x)}, \quad k \in \mathbb{N}

    Jedes natürliche Vielfache von qq ist eine Periode, wie eben durch vollständige Induktion gezeigt wurde.

  2. kq≤p<(k+1)q→0≤r=p−kq<q\resaltar{kq \leq p < (k + 1)q} \rightarrow \dato{r}{\resaltar{0 \leq r = p - kq < q}}

    Sei umgekehrt pp eine Periode; wegen der Minimalität von qq ist p≥qp \geq q. Nach der archimedischen Eigenschaft der reellen Zahlen, die in der Lektion des Kurses I über die Dezimaldarstellung der rationalen Zahlen bewiesen wurde, und dem Wohlordnungsprinzip gibt es, wie im Satz von der Reduktion auf die erste Umdrehung aus der Lektion über Winkel und ihre Messung, eine natürliche Zahl k≥1k \geq 1 mit kq≤p<(k+1)qkq \leq p < (k + 1)q, und der Rest r=p−kqr = p - kq liegt zwischen 00 und qq, wobei die zweite Zahl ausgeschlossen ist.

  3. f(x+r)=f(x+r+kq)=f(x+p)=f(x)f(x + r) = f(x + \resaltar{r + kq}) = f(x + \resaltar{p}) = f(x)

    Wäre rr positiv, so wäre es eine Periode: Rückt man um rr und danach um kqkq vor, so rückt man um pp vor, und sowohl kqkq als auch pp sind Perioden.

  4. r=0→p=kqr = 0 \rightarrow p = kq

    Eine positive Periode, die kleiner als qq ist, widerspricht aber der Minimalität von qq. Daher ist der Rest null, und pp ist ein natürliches Vielfaches von qq.

SatzKleinste Periode von Sinus und Kosinus

Die Zahl 2π2\pi ist die kleinste Periode von Sinus und Kosinus.

Nach dem Satz über die Eigenschaften ist 2π2\pi eine Periode beider Funktionen. Es bleibt zu zeigen, dass keine Zahl zwischen 00 und 2π2\pi eine ist, und dafür genügt es, zu betrachten, wo das Maximum angenommen wird.

Beweis

  1. sin⁡(π2+p)=sin⁡π2=1\dato{m}{\sin \left( \frac{\pi}{2} + p \right) = \sin \frac{\pi}{2} = 1}

    Angenommen, pp mit 0<p<2π0 < p < 2\pi ist eine Periode des Sinus. Wertet man die Gleichung sin⁡(x+p)=sin⁡x\sin(x + p) = \sin x an der Stelle x=π2x = \frac{\pi}{2} aus, so wäre die Zahl π2+p\frac{\pi}{2} + p ebenfalls eine Maximalstelle.

  2. π2+p=π2+2kπ→p=2kπ\frac{\pi}{2} + p = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \rightarrow p = 2k\pi

    Nach dem Satz über die Eigenschaften nimmt der Sinus den Wert 11 nur in den Zahlen π2+2kπ\frac{\pi}{2} + 2k\pi an: Dann wäre pp ein ganzzahliges Vielfaches von 2π2\pi, was zwischen 00 und 2π2\pi unmöglich ist. Anders gesagt: Zwei aufeinanderfolgende Maxima des Sinus haben genau den Abstand 2π2\pi.

  3. cos⁡p=cos⁡0=1→p=2kπ\cos p = \cos 0 = 1 \rightarrow p = 2k\pi

    Für den Kosinus argumentiert man ebenso an der Stelle x=0x = 0: Eine Periode pp ergäbe cos⁡p=cos⁡0=1\cos p = \cos 0 = 1, und der Kosinus nimmt den Wert 11 nur in den ganzzahligen Vielfachen von 2π2\pi an.

Nach dem eben bewiesenen Lemma sind die Perioden von Sinus und Kosinus genau die Zahlen 2kπ2k\pi mit natürlichem kk.

Der Kosinus als verschobener Sinus

Der Graph des Kosinus erfordert keine neue Konstruktion, denn er ist der verschobene Graph des Sinus.

SatzDer Kosinus ist ein verschobener Sinus

Für jede reelle Zahl xx gilt cos⁡x=sin⁡(x+π2)\cos x = \sin \left( x + \frac{\pi}{2} \right). Folglich ist der Graph von y=cos⁡xy = \cos x der Graph des Sinus, um π2\frac{\pi}{2} Einheiten nach links verschoben.

Man kombiniert die Symmetrien der Komplement- und der Supplementwinkel und danach den Satz über die Transformationen aus der Lektion des Kurses I über die Funktionsverknüpfung.

Beweis

  1. cos⁡x=sin⁡(π2−x)\cos x = \dato{c}{\sin \left( \frac{\pi}{2} - x \right)}

    Nach der Symmetrie der Komplementwinkel ist der Kosinus von xx der Sinus von π2−x\frac{\pi}{2} - x.

  2. cos⁡x=sin⁡(π−(π2−x))=sin⁡(x+π2)\cos x = \sin \left( \resaltar{\pi - \left( \frac{\pi}{2} - x \right)} \right) = \dato{t}{\sin \left( \resaltar{x + \frac{\pi}{2}} \right)}

    Nach der Symmetrie der Supplementwinkel gilt sin⁡(π−u)=sin⁡u\sin(\pi - u) = \sin u; mit u=π2−xu = \frac{\pi}{2} - x ist der Winkel π−u\pi - u gleich π2+x\frac{\pi}{2} + x.

  3. y=sin⁡(x−(−π2))y = \sin \left( x - \left( -\frac{\pi}{2} \right) \right)

    Nach dem Satz über die Transformationen ist der Graph von y=f(x−h)y = f(x - h) der Graph von ff, um hh Einheiten in waagerechter Richtung verschoben. Hier ist ff der Sinus und h=−π2h = -\frac{\pi}{2}: Jeder Punkt des Graphen des Sinus wird um π2\frac{\pi}{2} nach links verschoben. Der Maximalpunkt (π2,1)\left( \frac{\pi}{2}, 1 \right) geht in (0,1)(0, 1) über.

  4. cos⁡(−x)=cos⁡x,cos⁡0=1,cos⁡π=−1\cos(-x) = \cos x, \quad \cos 0 = 1, \quad \cos \pi = -1

    Am verschobenen Graphen lassen sich die Eigenschaften des Kosinus ablesen: Er ist symmetrisch zur senkrechten Achse, weil der Kosinus gerade ist, er schneidet die waagerechte Achse in den Zahlen π2+kπ\frac{\pi}{2} + k\pi, und er nimmt das Maximum 11 in den geraden Vielfachen von π\pi und das Minimum −1-1 in den ungeraden an.