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Topos Uranos
Deutsch

Trigonometrische Verhältnisse und der Einheitskreis

Zusammenfassung

Diese Lektion definiert den Sinus, den Kosinus und den Tangens eines Winkels auf zwei Arten. Die erste, als Quotienten der Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks, gilt für spitze Winkel, und durch Ähnlichkeit wird bewiesen, dass sie nicht vom gewählten Dreieck abhängt. Die zweite, als Koordinaten des Punktes, in dem der Endschenkel des Winkels den Einheitskreis schneidet, gilt für jede reelle Zahl und stimmt bei spitzen Winkeln mit der ersten überein. Aus ihr folgen die Vorzeichen in jedem Quadranten, der trigonometrische Pythagoras, die besonderen Werte der Winkel von π6\frac{\pi}{6}, π4\frac{\pi}{4} und π3\frac{\pi}{3}, die man aus dem halben gleichseitigen Dreieck und dem halben Quadrat gewinnt, und die Symmetrien von Sinus und Kosinus, die man durch Spiegeln des Punktes am Kreis beweist und die es erlauben, die Verhältnisse jedes beliebigen Winkels mithilfe seines Bezugswinkels zu berechnen.

Lernziele

  1. Die sechs trigonometrischen Verhältnisse eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck definieren und durch Ähnlichkeit beweisen, dass sie nicht vom Dreieck abhängen.
  2. Den Sinus, den Kosinus und die übrigen Verhältnisse eines beliebigen Winkels mithilfe des Einheitskreises definieren, den Tangens als Steigung des Endschenkels erkennen und beweisen, dass beide Definitionen bei spitzen Winkeln übereinstimmen.
  3. Den trigonometrischen Pythagoras, die besonderen Werte und die Symmetrien von Sinus und Kosinus beweisen und sie verwenden, um die Verhältnisse jedes beliebigen Winkels mit der Bezugswinkelmethode zu berechnen.
  4. Alle Verhältnisse eines Winkels aus einem von ihnen und dem Quadranten gewinnen und die Verhältnisse auf Aufgaben über Höhen, Entfernungen und Flächeninhalte anwenden.

Die Verhältnisse eines spitzen Winkels

In einem rechtwinkligen Dreieck heißt die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite Hypotenuse, und die beiden anderen heißen Katheten. Die Innenwinkel eines Dreiecks ergeben zusammen einen gestreckten Winkel, der π\pi misst; diese Tatsache der elementaren Geometrie wurde in der Lektion über Winkel und ihre Messung vorausgesetzt. Wenn dem so ist, ergeben die beiden nicht rechten Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks zusammen π2\frac{\pi}{2}, und jeder von ihnen ist spitz, das heißt, er misst zwischen 00 und π2\frac{\pi}{2}. Bezüglich eines dieser spitzen Winkel, mit dem Maß α\alpha, ist eine der Katheten die Gegenkathete, die seinen Scheitel nicht berührt, und die andere die Ankathete, die zusammen mit der Hypotenuse die Schenkel des Winkels bildet.

Sei α\alpha ein spitzer Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks mit der Hypotenuse cc, dessen Gegenkathete zu α\alpha die Länge aa und dessen Ankathete die Länge bb hat. Der Sinus, der Kosinus und der Tangens von α\alpha sind der Reihe nach der Quotient aus Gegenkathete und Hypotenuse, aus Ankathete und Hypotenuse und aus Gegenkathete und Ankathete.
sin⁡α=ac,cos⁡α=bc,tan⁡α=ab\sin \alpha = \frac{a}{c}, \qquad \cos \alpha = \frac{b}{c}, \qquad \tan \alpha = \frac{a}{b}

Ihre Kehrwerte heißen Kosekans, Sekans und Kotangens: csc⁡α=ca\csc \alpha = \frac{c}{a}, sec⁡α=cb\sec \alpha = \frac{c}{b} und cot⁡α=ba\cot \alpha = \frac{b}{a}. Die sechs heißen trigonometrische Verhältnisse, weil sie Verhältnisse, das heißt Quotienten, von Seiten eines Dreiecks sind. Die Definition wirft jedoch eine Frage auf: Es gibt unendlich viele rechtwinklige Dreiecke mit einem spitzen Winkel vom Maß α\alpha, große und kleine, und wenn jedes einen anderen Quotienten ergäbe, bezeichneten die Worte „der Sinus von α\alpha“ keine Zahl. Der folgende Satz räumt diesen Zweifel aus.

SatzDie Verhältnisse hängen nicht vom Dreieck ab

Haben zwei rechtwinklige Dreiecke einen spitzen Winkel mit demselben Maß α\alpha, so ist der Quotient zweier beliebiger Seiten des ersten gleich dem Quotienten der entsprechenden Seiten des zweiten. Folglich hängen der Sinus, der Kosinus und der Tangens von α\alpha und ihre Kehrwerte nur von α\alpha ab. Außerdem gilt 0<sin⁡α<10 < \sin \alpha < 1 und 0<cos⁡α<10 < \cos \alpha < 1.

Gegeben seien zwei rechtwinklige Dreiecke mit einem spitzen Winkel α\alpha, das erste mit den Katheten a1a_1 und b1b_1 und der Hypotenuse c1c_1, das zweite mit den Katheten a2a_2 und b2b_2 und der Hypotenuse c2c_2, wobei a1a_1 und a2a_2 die Gegenkatheten zu α\alpha sind. Vorausgesetzt werden die Ähnlichkeitssätze der elementaren Geometrie, dieselben, die in der Lektion des Kurses I über die Geradengleichung sicherstellten, dass die Steigung nicht von den gewählten Punkten abhängt.

Beweis

  1. a2=ka1,b2=kb1,c2=kc1\dato{k}{a_2 = k a_1, \quad b_2 = k b_1, \quad c_2 = k c_1}

    Die beiden Dreiecke haben zwei gleiche Winkel, den rechten und den mit dem Maß α\alpha; nach dem Ähnlichkeitssatz über zwei Winkel sind sie ähnlich, und ihre einander entsprechenden Seiten sind proportional: Es gibt eine Zahl k>0k > 0 derart, dass jede Seite des zweiten das kk-Fache der entsprechenden Seite des ersten ist.

  2. a2c2=ka1kc1=a1c1\frac{a_2}{c_2} = \frac{\resaltar{k a_1}}{\resaltar{k c_1}} = \resaltar{\frac{a_1}{c_1}}

    Der Quotient aus Gegenkathete und Hypotenuse ist in beiden Dreiecken derselbe, weil sich der Faktor kk kürzt.

  3. b2c2=kb1kc1=b1c1\frac{b_2}{c_2} = \frac{\resaltar{k b_1}}{\resaltar{k c_1}} = \resaltar{\frac{b_1}{c_1}}

    Dasselbe gilt für den Quotienten aus Ankathete und Hypotenuse.

  4. a2b2=ka1kb1=a1b1\frac{a_2}{b_2} = \frac{\resaltar{k a_1}}{\resaltar{k b_1}} = \resaltar{\frac{a_1}{b_1}}

    Und für den Quotienten der beiden Katheten. Daher nehmen der Sinus, der Kosinus und der Tangens, und mit ihnen ihre Kehrwerte, in beiden Dreiecken denselben Wert an: Sie hängen nur von α\alpha ab.

  5. c2=a2+b2→0<ac<1,0<bc<1c^2 = a^2 + b^2 \rightarrow 0 < \frac{a}{c} < 1, \quad 0 < \frac{b}{c} < 1

    Nach dem Satz des Pythagoras ist das Quadrat der Hypotenuse die Summe der Quadrate der Katheten und übertrifft jedes von ihnen: Die Hypotenuse ist länger als jede Kathete, und die beiden Quotienten mit der Hypotenuse liegen zwischen 00 und 11.

Der Satz erlaubt es, die Verhältnisse eines Winkels mit jedem rechtwinkligen Dreieck zu berechnen, das ihn enthält, und das bequemste zu wählen. Insbesondere ist die Gegenkathete des einen spitzen Winkels die Ankathete des anderen, und daraus folgt eine Beziehung zwischen den Verhältnissen zweier Winkel, die zusammen π2\frac{\pi}{2} ergeben und Komplementwinkel heißen.

BeispielDie Verhältnisse der beiden spitzen Winkel

In einem rechtwinkligen Dreieck mit den Katheten 33 und 44 sei α\alpha der Winkel gegenüber der Kathete 33 und β\beta der gegenüber der Kathete 44. Man berechne ihre Verhältnisse und vergleiche sie.

Beweis

  1. c=32+42=25=5c = \sqrt{\resaltar{3^2 + 4^2}} = \sqrt{25} = \resaltar{5}

    Nach dem Satz des Pythagoras hat die Hypotenuse die Länge 55.

  2. sin⁡α=35,cos⁡α=45,tan⁡α=34\dato{a}{\sin \alpha = \frac{3}{5}, \quad \cos \alpha = \frac{4}{5}, \quad \tan \alpha = \frac{3}{4}}

    Für α\alpha ist die Gegenkathete 33 und die Ankathete 44.

  3. sin⁡β=45,cos⁡β=35,tan⁡β=43\dato{b}{\sin \beta = \frac{4}{5}, \quad \cos \beta = \frac{3}{5}, \quad \tan \beta = \frac{4}{3}}

    Für β\beta vertauschen die Katheten ihre Rollen: Die Gegenkathete ist 44 und die Ankathete 33.

  4. sin⁡β=cos⁡α,cos⁡β=sin⁡α,tan⁡β=1tan⁡α=cot⁡α\sin \beta = \cos \alpha, \quad \cos \beta = \sin \alpha, \quad \tan \beta = \frac{1}{\tan \alpha} = \cot \alpha

    Da α+β=π2\alpha + \beta = \frac{\pi}{2} gilt, ist der Sinus jedes Winkels der Kosinus des anderen und der Tangens jedes Winkels der Kotangens des anderen. Dasselbe gilt in jedem rechtwinkligen Dreieck, weil die Vertauschung der Katheten nicht von ihren Längen abhängt.

Daher kommen die Namen: Der Kosinus ist der Sinus des Komplementwinkels, der Kotangens ist der Tangens des Komplementwinkels und der Kosekans ist der Sekans des Komplementwinkels.